Očekávaný schodek - Expected shortfall - Wikipedia

Očekávaný schodek (ES) je míra rizika —Koncept používaný v oblasti měření finančních rizik k vyhodnocení tržní riziko nebo úvěrové riziko portfolia. „Očekávaný schodek na úrovni q%“ je očekávaná nejhorší návratnost portfolia ${ displaystyle q \%}$ případů. ES je alternativou k hodnota v riziku to je citlivější na tvar ocasu rozdělení ztrát.

Očekává se také očekávaný schodek podmíněná hodnota v riziku (CVaR),^[1] průměrná hodnota v riziku (AVaR), očekávaná ztráta ocasu (ETL), a superkvantilní.^[2]

ES odhaduje riziko investice konzervativním způsobem se zaměřením na méně ziskové výsledky. Pro vysoké hodnoty ${ displaystyle q}$ ignoruje nejziskovější, ale nepravděpodobné možnosti, zatímco pro malé hodnoty ${ displaystyle q}$ zaměřuje se na nejhorší ztráty. Na druhou stranu, na rozdíl od diskontovaná maximální ztráta, i pro nižší hodnoty ${ displaystyle q}$ očekávaný schodek nezohledňuje pouze jediný nejkatastrofičtější výsledek. Hodnota ${ displaystyle q}$ v praxi se často používá 5%.^{[Citace je zapotřebí ]}

Očekávaný schodek je považován za užitečnější měřítko rizika než VaR, protože se jedná o koherentní, a navíc a spektrální, opatření rizika finančního portfolia. Vypočítává se pro daný kvantil -úroveň ${ displaystyle q}$ , a je definována jako průměrná ztráta portfolio hodnota za předpokladu, že ke ztrátě dochází na nebo pod ${ displaystyle q}$ -kvantilní.

Formální definice

Li ${ displaystyle X v L ^ {p} ({ mathcal {F}})}$ (an LP prostor ) je výplata portfolia v budoucnu a ${ displaystyle 0 < alpha <1}$ pak definujeme očekávaný schodek jako

{ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} = - { frac {1} { alpha}} int _ {0} ^ { alpha} operatorname {VaR} _ { gamma} (X) , d gamma}

kde ${ displaystyle operatorname {VaR} _ { gamma}}$ je hodnota v riziku. To lze ekvivalentně napsat jako

{ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} = - { frac {1} { alpha}} left ( operatorname {E} [X 1 _ { {X leq x _ { alpha} }}] + x _ { alpha} ( alpha -P [X leq x _ { alpha}]) right)}

kde ${ displaystyle x _ { alpha} = inf {x in mathbb {R}: P (X leq x) geq alpha }}$ je nižší ${ displaystyle alpha}$ -kvantil a ${ displaystyle 1_ {A} (x) = { begin {cases} 1 & { text {if}} x in A 0 & { text {else}} end {cases}}}$ je funkce indikátoru.^[3] Dvojí zastoupení je

{ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} = inf _ {Q in { mathcal {Q}} _ { alpha}} E ^ {Q} [X]}

kde ${ displaystyle { mathcal {Q}} _ { alpha}}$ je sada pravděpodobnostní opatření což jsou absolutně kontinuální na fyzickou míru ${ displaystyle P}$ takhle ${ displaystyle { frac {dQ} {dP}} leq alpha ^ {- 1}}$ téměř jistě.^[4] Všimněte si, že ${ displaystyle { frac {dQ} {dP}}}$ je Derivát Radon – Nikodym z ${ displaystyle Q}$ s ohledem na ${ displaystyle P}$ .

Očekávaný schodek lze zobecnit na obecnou třídu opatření koherentního rizika pro ${ displaystyle L ^ {p}}$ mezery (LP prostor ) s odpovídající dvojí charakterizací v odpovídajícím ${ displaystyle L ^ {q}}$ dvojí prostor. Doménu lze rozšířit o obecnější Orlicz Hearts.^[5]

Pokud je podkladová distribuce pro ${ displaystyle X}$ je spojitá distribuce, pak je očekávaný schodek ekvivalentní s podmíněné očekávání ocasu definován ${ displaystyle TCE _ { alpha} (X) = E [-X mid X leq - operatorname {VaR} _ { alpha} (X)]}$ .^[6]

Neformálně a nepřesně tato rovnice znamená, že „v případě ztrát tak závažných, že se vyskytnou pouze o alfa procenta času, jaká je naše průměrná ztráta“.

Očekávaný schodek lze také zapsat jako a míra rizika narušení dané funkce zkreslení

{ displaystyle g (x) = { begin {cases} { frac {x} {1- alpha}} & { text {if}} 0 leq x <1- alpha, 1 & { text {if}} 1- alpha leq x leq 1. end {případy}} quad}

^[7]^[8]

Příklady

Příklad 1. Pokud věříme, že naše průměrná ztráta z nejhorších 5% možných výsledků našeho portfolia je 1 000 EUR, pak bychom mohli říci, že náš očekávaný schodek je 1 000 EUR za 5% ocas.

Příklad 2. Zvažte portfolio, které bude mít na konci období následující možné hodnoty:

pravděpodobnost	koncová hodnota
události	portfolia
10%	0
30%	80
40%	100
20%	150

Nyní předpokládejme, že jsme za toto portfolio zaplatili 100 na začátku období. Pak je zisk v každém případě (koncová hodnota-100) nebo:

pravděpodobnost
události	zisk
10%	−100
30%	−20
40%	0
20%	50

Z této tabulky vypočítáme očekávaný schodek ${ displaystyle operatorname {E} S_ {q}}$ pro několik hodnot ${ displaystyle q}$ :

${ displaystyle q}$	očekávaný schodek ${ displaystyle operatorname {E} S_ {q}}$
5%	100
10%	100
20%	60
30%	46.6
40%	40
50%	32
60%	26.6
80%	20
90%	12.2
100%	6

Chcete-li zjistit, jak byly tyto hodnoty vypočítány, zvažte výpočet ${ displaystyle operatorname {E} S_ {0,05}}$ , očekávání v nejhorších 5% případů. Tyto případy patří (jsou a podmnožina z) řádek 1 v tabulce zisků, které mají zisk −100 (celková ztráta ze 100 investovaných). Očekávaný zisk pro tyto případy je −100.

