Součet znaků - Character sum - Wikipedia

v matematika, a součet znaků je součet

${ displaystyle Sigma chi (n)}$

hodnot a Dirichletova postava χ modulo N, převzal daný rozsah hodnot n. Takové částky jsou základní v řadě otázek, například v rozdělení kvadratické zbytky, a zejména v klasické otázce nalezení horní hranice pro nejméně kvadratické nezbytky modulo N. Součty postav jsou často úzce spjaty exponenciální součty podle Gaussovy částky (je to jako konečný Mellinova transformace ).

Předpokládejme, že χ je nonprincipální Dirichletův znak modulu N. Lemot

Součty přes rozsahy

Součet převzatý za všechny třídy reziduí mod N je pak nula. To znamená, že případy zájmu budou částky ${ displaystyle Sigma}$ na relativně krátkých vzdálenostech R < N říci,

${ displaystyle M leq n$

Zásadní zlepšení triviálního odhadu ${ displaystyle Sigma = O (N)}$ je Pólya – Vinogradovova nerovnost (George Pólya, I. M. Vinogradov, samostatně v roce 1918), s uvedením v velká O notace že

${ displaystyle Sigma = O ({ sqrt {N}} log N).}$

Za předpokladu, že zobecněná Riemannova hypotéza, Hugh Montgomery a R. C. Vaughan ukázat^[1] že existuje další zlepšení

${ displaystyle Sigma = O ({ sqrt {N}} log log N).}$

Sčítání polynomů

Dalším významným typem součtu znaků je ten, který tvoří

${ displaystyle Sigma chi (F (n))}$

pro nějakou funkci F, obecně a polynomiální. Klasickým výsledkem je například kvadratický příklad

${ displaystyle F (n) = n (n + 1)}$

a χ a Legendární symbol. Zde lze součet vyhodnotit (jako −1), což je výsledek spojený s místní funkce zeta a kuželovitý řez.

Obecněji, takové částky pro Jacobi symbol se vztahují k místním funkcím zeta eliptické křivky a hyperelliptické křivky; to znamená, že pomocí André Weil výsledky pro N = str A prvočíslo, existují netriviální hranice

${ displaystyle O ({ sqrt {p}}).}$

Konstanta implicitní v zápisu je lineární v rod dané křivky, a tak (symbol Legendre nebo hyperelliptický případ) lze brát jako stupeň F. (Obecnější výsledky pro ostatní hodnoty N, lze získat od této chvíle.)

Výsledky Weila také vedly k Burgess vázán,^[2] žádá, aby poskytl netriviální výsledky nad rámec Pólya – Vinogradov, pro R síla N větší než 1/4.

Předpokládejme modul N je prime.

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Sigma & ll p ^ {1/2} log p, [6pt] Sigma & ll 2R ^ {1/2} p ^ {3/16} log p, [6pt] Sigma & ll rR ^ {1-1 / r} p ^ {(r + 1) / 4r ^ {2}} ( log p) ^ {1 / 2r} end {zarovnaný}}}$

pro jakékoli celé číslo r ≥ 3.^[3]

Poznámky

Reference

• G. Pólya (1918). „Ueber die Verteilung der quadratischen Reste und Nichtreste“. Nachr. Akad. Wiss. Goettingen: 21–29. JFM  46.0265.02.
• I. M. Vinogradov (1918). "Sur la distribution des residus and nonresidus des puissances". J. Soc. Phys. Matematika. Univ. Permi: 18–28. JFM  48.1352.04.
• D. A. Burgess (1957). "Distribuce kvadratických zbytků a nereziduí". Mathematika. 4 (02): 106–112. doi:10.1112 / S0025579300001157. Zbl  0081.27101.
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (1977). „Exponenciální částky s multiplikativními koeficienty“ (PDF). Vymyslet. Matematika. 43 (1): 69–82. doi:10.1007 / BF01390204. Zbl  0362.10036.
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplikativní teorie čísel I. Klasická teorie. Cambridge trakty v pokročilé matematice. 97. Cambridge University Press. 306–325. ISBN  0-521-84903-9. Zbl  1142.11001.

Další čtení

• Korobov, N.M. (1992). Exponenciální částky a jejich aplikace. Matematika a její aplikace (sovětská řada). 80. Z ruštiny přeložil Yu. N. Shakhov. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-1647-9. Zbl  0754.11022.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Nerovnost Pólya – Vinogradov“. MathWorld.
• Článek PlanetMath o nerovnosti Pólya – Vinogradov