Entropická hodnota v ohrožení - Entropic value at risk

v finanční matematika a stochastická optimalizace, pojem míra rizika se používá ke kvantifikaci rizika spojeného s náhodným výsledkem nebo rizikovou pozicí. Dosud bylo navrženo mnoho rizikových opatření, z nichž každé má určité vlastnosti. The entropická hodnota v ohrožení (EVaR) je koherentní měření rizika představil Ahmadi-Javid,^[1]^[2] což je horní mez pro hodnota v riziku (VaR) a podmíněná hodnota v riziku (CVaR), získané z Černoffova nerovnost. EVaR lze také reprezentovat pomocí konceptu relativní entropie. Kvůli jeho spojení s VaR a relativní entropii se toto riziko nazývá „entropická hodnota v riziku“. EVaR byl vyvinut za účelem řešení některých výpočetních neefektivností^{[je zapotřebí objasnění ]} CVaR. Inspirujte se dvojím zastoupením EVaR, Ahmadi-Javid^[1]^[2] vyvinuli širokou třídu koherentní opatření k riziku, volala g-entropická riziková opatření. CVaR i EVaR jsou členy této třídy.

Definice

Nechat ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ být pravděpodobnostní prostor s ${ displaystyle Omega}$ soubor všech jednoduchých událostí, ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ A ${ displaystyle sigma}$ -algebra podmnožin ${ displaystyle Omega}$ a ${ displaystyle P}$ A míra pravděpodobnosti na ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ . Nechat ${ displaystyle X}$ být náhodná proměnná a ${ displaystyle mathbf {L} _ {M ^ {+}}}$ být množinou všeho Borel měřitelný funkce ${ displaystyle X: Omega to mathbb {R}}$ jehož funkce generující momenty ${ displaystyle M_ {X} (z)}$ existuje pro všechny ${ displaystyle z geq 0}$ . Entropická hodnota v riziku (EVaR) ve výši ${ displaystyle X in mathbf {L} _ {M ^ {+}}}$ s úrovní spolehlivosti ${ displaystyle 1- alpha}$ je definována takto:

{ displaystyle { text {EVaR}} _ {1- alpha} (X): = inf _ {z> 0} left {z ^ {- 1} ln left ({ frac {M_ {X} (z)} { alpha}} vpravo) vpravo }.}

(1)

V oblasti financí náhodná proměnná ${ displaystyle X in mathbf {L} _ {M ^ {+}},}$ ve výše uvedené rovnici se používá k modelování ztráty portfolia.

Zvažte Černoffovu nerovnost

{ displaystyle Pr (X geq a) leq e ^ {- za} M_ {X} (z), quad forall z> 0.}

(2)

Řešení rovnice ${ displaystyle e ^ {- za} M_ {X} (z) = alfa}$ pro ${ displaystyle a,}$ výsledky v

{ displaystyle a_ {X} ( alpha, z): = z ^ {- 1} ln left ({ frac {M_ {X} (z)} { alpha}} right).}

Zvažováním rovnice (1), vidíme to

{ displaystyle { text {EVaR}} _ {1- alpha} (X): = inf _ {z> 0} {a_ {X} ( alpha, z) },}

který ukazuje vztah mezi EVaR a Chernoffovou nerovností. Stojí za zmínku, že ${ displaystyle a_ {X} (1, z)}$ je míra entropického rizika nebo exponenciální prémie, což je koncept používaný v oblasti financí a pojišťovnictví.

Nechat ${ displaystyle mathbf {L} _ {M}}$ být souborem všech měřitelných funkcí Borel ${ displaystyle X: Omega to mathbb {R}}$ jehož funkce generování momentů ${ displaystyle M_ {X} (z)}$ existuje pro všechny ${ displaystyle z}$ . The dvojí zastoupení (nebo robustní reprezentace) EVaR je následující:

{ displaystyle { text {EVaR}} _ {1- alpha} (X) = sup _ {Q in Im} (E_ {Q} (X)),}

(3)

kde ${ displaystyle X in mathbf {L} _ {M},}$ a ${ displaystyle Im}$ je soubor pravděpodobnostních opatření na ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}})}$ s ${ displaystyle Im = {Q ll P: D_ {KL} (Q || P) leq - ln alpha }}$ . Všimněte si, že

{ displaystyle D_ {KL} (Q || P): = int { frac {dQ} {dP}} vlevo ( ln { frac {dQ} {dP}} vpravo) dP}

je relativní entropie z ${ displaystyle Q}$ s ohledem na ${ displaystyle P,}$ také volal Kullback – Leiblerova divergence. Duální zastoupení EVaR odhaluje důvod jeho pojmenování.