Nyní zvažte výpočet ${ displaystyle operatorname {E} S_ {0.20}}$ , očekávání v nejhorších 20 ze 100 případů. Jedná se o následující případy: 10 případů z prvního řádku a 10 případů z druhého řádku (všimněte si, že 10 + 10 se rovná požadovaným 20 případům). Pro řádek 1 je zisk −100, zatímco pro řádek 2 zisk −20. Pomocí vzorce očekávané hodnoty dostaneme

{ displaystyle { frac {{ frac {10} {100}} (- 100) + { frac {10} {100}} (- 20)} { frac {20} {100}}} = - 60.}

Podobně pro jakoukoli hodnotu ${ displaystyle q}$ . Vybereme tolik řádků, které začínají od vrcholu, kolik je potřeba k získání kumulativní pravděpodobnosti ${ displaystyle q}$ a poté vypočítat očekávání nad těmito případy. Poslední vybraný řádek obecně nemusí být plně použit (například při výpočtu ${ displaystyle - operatorname {E} S_ {0.20}}$ použili jsme pouze 10 z 30 případů na 100 poskytnutých v řádku 2).

Jako poslední příklad vypočítat ${ displaystyle - operatorname {E} S_ {1}}$ . Toto je očekávání ve všech případech, nebo

{ Displaystyle 0,1 (-100) +0,3 (-20) +0,4 cdot 0 + 0,2 cdot 50 = -6. ,}

The hodnota v riziku (VaR) je uveden níže pro srovnání.

${ displaystyle q}$	${ displaystyle operatorname {VaR} _ {q}}$
${ displaystyle 0 \% leq q <10 \%}$	−100
${ Displaystyle 10 \% leq q <40 \%}$	−20
${ displaystyle 40 \% leq q <80 \%}$	0
${ Displaystyle 80 \% leq q leq 100 \%}$	50

Vlastnosti

Očekávaný schodek ${ displaystyle operatorname {E} S_ {q}}$ se zvyšuje jako ${ displaystyle q}$ klesá.

100% -kvantilní očekávaný schodek ${ displaystyle operatorname {E} S_ {1.0}}$ se rovná záporné z očekávaná hodnota portfolia.

U daného portfolia očekávaný schodek ${ displaystyle operatorname {E} S_ {q}}$ je větší nebo rovna hodnotě v riziku ${ displaystyle operatorname {VaR} _ {q}}$ zároveň ${ displaystyle q}$ úroveň.

Optimalizace očekávaného schodku

Je známo, že očekávaný schodek ve své standardní podobě vede k obecně nekonvexnímu optimalizačnímu problému. Je však možné problém přeměnit na a lineární program a najít globální řešení.^[9] Díky této vlastnosti je očekávaný schodek základním kamenem alternativ k průměrná odchylka optimalizace portfolia, které zohledňují vyšší momenty (např. šikmost a špičatost) distribuce návratnosti.

Předpokládejme, že chceme minimalizovat očekávaný nedostatek portfolia. Klíčovým příspěvkem Rockafellar a Uryasev v jejich článku z roku 2000 je zavedení pomocné funkce ${ displaystyle F _ { alpha} (w, gamma)}$ pro očekávaný schodek:

{ displaystyle F _ { alpha} (w, gamma) = gamma + {1 nad {1- alpha}} int _ { ell (w, x) geq gamma} [ ell (w , x) - gamma] p (x) , dx}

Kde

{ displaystyle gamma = operatorname {VaR} _ { alpha} (X)}

a

{ displaystyle ell (w, x)}

je ztrátová funkce pro sadu vah portfolia

{ displaystyle w in mathbb {R} ^ {p}}

použít na vrácení. Rockafellar / Uryasev to dokázal

{ displaystyle F _ { alpha} (w, gamma)}

je konvexní s ohledem na

{ displaystyle gamma}

a odpovídá očekávanému nedostatku v minimálním bodě. K numerickému výpočtu očekávaného schodku u souboru výnosů portfolia je nutné vygenerovat

{ displaystyle J}

simulace složek portfolia; to se často provádí pomocí spony. S těmito simulacemi v ruce lze pomocnou funkci aproximovat:

{ displaystyle { widetilde {F}} _ { alpha} (w, gamma) = gamma + {1 over {(1- alpha) J}} součet _ {j = 1} ^ {J } [ ell (w, x_ {j}) - gamma] _ {+}}

To odpovídá formulaci:

{ displaystyle min _ { gama, z, w} ; gama + {1 nad {(1- alfa) J}} součet _ {j = 1} ^ {J} z_ {j}, quad { text {sv }} z_ {j} geq ell (w, x_ {j}) - gamma geq 0}

Nakonec výběr funkce lineární ztráty

{ displaystyle ell (w, x_ {j}) = - w ^ {T} x_ {j}}

promění optimalizační problém v lineární program. Pomocí standardních metod je pak snadné najít portfolio, které minimalizuje očekávaný nedostatek.

