Disk Siegel - Siegel disc

Disk Siegel je připojeno komponenta v sadě Fatou kde je dynamika analyticky sdružené do iracionální rotace.

Popis

Vzhledem k tomu, holomorfní endomorfismus ${ displaystyle f: S až S}$ na Riemannův povrch ${ displaystyle S}$ považujeme za dynamický systém generované iteruje z ${ displaystyle f}$ označeno ${ displaystyle f ^ {n} = f circ { stackrel { left (n right)} { cdots}} circ f}$ . Potom voláme obíhat ${ displaystyle { mathcal {O}} ^ {+} (z_ {0})}$ z ${ displaystyle z_ {0}}$ jako soubor dopředných iterací ${ displaystyle z_ {0}}$ . Zajímá nás asymptotické chování oběžných drah ${ displaystyle S}$ (což obvykle bude ${ displaystyle mathbb {C}}$ , složité letadlo nebo ${ displaystyle mathbb { hat {C}} = mathbb {C} pohár { infty }}$ , Riemannova koule ) a zavoláme ${ displaystyle S}$ the fázová rovina nebo dynamická rovina.

Jedno možné asymptotické chování bodu ${ displaystyle z_ {0}}$ má být pevný bod, nebo obecně a periodický bod. V tomto posledním případě ${ displaystyle f ^ {p} (z_ {0}) = z_ {0}}$ kde ${ displaystyle p}$ je doba a ${ displaystyle p = 1}$ prostředek ${ displaystyle z_ {0}}$ je pevný bod. Poté můžeme definovat násobitel orbity jako ${ displaystyle rho = (f ^ {p}) '(z_ {0})}$ a to nám umožňuje klasifikovat periodické dráhy jako přitahovat -li ${ displaystyle | rho | <1}$ superatrakce -li ${ displaystyle | rho | = 0}$ ), odpuzující -li ${ displaystyle | rho |> 1}$ a lhostejné, pokud ${ displaystyle rho = 1}$ . Lhostejné periodické dráhy mohou být buď racionálně lhostejný nebo iracionálně lhostejný, podle toho, zda ${ displaystyle rho ^ {n} = 1}$ pro některé ${ displaystyle n in mathbb {Z}}$ nebo ${ displaystyle rho ^ {n} neq 1}$ pro všechny ${ displaystyle n in mathbb {Z}}$ , resp.

Siegel disky jsou jedním z možných případů spojených komponentů v sadě Fatou (doplňková sada souboru Julia set ), podle Klasifikace složek Fatou, a může se vyskytovat kolem iracionálně lhostejných periodických bodů. Sada Fatou je zhruba sada bodů, kde se iterace chovají podobně jako jejich sousedé (tvoří normální rodina ). Siegel disky odpovídají bodům, kde dynamika ${ displaystyle f}$ jsou analyticky sdružené k iracionální rotaci disku komplexní jednotky.

název

Disk je pojmenován na počest Carl Ludwig Siegel.

Galerie

Siegelův disk pro polynomiální mapování
Julia se vydala ${ displaystyle B (z) = lambda a (e ^ {z / a} (z + 1-a) + a-1)}$ , kde ${ displaystyle a = 15-15i}$ a ${ displaystyle lambda}$ je Zlatý řez. Oběžné dráhy některých bodů uvnitř Disk Siegel zdůrazněno
Julia se vydala ${ displaystyle B (z) = lambda a (e ^ {z / a} (z + 1-a) + a-1)}$ , kde ${ displaystyle a = -0,33258 + 0,10324i}$ a ${ displaystyle lambda}$ je Zlatý řez. Oběžné dráhy některých bodů uvnitř Disk Siegel zdůrazněno. Disk Siegel je buď neomezený nebo jeho hranice je nerozložitelné kontinuum.^[1]
Naplněná Julia pro ${ displaystyle f_ {c} (z) = z * z + c}$ pro Zlatá střední cesta číslo rotace s vnitřním zabarvením úměrným průměrné diskrétní rychlosti na oběžné dráze = abs (z_ (n + 1) - z_n). Všimněte si, že v disku Siegel je pouze jeden disk Siegel a mnoho předobrazů oběžných drah
Skládací disk Siegel poblíž 1/2
Skládací disk Siegel poblíž 1/3. Jeden může vidět virtuální disk Siegel
Skládací disk Siegel poblíž 2/7
Julia nastavena na fc (z) = z * z + c, kde c = -0,749998153581339 + 0,001569040474910 * I. Vnitřní úhel v zatáčkách je t = 0,49975027919634618290
Julia sada kvadratického polynomu se Siegelovým diskem pro rotační číslo [3,2,1000,1 ...]

Formální definice

Nechat ${ displaystyle f dvojtečka S až S}$ být holomorfní endomorfismus kde ${ displaystyle S}$ je Riemannův povrch a nechte U být připojená součást sady Fatou ${ displaystyle { mathcal {F}} (f)}$ . Říkáme, že U je disk Siegel f kolem bodu ${ displaystyle z_ {0}}$ pokud existuje biholomorfismus ${ displaystyle phi: U to mathbb {D}}$ kde ${ displaystyle mathbb {D}}$ je disk jednotky a tak ${ displaystyle phi (f ^ {n} ( phi ^ {- 1} (z))) = e ^ {2 pi i alpha n} z}$ pro některé ${ displaystyle alpha in mathbb {R} zpětné lomítko mathbb {Q}}$ a ${ displaystyle phi (z_ {0}) = 0}$ .

Siegel věta dokazuje existenci Siegel disky pro iracionální čísla uspokojující a podmínka silné iracionality (A Diophantinový stav ), čímž vyřešil otevřený problém, protože Fatou předpokládal svou větu o Klasifikace složek Fatou.^[2]

Později Alexander D. Brjuno zlepšil tento stav iracionality a rozšířil jej na Brjuno čísla.^[3]

Toto je část výsledku z Klasifikace složek Fatou.

Viz také

Reference

^ Rubén Berenguel a Núria Fagella Celá transcendentální rodina s vytrvalým diskem Siegel, předtisk 2009: arXiV: 0907.0116
^ Lennart Carleson a Theodore W. Gamelin, Složitá dynamika, Springer 1993
^ Milnor, John W. (2006), Dynamika v jedné komplexní proměnné, Annals of Mathematics Studies, 160 (Třetí vydání.), Princeton University Press (Poprvé se objevil v roce 1990 jako Předtisk IMS Stony Brook Archivováno 2006-04-24 na Wayback Machine, k dispozici jako arXiV: math.DS / 9201272.)

Siegel disky ve Scholarpedii

[1] Rubén Berenguel a Núria Fagella Celá transcendentální rodina s vytrvalým diskem Siegel, předtisk 2009: arXiV: 0907.0116

[2] Lennart Carleson a Theodore W. Gamelin, Složitá dynamika, Springer 1993

[MilnorComplexDynamics-3] Milnor, John W. (2006), Dynamika v jedné komplexní proměnné, Annals of Mathematics Studies, 160 (Třetí vydání.), Princeton University Press (Poprvé se objevil v roce 1990 jako Předtisk IMS Stony Brook Archivováno 2006-04-24 na Wayback Machine, k dispozici jako arXiV: math.DS / 9201272.)

[1]

[2]

[3]