Vlastnosti

EVaR je koherentní míra rizika.

Funkce generující moment ${ displaystyle M_ {X} (z)}$ může být reprezentován EVaR: pro všechny ${ displaystyle X in mathbf {L} _ {M ^ {+}}}$ a ${ displaystyle z> 0}$

{ displaystyle M_ {X} (z) = sup _ {0 < alpha leq 1} { alpha exp (z { text {EVaR}} _ {1- alpha} (X)) }.}

(4)

Pro ${ displaystyle X, Y in mathbf {L} _ {M}}$ , ${ displaystyle { text {EVaR}} _ {1- alpha} (X) = { text {EVaR}} _ {1- alpha} (Y)}$ pro všechny ${ displaystyle alpha in] 0,1]}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle F_ {X} (b) = F_ {Y} (b)}$ pro všechny ${ displaystyle b in mathbb {R}}$ .

Míra entropického rizika s parametrem ${ displaystyle theta,}$ lze vyjádřit pomocí EVaR: pro všechny ${ displaystyle X in mathbf {L} _ {M ^ {+}}}$ a ${ displaystyle theta> 0}$

{ displaystyle theta ^ {- 1} ln M_ {X} ( theta) = a_ {X} (1, theta) = sup _ {0 < alpha leq 1} {{ text { EVaR}} _ {1- alpha} (X) + theta ^ {- 1} ln alpha }.}

(5)

EVaR s úrovní spolehlivosti ${ displaystyle 1- alpha}$ je nejtěsnější možná horní hranice, kterou lze získat z Chernoffovy nerovnosti pro VaR a CVaR s úrovní spolehlivosti ${ displaystyle 1- alpha}$ ;

{ displaystyle { text {VaR}} (X) leq { text {CVaR}} (X) leq { text {EVaR}} (X).}

(6)

Pro EVaR platí následující nerovnost:

{ displaystyle { text {E}} (X) leq { text {EVaR}} _ {1- alpha} (X) leq { text {esssup}} (X)}

(7)

kde

{ displaystyle { text {E}} (X)}

je očekávaná hodnota z

{ displaystyle X}

a

{ displaystyle { text {esssup}} (X)}

je základní supremum z

{ displaystyle X}

, tj.,

{ displaystyle inf _ {t v mathbb {R}} {t: Pr (X leq t) = 1 }}

. Takže se držte

{ displaystyle { text {EVaR}} _ {0} (X) = { text {E}} (X)}

a

{ displaystyle lim _ { alpha to 0} { text {EVaR}} _ {1- alpha} (X) = { text {esssup}} (X)}

.

Příklady

Porovnání VaR, CVaR a EVaR pro standardní normální rozdělení

Porovnání VaR, CVaR a EVaR pro rovnoměrné rozdělení v intervalu (0,1)

Pro ${ displaystyle X sim N ( mu, sigma ^ {2}),}$

{ displaystyle { text {EVaR}} _ {1- alpha} (X) = mu + sigma { sqrt {-2 ln alpha}}.}

(8)

Pro ${ displaystyle X sim U (a, b),}$

{ displaystyle { text {EVaR}} _ {1- alpha} (X) = inf _ {t> 0} levá lbrace t ln levá (t { frac {e ^ {t ^ { -1} b} -e ^ {t ^ {- 1} a}} {ba}} right) -t ln alpha right rbrace.}

(9)

Obrázky 1 a 2 ukazují srovnání VaR, CVaR a EVaR pro ${ displaystyle N (0,1)}$ a ${ displaystyle U (0,1)}$ .