Vzorce pro spojité rozdělení pravděpodobnosti

Existují uzavřené vzorce pro výpočet očekávaného schodku při výplatě portfolia ${ displaystyle X}$ nebo odpovídající ztráta ${ displaystyle L = -X}$ sleduje konkrétní spojitou distribuci. V prvním případě očekávaný schodek odpovídá opačnému počtu podmíněného očekávání levého ocasu níže ${ displaystyle - operatorname {VaR} _ { alpha} (X)}$ :

{ displaystyle operatorname {ES} _ { alpha} (X) = E [-X mid X leq - operatorname {VaR} _ { alpha} (X)] = - { frac {1} { alpha}} int _ {0} ^ { alpha} operatorname {VaR} _ { gamma} (X) , d gamma = - { frac {1} { alpha}} int _ { - infty} ^ {- operatorname {VaR} _ { alpha} (X)} xf (x) , dx.}

Typické hodnoty ${ textstyle alpha}$ v tomto případě jsou 5% a 1%.

Pro inženýrské nebo pojistně-matematické aplikace je běžnější uvažovat o rozdělení ztrát ${ displaystyle L = -X}$ , očekávaný schodek v tomto případě odpovídá výše uvedenému podmíněnému pravému ocasu ${ displaystyle operatorname {VaR} _ { alpha} (L)}$ a typické hodnoty ${ displaystyle alpha}$ jsou 95% a 99%:

{ displaystyle operatorname {ES} _ { alpha} (L) = operatorname {E} [L mid L geq operatorname {VaR} _ { alpha} (L)] = { frac {1} {1- alpha}} int _ { alpha} ^ {1} operatorname {VaR} _ { gamma} (L) d gamma = { frac {1} {1- alpha}} int _ { operatorname {VaR} _ { alpha} (L)} ^ {+ infty} yf (y) , dy.}

Protože některé vzorce níže byly odvozeny pro případ levého ocasu a některé pro případ pravého ocasu, mohou být užitečná následující sladění:

{ displaystyle operatorname {ES} _ { alpha} (X) = - { frac {1} { alpha}} operatorname {E} [X] + { frac {1- alpha} { alfa }} operatorname {ES} _ { alpha} (L) { text {a}} operatorname {ES} _ { alpha} (L) = { frac {1} {1- alpha}} operatorname {E} [L] + { frac { alpha} {1- alpha}} operatorname {ES} _ { alpha} (X).}

Normální distribuce

Pokud výplata portfolia ${ displaystyle X}$ následuje normální (Gaussovo) rozdělení s p.d.f. ${ displaystyle f (x) = { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} sigma}} e ^ {- { frac {(x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}}}$ pak se očekávaný schodek rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (X) = mu + sigma { frac { varphi ( Phi ^ {- 1} ( alpha))} { alpha}}}$ , kde ${ displaystyle varphi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} e ^ {- { frac {x ^ {2}} {2}}}}$ je standardní normální p.d.f., ${ displaystyle Phi (x)}$ je standardní normální c.d.f., takže ${ displaystyle Phi ^ {- 1} ( alfa)}$ je standardní normální kvantil.^[10]

Pokud dojde ke ztrátě portfolia ${ displaystyle L}$ následuje normální rozdělení, očekávaný schodek se rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (L) = mu + sigma { frac { varphi ( Phi ^ {- 1} ( alpha))} {1- alpha}}}$ .^[11]

Zobecněná Studentova t-distribuce

Pokud výplata portfolia ${ displaystyle X}$ následuje zobecněný Studentova t-distribuce s p.d.f. ${ displaystyle f (x) = { frac { Gamma { bigl (} { frac { nu +1} {2}} { bigr)}} { Gamma { bigl (} { frac { nu} {2}} { bigr)} { sqrt { pi nu}} sigma}} vlevo (1 + { frac {1} { nu}} vlevo ({ frac {x - mu} { sigma}} right) ^ {2} right) ^ {- { frac { nu +1} {2}}}}$ pak se očekávaný schodek rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (X) = mu + sigma { frac { nu + ( mathrm {T} ^ {- 1} ( alpha)) ^ {2}} { nu -1}} { frac { tau ( mathrm {T} ^ {- 1} ( alpha))} {1- alpha}}}$ , kde ${ displaystyle tau (x) = { frac { Gamma { bigl (} { frac { nu +1} {2}} { bigr)}} { Gamma { bigl (} { frac { nu} {2}} { bigr)} { sqrt { pi nu}}}} { Bigl (} 1 + { frac {x ^ {2}} { nu}} { Bigr )} ^ {- { frac { nu +1} {2}}}}$ je standardní t-distribuce p.d.f., ${ displaystyle mathrm {T} (x)}$ je standardní t-distribuce c.d.f., tak ${ displaystyle mathrm {T} ^ {- 1} ( alfa)}$ je standardní kvantil t-distribuce.^[10]

Pokud dojde ke ztrátě portfolia ${ displaystyle L}$ následuje zobecněné Studentovo t-rozdělení, očekávaný schodek se rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (L) = mu + sigma { frac { nu + ( mathrm {T} ^ {- 1} ( alpha)) ^ {2}} { nu -1}} { frac { tau ( mathrm {T} ^ {- 1} ( alpha))} {1- alpha}}}$ .^[11]

Laplaceova distribuce

Pokud výplata portfolia ${ displaystyle X}$ následuje Laplaceova distribuce s p.d.f.

{ displaystyle f (x) = { frac {1} {2b}} e ^ {- | x- mu | / b}}

a c.d.f.

