Unikající sada - Escaping set

V matematice, zejména komplexní dynamika, unikající sada z celá funkce ƒ se skládá ze všech bodů, které mají sklon pod nekonečnem opakovaná aplikace z ƒ.^[1]To je komplexní číslo ${ displaystyle z_ {0} in mathbb {C}}$ patří k unikající sadě právě tehdy, pokud je posloupnost definovaná znakem ${ displaystyle z_ {n + 1}: = f (z_ {n})}$ konverguje do nekonečna jako ${ displaystyle n}$ se zvětší. Unikající sada ${ displaystyle f}$ je označen ${ displaystyle I (f)}$.^[1]

Například pro ${ displaystyle f (z) = e ^ {z}}$, počátek patří do unikající sady od sekvence

${ displaystyle 0,1, e, e ^ {e}, e ^ {e ^ {e}}, tečky}$

inklinuje k nekonečnu.

Dějiny

Iteraci transcendentálních celých funkcí nejprve studoval Pierre Fatou v roce 1926^[2]K unikající sadě dochází implicitně v jeho studiu explicitních celých funkcí ${ displaystyle f (z) = z + 1 + exp (-z)}$ a ${ displaystyle f (z) = c sin (z)}$.

Nevyřešený problém v matematice: Může unikající sada transcendentální celé funkce mít ohraničenou komponentu? (více nevyřešených úloh z matematiky)

První studie unikající sady pro obecnou transcendentální celou funkci je způsobena Alexandre Eremenko kdo použil Wiman-Valironova teorie.^[3]Domníval se, že každý připojená součást unikající množiny transcendentální celé funkce je neomezené. Toto se stalo známým Eremenkova domněnka.^[1][4] Existuje mnoho dílčích výsledků tohoto problému, ale od roku 2013 je domněnka stále otevřená.

Eremenko se také zeptal, zda lze každý unikající bod spojit s nekonečnem křivkou v unikající sadě; později se ukázalo, že tomu tak není. Ve skutečnosti existují celé funkce, jejichž unikající sady vůbec neobsahují žádné křivky.^[4]

Vlastnosti

Je známo, že pro unikající sadu jakékoli nekonstantní a nelineární celé funkce platí následující vlastnosti. (Tady nelineární znamená, že funkce nemá formu ${ displaystyle f (z) = az + b}$.)

• Unikající sada obsahuje alespoň jeden bod.^[A]
• The hranice unikající sady je přesně ta Julia set.^[b] Zejména unikající sada nikdy není Zavřeno.
• U transcendentální celé funkce unikající sada vždy protíná sadu Julia.^[C] Zejména unikající sada je otevřeno kdyby a jen kdyby ${ displaystyle f}$ je polynom.
• Každá připojená součást uzávěru unikající sady je neomezená.^[d]
• Unikající sada má vždy alespoň jednu neomezenou připojenou komponentu.^[1]
• Unikající sada je připojena nebo má nekonečně mnoho komponent.^[5]
• Sada ${ displaystyle I (f) pohár { infty }}$ je připojen.^[5]

Všimněte si, že závěrečné prohlášení neznamená Eremenkovu domněnku. (Ve skutečnosti existují propojené prostory, ve kterých je odstranění jediného bod rozptylu zbývající prostor zcela odpojen.)

Příklady

Polynomy

A polynomiální stupně 2 sahá až k analytické vlastní mapě města Riemannova koule, které mají super přitahující pevný bod v nekonečnu. Unikající sada je přesně ta povodí přitažlivosti tohoto pevného bodu, a proto se obvykle označuje jako ** povodí nekonečna **. V tomto případě, ${ displaystyle I (f)}$ je otevřeno a připojeno podmnožina komplexní roviny a Julia set je hranice této pánve.

Například unikající sada komplexní kvadratický polynom ${ displaystyle f (z) = z ^ {2}}$ se skládá přesně z doplňku disku uzavřené jednotky:

${ displaystyle I (f) = {z in mathbb {C} colon | z |> 1 }.}$

Transcendentální celé funkce

Unikající sada (expX − 1)/2.

Pro transcendentální celé funkce, unikající množina je mnohem komplikovanější než u polynomů: v nejjednodušších případech, jako je ten, který je znázorněn na obrázku, se skládá z nespočetně mnoha křivek, tzv. vlasy nebo paprsky. V dalších příkladech může být struktura unikající sady velmi odlišná (a pavoučí síť).^[6] Jak bylo uvedeno výše, existují příklady transcendentálních celých funkcí, jejichž unikající sada neobsahuje žádné křivky.^[4]

Podle definice je unikající sada Sada Fσδ; to znamená spočetnou křižovatku Fσ sady. Není to ani jedno, ani druhé Gδ ani Fσ.^[7]

Viz také

• únikový stav nebo výpomoc
• sada cílů

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Lasse Rempe. „Báseň o domněnce Eremenko“.