Optimalizace

Nechat ${ displaystyle rho}$ být měřítkem rizika. Zvažte problém s optimalizací

{ displaystyle min _ {{ boldsymbol {w}} in { boldsymbol {W}}} rho (G ({ boldsymbol {w}}, { boldsymbol { psi}})),}

(10)

kde ${ displaystyle { boldsymbol {w}} v { boldsymbol {W}} subseteq mathbb {R} ^ {n}}$ je ${ displaystyle n}$ -dimenzionální skutečné rozhodovací vektor, ${ displaystyle { boldsymbol { psi}}}$ je ${ displaystyle m}$ -dimenzionální skutečné náhodný vektor se známým rozdělení pravděpodobnosti a funkce ${ displaystyle G ({ boldsymbol {w}},.): mathbb {R} ^ {m} to mathbb {R}}$ je Borel měřitelná funkce pro všechny hodnoty ${ displaystyle { boldsymbol {w}} v { boldsymbol {W}}.}$ Li ${ displaystyle rho = { text {EVaR}},}$ pak problém s optimalizací (10) se změní na:

{ displaystyle min _ {{ boldsymbol {w}} v { boldsymbol {W}}, t> 0} vlevo {t ln M_ {G ({ boldsymbol {w}}, { boldsymbol { psi}})} (t ^ {- 1}) - t ln alpha right }.}

(11)

Nechat ${ displaystyle { boldsymbol {S}} _ { boldsymbol { psi}}}$ být podpora náhodného vektoru ${ displaystyle { boldsymbol { psi}}.}$ Li ${ displaystyle G (., { boldsymbol {s}})}$ je konvexní pro všechny ${ displaystyle { boldsymbol {s}} v { boldsymbol {S}} _ { boldsymbol { psi}}}$ , pak objektivní funkce problému (11) je také konvexní. Li ${ displaystyle G ({ boldsymbol {w}}, { boldsymbol { psi}})}$ má formu

{ displaystyle G ({ boldsymbol {w}}, { boldsymbol { psi}}) = g_ {0} ({ boldsymbol {w}}) + sum _ {i = 1} ^ {m} g_ {i} ({ boldsymbol {w}}) psi _ {i}, qquad g_ {i}: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}, i = 0,1, ldots, m,}

(12)

a ${ displaystyle psi _ {1}, ldots, psi _ {m}}$ jsou nezávislé náhodné proměnné v ${ displaystyle mathbf {L} _ {M}}$ , pak (11) se stává

{ displaystyle min _ {{ boldsymbol {w}} v { boldsymbol {W}}, t> 0} left lbrace g_ {0} ({ boldsymbol {w}}) + t sum _ {i = 1} ^ {m} ln M_ {g_ {i} ({ boldsymbol {w}}) psi _ {i}} (t ^ {- 1}) - t ln alpha right rbrace.}

(13)

což je výpočetně povolný. Ale v tomto případě, pokud někdo použije CVaR v problému (10), výsledný problém bude vypadat takto:

{ displaystyle min _ {{ boldsymbol {w}} in { boldsymbol {W}}, t in mathbb {R}} left lbrace t + { frac {1} { alpha}} { text {E}} left [g_ {0} ({ boldsymbol {w}}) + sum _ {i = 1} ^ {m} g_ {i} ({ boldsymbol {w}}) psi _ {i} -t right] _ {+} right rbrace.}

(14)

Lze ukázat, že zvětšením dimenze ${ displaystyle psi}$ , problém (14) je výpočetně neřešitelný i pro jednoduché případy. Předpokládejme například, že ${ displaystyle psi _ {1}, ldots, psi _ {m}}$ jsou nezávislé diskrétní náhodné proměnné to zabere ${ displaystyle k}$ odlišné hodnoty. Pro pevné hodnoty ${ displaystyle { boldsymbol {w}}}$ a ${ displaystyle t,}$ the složitost výpočtu objektivní funkce dané v problému (13) je v pořádku ${ displaystyle mk}$ zatímco výpočetní čas pro objektivní funkci problému (14) je v pořádku ${ displaystyle k ^ {m}}$ . Pro ilustraci předpokládejme, že ${ displaystyle k = 2, m = 100}$ a součet dvou čísel trvá ${ displaystyle 10 ^ {- 12}}$ sekundy. Pro výpočet objektivní funkce problému (14) člověk potřebuje asi ${ displaystyle 4 krát 10 ^ {10}}$ zatímco hodnocení objektivní funkce problému (13) trvá asi ${ displaystyle 10 ^ {- 10}}$ sekundy. To ukazuje, že formulace s EVaR překonává formulaci s CVaR (viz ^[2] Více podrobností).