{ displaystyle F (x) = { begin {cases} 1 - { frac {1} {2}} e ^ {- (x- mu) / b} & { text {if}} x geq mu, [4pt] { frac {1} {2}} e ^ {(x- mu) / b} & { text {if}} x < mu. end {případy}}}

pak se očekávaný schodek rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (X) = - mu + b (1- ln 2 alpha)}$ pro ${ displaystyle alpha leq 0,5}$ .^[10]

Pokud dojde ke ztrátě portfolia ${ displaystyle L}$ následuje Laplaceovo rozdělení, očekávaný schodek se rovná

{ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (L) = { begin {cases} mu + b { frac { alpha} {1- alpha}} (1- ln 2 alpha) & { text {if}} alpha <0,5, [4pt] mu + b [1- ln (2 (1- alpha))] & { text {if}} alpha geq 0,5 . end {případy}} quad}

^[11]

Logistická distribuce

Pokud výplata portfolia ${ displaystyle X}$ následuje logistická distribuce s p.d.f. ${ displaystyle f (x) = { frac {1} {s}} e ^ {- { frac {x- mu} {s}}} { Bigl (} 1 + e ^ {- { frac {x- mu} {s}}} { Bigr)} ^ {- 2}}$ a c.d.f. ${ displaystyle F (x) = { Bigl (} 1 + e ^ {- { frac {x- mu} {s}}} { Bigr)} ^ {- 1}}$ pak se očekávaný schodek rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (X) = - mu + s ln { frac {(1- alpha) ^ {1 - { frac {1} { alpha}}} } { alpha}}}$ .^[10]

Pokud dojde ke ztrátě portfolia ${ displaystyle L}$ následuje logistická distribuce, očekávaný schodek se rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (L) = mu + s { frac {- alpha ln alpha - (1- alpha) ln (1- alpha)} {1 - alpha}}}$ .^[11]

Exponenciální rozdělení

Pokud dojde ke ztrátě portfolia ${ displaystyle L}$ následuje exponenciální rozdělení s p.d.f. ${ displaystyle f (x) = { begin {cases} lambda e ^ {- lambda x} & { text {if}} x geq 0, 0 & { text {if}} x <0 . end {případy}}}$ a c.d.f. ${ displaystyle F (x) = { begin {cases} 1-e ^ {- lambda x} & { text {if}} x geq 0, 0 & { text {if}} x <0 . end {případy}}}$ pak se očekávaný schodek rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (L) = { frac {- ln (1- alpha) +1} { lambda}}}$ .^[11]

Paretova distribuce

Pokud dojde ke ztrátě portfolia ${ displaystyle L}$ následuje Paretova distribuce s p.d.f. ${ displaystyle f (x) = { begin {cases} { frac {ax_ {m} ^ {a}} {x ^ {a + 1}}} & { text {if}} x geq x_ { m}, 0 & { text {if}} x$ a c.d.f. ${ displaystyle F (x) = { začít {případy} 1- (x_ {m} / x) ^ {a} & { text {if}} x geq x_ {m}, 0 & { text {if}} x$ pak se očekávaný schodek rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (L) = { frac {x_ {m} a} {(1- alpha) ^ {1 / a} (a-1)}}}$ .^[11]

Zobecněná Paretova distribuce (GPD)

Pokud dojde ke ztrátě portfolia ${ displaystyle L}$ následuje GPD s p.d.f.

{ displaystyle f (x) = { frac {1} {s}} { Bigl (} 1 + { frac { xi (x- mu)} {s}} { Bigr)} ^ {{ bigl (} - { frac {1} { xi}} - 1 { bigr)}}}

a c.d.f.

{ displaystyle F (x) = { begin {cases} 1 - { Big (} 1 + { frac { xi (x- mu)} {s}} { Big)} ^ {- { frac {1} { xi}}} & { text {if}} xi neq 0, 1- exp { bigl (} - { frac {x- mu} {s}} { bigr)} & { text {if}} xi = 0. end {cases}}}

pak se očekávaný schodek rovná

{ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (L) = { begin {cases} mu + s { Bigl [} { frac {(1- alpha) ^ {- xi}} { 1- xi}} + { frac {(1- alpha) ^ {- xi} -1} { xi}} { Bigr]} & { text {if}} xi neq 0, mu + s [1- ln (1- alpha)] & { text {if}} xi = 0, end {cases}}}

a VaR se rovná

{ displaystyle operatorname {VaR} _ { alpha} (L) = { begin {cases} mu + s { frac {(1- alpha) ^ {- xi} -1} { xi} } & { text {if}} xi neq 0, mu -s ln (1- alpha) & { text {if}} xi = 0. end {cases}} quad }

^[11]

Weibullova distribuce

Pokud dojde ke ztrátě portfolia ${ displaystyle L}$ následuje Weibullova distribuce s p.d.f. ${ displaystyle f (x) = { begin {cases} { frac {k} { lambda}} { Big (} { frac {x} { lambda}} { Big)} ^ {k- 1} e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} & { text {if}} x geq 0, 0 & { text {if}} x <0. end {cases}} }$ a c.d.f. ${ displaystyle F (x) = { begin {cases} 1-e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} & { text {if}} x geq 0, 0 & { text {if}} x <0. end {cases}}}$ pak se očekávaný schodek rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (L) = { frac { lambda} {1- alpha}} Gamma { Big (} 1 + { frac {1} {k}} , - ln (1- alpha) { Big)}}$ , kde ${ displaystyle Gamma (s, x)}$ je horní neúplná funkce gama.^[11]

Zobecněná extrémní distribuce hodnot (GEV)

Pokud výplata portfolia ${ displaystyle X}$ následuje GEV s p.d.f. ${ displaystyle f (x) = { begin {cases} { frac {1} { sigma}} { Bigl (} 1+ xi { frac {x- mu} { sigma}} { Bigr)} ^ {- { frac {1} { xi}} - 1} exp { Bigl [} - { Bigl (} 1+ xi { frac {x- mu} { sigma} } { Bigr)} ^ {- { frac {1} { xi}}} { Bigr]} & { text {if}} xi neq 0, { frac {1} { sigma}} e ^ {- { frac {x- mu} { sigma}}} e ^ {- e ^ {- { frac {x- mu} { sigma}}}}} a { text {if}} xi = 0. end {cases}}}$ a c.d.f. ${ displaystyle F (x) = { begin {cases} exp { Big (} - { big (} 1+ xi { frac {x- mu} { sigma}} { big)} ^ {- { frac {1} { xi}}} { Big)} & { text {if}} xi neq 0, exp { Big (} -e ^ {- { frac {x- mu} { sigma}}} { Big)} & { text {if}} xi = 0. end {cases}}}$ pak se očekávaný schodek rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (X) = { begin {cases} - mu - { frac { sigma} { alpha xi}} { big [} Gamma (1 - xi, - ln alpha) - alpha { big]} & { text {if}} xi neq 0, - mu - { frac { sigma} { alpha}} { big [} { text {li}} ( alpha) - alpha ln (- ln alpha) { big]} & { text {if}} xi = 0. end {případy }}}$ a VaR se rovná ${ displaystyle operatorname {VaR} _ { alpha} (X) = { begin {případů} - mu - { frac { sigma} { xi}} { big [} (- ln alfa ) ^ {- xi} -1 { big]} & { text {if}} xi neq 0, - mu + sigma ln (- ln alpha) & { text { if}} xi = 0. end {cases}}}$ , kde ${ displaystyle Gamma (s, x)}$ je horní neúplná funkce gama, ${ displaystyle { text {li}} (x) = int { frac {dx} { ln x}}}$ je logaritmická integrální funkce.^[12]

Pokud dojde ke ztrátě portfolia ${ displaystyle L}$ následuje GEV, pak se očekávaný schodek rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (X) = { begin {cases} mu + { frac { sigma} {(1- alpha) xi}} { big [} gamma (1- xi, - ln alpha) - (1- alpha) { big]} & { text {if}} xi neq 0, mu + { frac { sigma } {1- alpha}} { big [} y - { text {li}} ( alpha) + alpha ln (- ln alpha) { big]} & { text {if} } xi = 0. end {cases}}}$ , kde ${ displaystyle gamma (s, x)}$ je nižší neúplná funkce gama, ${ displaystyle y}$ je Euler-Mascheroniho konstanta.^[11]

Zobecněná distribuce hyperbolického sekansu (GHS)

Pokud výplata portfolia ${ displaystyle X}$ následuje Distribuce GHS s p.d.f. ${ displaystyle f (x) = { frac {1} {2 sigma}} operatorname {sech} ({ frac { pi} {2}} { frac {x- mu} { sigma} })}$ a c.d.f. ${ displaystyle F (x) = { frac {2} { pi}} arctan { Big [} exp { Big (} { frac { pi} {2}} { frac {x- mu} { sigma}} { Big)} { Big]}}$ pak se očekávaný schodek rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (X) = - mu - { frac {2 sigma} { pi}} ln { Big (} tan { frac { pi alpha} {2}} { Big)} - { frac {2 sigma} { pi ^ {2} alpha}} i { Big [} { text {Li}} _ {2} { Big (} -i tan { frac { pi alpha} {2}} { Big)} - operatorname {Li} _ {2} { Big (} i tan { frac { pi alpha} {2}} { Big)} { Big]}}$ , kde ${ displaystyle operatorname {Li} _ {2}}$ je Spenceova funkce, ${ displaystyle i = { sqrt {-1}}}$ je imaginární jednotka.^[12]

Johnsonova distribuce SU

Pokud výplata portfolia ${ displaystyle X}$ následuje Johnsonova distribuce SU s c.d.f. ${ displaystyle F (x) = Phi { Big [} gamma + delta sinh ^ {- 1} { Big (} { frac {x- xi} { lambda}} { Big) } { Big]}}$ pak se očekávaný schodek rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (X) = - xi - { frac { lambda} {2 alpha}} { Big [} exp { Big (} { frac { 1-2 gamma delta} {2 delta ^ {2}}} { Big)} Phi { Big (} Phi ^ {- 1} ( alpha) - { frac {1} { delta}} { Big)} - exp { Big (} { frac {1 + 2 gamma delta} {2 delta ^ {2}}} { Big)} Phi { Big (} Phi ^ {- 1} ( alpha) + { frac {1} { delta}} { Big)} { Big]}}$ , kde ${ displaystyle Phi}$ je c.d.f. standardního normálního rozdělení.^[13]

Distribuce typu Burr XII

Pokud výplata portfolia ${ displaystyle X}$ následuje Distribuce typu Burr XII s p.d.f. ${ displaystyle f (x) = { frac {ck} { beta}} { Big (} { frac {x- gamma} { beta}} { Big)} ^ {c-1} { Big [} 1 + { Big (} { frac {x- gamma} { beta}} { Big)} ^ {c} { Big]} ^ {- k-1}}$ a c.d.f. ${ displaystyle F (x) = 1 - { Big [} 1 + { Big (} { frac {x- gamma} { beta}} { Big)} ^ {c} { Big]} ^ {- k}}$ , očekávaný schodek se rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (X) = - gamma - { frac { beta} { alpha}} { Big (} (1- alpha) ^ {- 1 / k } -1 { Big)} ^ {1 / c} { Big [} alpha -1 + {_ {2} F_ {1}} { Big (} { frac {1} {c}}, k; 1 + { frac {1} {c}}; 1- (1- alpha) ^ {- 1 / k} { Big)} { Big]}}$ , kde ${ displaystyle _ {2} F_ {1}}$ je hypergeometrická funkce. Alternativně, ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (X) = - gamma - { frac { beta} { alpha}} { frac {ck} {c + 1}} { velký (} (1- alpha) ^ {- 1 / k} -1 { Big)} ^ {1 + { frac {1} {c}}} {_ {2} F_ {1}} { Big (} 1 + { frac {1} {c}}, k + 1; 2 + { frac {1} {c}}; 1- (1- alpha) ^ {- 1 / k} { Big)} }$ .^[12]