Zobecnění (g-entropická rizika)

Čerpání inspirace z dvojí reprezentace EVaR uvedené v (3) lze definovat širokou třídu informací-teoretických koherentních opatření k riziku, která jsou zavedena v.^[1]^[2] Nechat ${ displaystyle g}$ být konvexní správná funkce s ${ displaystyle g (1) = 0}$ a ${ displaystyle beta}$ být nezáporné číslo. The ${ displaystyle g}$ - měření entropického rizika s úrovní odchylky ${ displaystyle beta}$ je definován jako

{ displaystyle { text {ER}} _ {g, beta} (X): = sup _ {Q in Im} { text {E}} _ {Q} (X)}

(15)

kde ${ displaystyle Im = {Q ll P: H_ {g} (P, Q) leq beta }}$ ve kterém ${ displaystyle H_ {g} (P, Q)}$ je generalizovaná relativní entropie z ${ displaystyle Q}$ s ohledem na ${ displaystyle P}$ . Prvotní reprezentace třídy ${ displaystyle g}$ -tropická rizika lze získat takto:

{ displaystyle { text {ER}} _ {g, beta} (X) = inf _ {t> 0, mu in mathbb {R}} left lbrace t left [ mu + { text {E}} _ {P} vlevo (g ^ {*} vlevo ({ frac {X} {t}} - mu + beta vpravo) vpravo) vpravo] vpravo rbrace}

(16)

kde ${ displaystyle g ^ {*}}$ je konjugát ${ displaystyle g}$ . Zvážením

{ displaystyle g (x) = { začátek {případů} x ln x & x> 0 0 & x = 0 + infty & x <0 end {případů}}}

(17)

s ${ displaystyle g ^ {*} (x) = e ^ {x-1}}$ a ${ displaystyle beta = - ln alfa}$ , lze odvodit vzorec EVaR. CVaR je také a ${ displaystyle g}$ - míra entropického rizika, kterou lze získat z (16) nastavením

{ displaystyle g (x) = { begin {cases} 0 & 0 leq x leq { frac {1} { alpha}} + infty & { text {jinak}} end {případy}} }

(18)

s ${ displaystyle g ^ {*} (x) = { tfrac {1} { alpha}} max {0, x }}$ a ${ displaystyle beta = 0}$ (vidět ^[1]^[3] Více podrobností).

Pro více výsledků na ${ displaystyle g}$ -entropická riziková opatření viz.^[4]

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d Ahmadi-Javid, Amir (2011). Informační teoretický přístup ke konstrukci koherentních opatření k riziku. Petrohrad, Rusko: Sborník mezinárodních sympozií IEEE o teorii informací. 2125–2127. doi:10.1109 / ISIT.2011.6033932.
^ ^A ^b ^C ^d Ahmadi-Javid, Amir (2012). „Entropická hodnota v riziku: nové koherentní opatření k riziku“. Journal of Optimization Theory and Applications. 155 (3): 1105–1123. doi:10.1007 / s10957-011-9968-2.
^ Ahmadi-Javid, Amir (2012). „Dodatek k: Entropická hodnota v riziku: nové koherentní opatření k riziku“. Journal of Optimization Theory and Applications. 155 (3): 1124–1128. doi:10.1007 / s10957-012-0014-9.
^ Breuer, Thomas; Csiszar, Imre (2013). "Měření rizika distribučního modelu". arXiv:1301.4832v1. Citovat má prázdný neznámý parametr: | verze = (Pomoc)

[Ahmadi1-1] A ^b ^C ^d Ahmadi-Javid, Amir (2011). Informační teoretický přístup ke konstrukci koherentních opatření k riziku. Petrohrad, Rusko: Sborník mezinárodních sympozií IEEE o teorii informací. 2125–2127. doi:10.1109 / ISIT.2011.6033932.

[Ahmadi2-2] A ^b ^C ^d Ahmadi-Javid, Amir (2012). „Entropická hodnota v riziku: nové koherentní opatření k riziku“. Journal of Optimization Theory and Applications. 155 (3): 1105–1123. doi:10.1007 / s10957-011-9968-2.

[Ahmadi3-3] Ahmadi-Javid, Amir (2012). „Dodatek k: Entropická hodnota v riziku: nové koherentní opatření k riziku“. Journal of Optimization Theory and Applications. 155 (3): 1124–1128. doi:10.1007 / s10957-012-0014-9.

[Csiszar-4] Breuer, Thomas; Csiszar, Imre (2013). "Měření rizika distribučního modelu". arXiv:1301.4832v1. Citovat má prázdný neznámý parametr: | verze = (Pomoc)

[1]

[2]

[3]

[4]