Distribuce dagum

Pokud výplata portfolia ${ displaystyle X}$ následuje Distribuce dagum s p.d.f. ${ displaystyle f (x) = { frac {ck} { beta}} { Big (} { frac {x- gamma} { beta}} { Big)} ^ {ck-1} { Big [} 1 + { Big (} { frac {x- gamma} { beta}} { Big)} ^ {c} { Big]} ^ {- k-1}}$ a c.d.f. ${ displaystyle F (x) = { Big [} 1 + { Big (} { frac {x- gamma} { beta}} { Big)} ^ {- c} { Big]} ^ {-k}}$ , očekávaný schodek se rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (X) = - gamma - { frac { beta} { alpha}} { frac {ck} {ck + 1}} { Big (} alpha ^ {- 1 / k} -1 { Big)} ^ {- k - { frac {1} {c}}} {_ {2} F_ {1}} { Big (} k + 1 , k + { frac {1} {c}}; k + 1 + { frac {1} {c}}; - { frac {1} { alpha ^ {- 1 / k} -1}} { Big)}}$ , kde ${ displaystyle _ {2} F_ {1}}$ je hypergeometrická funkce.^[12]

Logické normální rozdělení

Pokud výplata portfolia ${ displaystyle X}$ následuje lognormální distribuce, tj. náhodná proměnná ${ displaystyle ln (1 + X)}$ následuje normální rozdělení s p.d.f. ${ displaystyle f (x) = { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} sigma}} e ^ {- { frac {(x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}}}$ , pak se očekávaný schodek rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (X) = 1- exp { Bigl (} mu + { frac { sigma ^ {2}} {2}} { Bigr)} { frac { Phi ( Phi ^ {- 1} ( alpha) - sigma)} { alpha}}}$ , kde ${ displaystyle Phi (x)}$ je standardní normální c.d.f., takže ${ displaystyle Phi ^ {- 1} ( alfa)}$ je standardní normální kvantil.^[14]

Log-logistická distribuce

Pokud výplata portfolia ${ displaystyle X}$ následuje log-logistická distribuce, tj. náhodná proměnná ${ displaystyle ln (1 + X)}$ sleduje logistickou distribuci s p.d.f. ${ displaystyle f (x) = { frac {1} {s}} e ^ {- { frac {x- mu} {s}}} { Bigl (} 1 + e ^ {- { frac {x- mu} {s}}} { Bigr)} ^ {- 2}}$ , pak se očekávaný schodek rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (X) = 1 - { frac {e ^ { mu}} { alpha}} I _ { alpha} (1 + s, 1-s) { frac { pi s} { sin pi s}}}$ , kde ${ displaystyle I _ { alpha}}$ je legalizovaná neúplná beta funkce, ${ displaystyle I _ { alpha} (a, b) = { frac { mathrm {B} _ { alpha} (a, b)} { mathrm {B} (a, b)}}}$ .

Protože neúplná funkce beta je definována pouze pro pozitivní argumenty, u obecnějšího případu lze očekávaný nedostatek vyjádřit pomocí hypergeometrická funkce: ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (X) = 1 - { frac {e ^ { mu} alpha ^ {s}} {s + 1}} {_ {2} F_ {1 }} (s, s + 1; s + 2; alfa)}$ .^[14]

Pokud dojde ke ztrátě portfolia ${ displaystyle L}$ následuje log-logistická distribuce s p.d.f. ${ displaystyle f (x) = { frac {{ frac {b} {a}} (x / a) ^ {b-1}} {(1+ (x / a) ^ {b}) ^ { 2}}}}$ a c.d.f. ${ displaystyle F (x) = { frac {1} {1+ (x / a) ^ {- b}}}}$ , pak se očekávaný schodek rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (L) = { frac {a} {1- alpha}} { Bigl [} { frac { pi} {b}} csc { Bigl (} { frac { pi} {b}} { Bigr)} - mathrm {B} _ { alpha} { Bigl (} { frac {1} {b}} + 1,1- { frac {1} {b}} { Bigr)} { Bigr]}}$ , kde ${ displaystyle B _ { alpha}}$ je neúplná funkce beta.^[11]

Log-Laplaceova distribuce

Pokud výplata portfolia ${ displaystyle X}$ následuje log-Laplaceova distribuce, tj. náhodná proměnná ${ displaystyle ln (1 + X)}$ následuje Laplaceovo rozdělení p.d.f. ${ displaystyle f (x) = { frac {1} {2b}} e ^ {- { frac {| x- mu |} {b}}}}$ , pak se očekávaný schodek rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (X) = { begin {cases} 1 - { frac {e ^ { mu} (2 alpha) ^ {b}} {b + 1} } & { text {if}} alpha leq 0,5, 1 - { frac {e ^ { mu} 2 ^ {- b}} { alpha (b-1)}} { big [ } (1- alpha) ^ {(1-b)} - 1 { big]} & { text {if}} alpha> 0,5. End {cases}}}$ .^[14]

Zobecněná distribuce hyperbolických secantů (log-GHS)

Pokud výplata portfolia ${ displaystyle X}$ sleduje distribuci log-GHS, tj. náhodnou proměnnou ${ displaystyle ln (1 + X)}$ následuje Distribuce GHS s p.d.f. ${ displaystyle f (x) = { frac {1} {2 sigma}} operatorname {sech} ({ frac { pi} {2}} { frac {x- mu} { sigma} })}$ , pak se očekávaný schodek rovná ${ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} (X) = 1 - { frac {1} { alpha ( sigma + { pi / 2})}}} { Big (} tan { frac { pi alpha} {2}} exp { frac { pi mu} {2 sigma}} { Big)} ^ {2 sigma / pi} tan { frac { pi alpha} {2}} {_ {2} F_ {1}} { Big (} 1, { frac {1} {2}} + { frac { sigma} { pi}}; { frac {3} {2}} + { frac { sigma} { pi}}; - tan { big (} { frac { pi alpha} {2}} { big)} ^ { 2} { Velký)}}$ , kde ${ displaystyle _ {2} F_ {1}}$ je hypergeometrická funkce.^[14]

Dynamický očekávaný schodek

The podmiňovací způsob verze očekávaného schodku v té době t je definováno

{ displaystyle operatorname {E} S _ { alpha} ^ {t} (X) = operatorname {ess sup} _ {Q in { mathcal {Q}} _ { alpha} ^ {t}} E ^ {Q} [- X mid { mathcal {F}} _ {t}]}

kde ${ displaystyle { mathcal {Q}} _ { alpha} ^ {t} = {Q = P , vert _ {{ mathcal {F}} _ {t}}: { frac {dQ} {dP}} leq alpha _ {t} ^ {- 1} { text {as}} }}$ .^[15]^[16]

To není časově konzistentní míra rizika. Časově konzistentní verze je dána

{ displaystyle rho _ { alpha} ^ {t} (X) = operatorname {ess sup} _ {Q in { tilde { mathcal {Q}}} _ { alpha} ^ {t} } E ^ {Q} [- X mid { mathcal {F}} _ {t}]}

takhle

{ displaystyle { tilde { mathcal {Q}}} _ { alpha} ^ {t} = left {Q ll P: operatorname {E} left [{ frac {dQ} {dP} } mid { mathcal {F}} _ { tau +1} right] leq alpha _ {t} ^ {- 1} operatorname {E} left [{ frac {dQ} {dP} } mid { mathcal {F}} _ { tau} right] ; forall tau geq t { text {as}} right }.}

^[17]

Viz také

Koherentní opatření k riziku
EMP pro stochastické programování - technologie řešení pro optimalizační problémy zahrnující ES a VaR
Entropická hodnota v ohrožení
Hodnota v riziku

Metody statistického odhadu VaR a ES lze nalézt v Embrechts et al.^[18] a Novak.^[19] Při prognózování VaR a ES nebo při optimalizaci portfolií za účelem minimalizace rizika ocasu je důležité zohlednit asymetrickou závislost a nenormality v distribuci výnosů akcií, jako je autoregrese, asymetrická volatilita, šikmost a špičatost.^[20]

Reference

^ Rockafellar, R. Tyrrell; Uryasev, Stanislav (2000). „Optimalizace podmíněné hodnoty v riziku“ (PDF). Journal of Risk. 2 (3): 21–42. doi:10.21314 / JOR.2000.038.
^ Rockafellar, R. Tyrrell; Royset, Johannes (2010). „Pravděpodobnost výpadku vyrovnávací paměti při návrhu a optimalizaci struktur“ (PDF). Spolehlivost a bezpečnost systému. 95 (5): 499–510. doi:10.1016 / j.ress.2010.01.001.
^ Carlo Acerbi; Dirk Tasche (2002). „Očekávaný schodek: přirozená koherentní alternativa k hodnotě v riziku“ (PDF). Ekonomické poznámky. 31 (2): 379–388. arXiv:cond-mat / 0105191. doi:10.1111/1468-0300.00091. S2CID 10772757. Citováno 25. dubna 2012.
^ Föllmer, H .; Schied, A. (2008). „Konvexní a koherentní opatření k riziku“ (PDF). Citováno 4. října 2011. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ Patrick Cheridito; Tianhui Li (2008). "Duální charakterizace vlastností rizikových opatření na srdcích Orlicz". Matematika a finanční ekonomie. 2: 2–29. doi:10.1007 / s11579-008-0013-7. S2CID 121880657.
^ „Průměrná hodnota v riziku“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 19. července 2011. Citováno 2. února 2011.
^ Julia L. Wirch; Mary R. Hardy. „Opatření týkající se rizika zkreslení: soudržnost a stochastická dominance“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) 5. července 2016. Citováno 10. března 2012.
^ Balbás, A .; Garrido, J .; Mayoral, S. (2008). „Vlastnosti opatření ke zkreslení rizika“ (PDF). Metodika a výpočet v aplikované pravděpodobnosti. 11 (3): 385. doi:10.1007 / s11009-008-9089-z. hdl:10016/14071. S2CID 53327887.
^ Rockafellar, R. Tyrrell; Uryasev, Stanislav (2000). „Optimalizace podmíněné hodnoty v riziku“ (PDF). Journal of Risk. 2 (3): 21–42. doi:10.21314 / JOR.2000.038.
^ ^A ^b ^C ^d Khokhlov, Valentyn (2016). „Podmíněné Value-at-Risk pro eliptické distribuce“. Evropský časopis Ekonomiky a Managementu. 2 (6): 70–79.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j Norton, Matthew; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2018-11-27). "Výpočet CVaR a bPOE pro běžné rozdělení pravděpodobnosti při aplikaci na optimalizaci portfolia a odhad hustoty". arXiv:1811.11301 [q-fin. RM ].
^ ^A ^b ^C ^d Khokhlov, Valentyn (2018-06-21). "Podmíněná hodnota v riziku pro neobvyklé distribuce". SSRN 3200629. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ Stucchi, Patrizia (2011-05-31). „Odhad CVaR podle momentu: kvazi-uzavřené vzorce“. SSRN 1855986. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ ^A ^b ^C ^d Khokhlov, Valentyn (2018-06-17). "Podmíněná hodnota v riziku pro distribuci protokolů". SSRN 3197929. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ Detlefsen, Kai; Scandolo, Giacomo (2005). „Podmíněná a dynamická opatření konvexního rizika“ (PDF). Finance Stoch. 9 (4): 539–561. CiteSeerX 10.1.1.453.4944. doi:10.1007 / s00780-005-0159-6. S2CID 10579202. Citováno 11. října 2011.^{[mrtvý odkaz ]}
^ Acciaio, Beatrice; Penner, Irina (2011). „Dynamická opatření konvexního rizika“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) 2. září 2011. Citováno 11. října 2011. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ Cheridito, Patrick; Kupper, Michael (květen 2010). „Složení časově konzistentních dynamických měnových rizik v diskrétním čase“ (PDF). International Journal of Theoretical and Applied Finance. Archivovány od originál (PDF) dne 19. července 2011. Citováno 4. února 2011.
^ Embrechts P., Kluppelberg C. a Mikosch T., Modeling Extremal Events for Insurance and Finance. Springer (1997).
^ Novak S.Y., Metody extrémní hodnoty s aplikacemi k financování. Chapman & Hall / CRC Press (2011). ISBN 978-1-4398-3574-6.
^ Low, R.K.Y .; Alcock, J .; Faff, R .; Brailsford, T. (2013). „Kanonické kopule révy vinné v kontextu moderní správy portfolia: Stojí to za to?“ (PDF). Journal of Banking & Finance. 37 (8): 3085–3099. doi:10.1016 / j.jbankfin.2013.02.036. S2CID 154138333.

externí odkazy

[1] Rockafellar, R. Tyrrell; Uryasev, Stanislav (2000). „Optimalizace podmíněné hodnoty v riziku“ (PDF). Journal of Risk. 2 (3): 21–42. doi:10.21314 / JOR.2000.038.

[2] Rockafellar, R. Tyrrell; Royset, Johannes (2010). „Pravděpodobnost výpadku vyrovnávací paměti při návrhu a optimalizaci struktur“ (PDF). Spolehlivost a bezpečnost systému. 95 (5): 499–510. doi:10.1016 / j.ress.2010.01.001.

[AcerbiTasche-3] Carlo Acerbi; Dirk Tasche (2002). „Očekávaný schodek: přirozená koherentní alternativa k hodnotě v riziku“ (PDF). Ekonomické poznámky. 31 (2): 379–388. arXiv:cond-mat / 0105191. doi:10.1111/1468-0300.00091. S2CID 10772757. Citováno 25. dubna 2012.

[4] Föllmer, H .; Schied, A. (2008). „Konvexní a koherentní opatření k riziku“ (PDF). Citováno 4. října 2011. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[5] Patrick Cheridito; Tianhui Li (2008). "Duální charakterizace vlastností rizikových opatření na srdcích Orlicz". Matematika a finanční ekonomie. 2: 2–29. doi:10.1007 / s11579-008-0013-7. S2CID 121880657.

[6] „Průměrná hodnota v riziku“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 19. července 2011. Citováno 2. února 2011.

[Wirch-7] Julia L. Wirch; Mary R. Hardy. „Opatření týkající se rizika zkreslení: soudržnost a stochastická dominance“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) 5. července 2016. Citováno 10. března 2012.

[PropertiesDRM-8] Balbás, A .; Garrido, J .; Mayoral, S. (2008). „Vlastnosti opatření ke zkreslení rizika“ (PDF). Metodika a výpočet v aplikované pravděpodobnosti. 11 (3): 385. doi:10.1007 / s11009-008-9089-z. hdl:10016/14071. S2CID 53327887.

[9] Rockafellar, R. Tyrrell; Uryasev, Stanislav (2000). „Optimalizace podmíněné hodnoty v riziku“ (PDF). Journal of Risk. 2 (3): 21–42. doi:10.21314 / JOR.2000.038.

[:0-10] A ^b ^C ^d Khokhlov, Valentyn (2016). „Podmíněné Value-at-Risk pro eliptické distribuce“. Evropský časopis Ekonomiky a Managementu. 2 (6): 70–79.

[:1-11] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j Norton, Matthew; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2018-11-27). "Výpočet CVaR a bPOE pro běžné rozdělení pravděpodobnosti při aplikaci na optimalizaci portfolia a odhad hustoty". arXiv:1811.11301 [q-fin. RM ].

[:3-12] A ^b ^C ^d Khokhlov, Valentyn (2018-06-21). "Podmíněná hodnota v riziku pro neobvyklé distribuce". SSRN 3200629. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[13] Stucchi, Patrizia (2011-05-31). „Odhad CVaR podle momentu: kvazi-uzavřené vzorce“. SSRN 1855986. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[:2-14] A ^b ^C ^d Khokhlov, Valentyn (2018-06-17). "Podmíněná hodnota v riziku pro distribuci protokolů". SSRN 3197929. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[15] Detlefsen, Kai; Scandolo, Giacomo (2005). „Podmíněná a dynamická opatření konvexního rizika“ (PDF). Finance Stoch. 9 (4): 539–561. CiteSeerX 10.1.1.453.4944. doi:10.1007 / s00780-005-0159-6. S2CID 10579202. Citováno 11. října 2011.^{[mrtvý odkaz ]}

[16] Acciaio, Beatrice; Penner, Irina (2011). „Dynamická opatření konvexního rizika“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) 2. září 2011. Citováno 11. října 2011. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[17] Cheridito, Patrick; Kupper, Michael (květen 2010). „Složení časově konzistentních dynamických měnových rizik v diskrétním čase“ (PDF). International Journal of Theoretical and Applied Finance. Archivovány od originál (PDF) dne 19. července 2011. Citováno 4. února 2011.

[Embrechts_et_al-18] Embrechts P., Kluppelberg C. a Mikosch T., Modeling Extremal Events for Insurance and Finance. Springer (1997).

[Novak-19] Novak S.Y., Metody extrémní hodnoty s aplikacemi k financování. Chapman & Hall / CRC Press (2011). ISBN 978-1-4398-3574-6.

[20] Low, R.K.Y .; Alcock, J .; Faff, R .; Brailsford, T. (2013). „Kanonické kopule révy vinné v kontextu moderní správy portfolia: Stojí to za to?“ (PDF). Journal of Banking & Finance. 37 (8): 3085–3099. doi:10.1016 / j.jbankfin.2013.02.036. S2CID 154138333.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]