Koherentní opatření k riziku - Coherent risk measure

V polích pojistněmatematická věda a finanční ekonomie existuje řada způsobů, jak lze definovat riziko; k objasnění pojmu teoretici popsali řadu vlastností, které a míra rizika může nebo nemusí mít. A koherentní míra rizika je funkce ${displaystyle varrho}$ který splňuje vlastnosti monotónnost, subaditivita, stejnorodost, a překladová invariance.

Vlastnosti

Zvažte náhodný výsledek ${displaystyle X}$ viděn jako prvek lineárního prostoru ${displaystyle {mathcal {L}}}$ měřitelných funkcí definovaných na vhodném pravděpodobnostním prostoru. A funkční ${displaystyle varrho: {mathcal {L}}}$ → ${displaystyle mathbb {R} pohár {+ infty}}$ se říká, že je soudržným měřítkem rizika pro ${displaystyle {mathcal {L}}}$ pokud splňuje následující vlastnosti:^[1]

Normalizováno

{displaystyle varrho (0) = 0}

To znamená, že riziko držení žádných aktiv není nulové.

Monotónnost

{displaystyle mathrm {If}; Z_ {1}, Z_ {2} in {mathcal {L}}; mathrm {and}; Z_ {1} leq Z_ {2}; mathrm {as},; mathrm {then}; varrho (Z_ {1}) geq varrho (Z_ {2})}

To znamená, že pokud portfolio ${displaystyle Z_ {2}}$ má vždy lepší hodnoty než portfolio ${displaystyle Z_ {1}}$ pod téměř všechny scénáře pak riziko ${displaystyle Z_ {2}}$ by mělo být menší než riziko ${displaystyle Z_ {1}}$ .^[2] Např. Li ${displaystyle Z_ {1}}$ je v opci na volání peněz (nebo jinak) na skladě a ${displaystyle Z_ {2}}$ je také možnost volby peněz s nižší realizační cenou. V řízení finančních rizik monotónnost znamená, že portfolio s vyššími budoucími výnosy má menší riziko.

Subaditivita

{displaystyle mathrm {If}; Z_ {1}, Z_ {2} in {mathcal {L}} ,; mathrm {then}; varrho (Z_ {1} + Z_ {2}) leq varrho (Z_ {1}) + varrho (Z_ {2})}

Riziko dvou portfolií dohromady se ve skutečnosti nemůže zhoršit, než když se přidají dvě rizika samostatně: toto je diverzifikace Princip. V řízení finančních rizik subaditivita znamená, že diverzifikace je prospěšná. Princip subaditivity je někdy také považován za problematický.^[3]^[4]

Pozitivní homogenita

{displaystyle mathrm {If}; alpha geq 0; mathrm {and}; Zin {mathcal {L}} ,; mathrm {then}; varrho (alpha Z) = alpha varrho (Z)}

Volně řečeno, pokud zdvojnásobíte své portfolio, zdvojnásobíte své riziko. V řízení finančních rizik pozitivní homogenita znamená, že riziko pozice je úměrné její velikosti.

Překladová invariance

Li ${displaystyle A}$ je deterministické portfolio se zaručeným výnosem ${displaystyle a}$ a ${displaystyle Zin {mathcal {L}}}$ pak

{displaystyle varrho (Z + A) = varrho (Z) -a}

Portfolio ${displaystyle A}$ jen přidává hotovost ${displaystyle a}$ do svého portfolia ${displaystyle Z}$ . Zejména pokud ${displaystyle a = varrho (Z)}$ pak ${displaystyle varrho (Z + A) = 0}$ . V řízení finančních rizik znamená invariance převodu přidání jistého množství hlavní město snižuje riziko o stejnou částku.

Konvexní opatření k riziku

Pojem soudržnosti byl následně uvolněn. Ve skutečnosti lze pojmy subaditivita a pozitivní homogenita nahradit pojmem konvexnost:^[5]

Konvexnost: ${displaystyle {ext {If}} Z_ {1}, Z_ {2} in {mathcal {L}} {ext {and}} lambda in [0,1] {ext {then}} varrho (lambda Z_ {1} + (1-lambda) Z_ {2}) leq lambda varrho (Z_ {1}) + (1-lambda) varrho (Z_ {2})}$

Příklady míry rizika

Hodnota v riziku

To je dobře známo hodnota v riziku není koherentní míra rizika, protože nerespektuje vlastnost subaditivity. Okamžitým důsledkem je to hodnota v riziku může odrazovat od diverzifikace.^[1]Hodnota v riziku je však soudržný za předpokladu elipticky distribuováno ztráty (např. normálně distribuováno ), když je hodnota portfolia lineární funkcí cen aktiv. V tomto případě se však hodnota v riziku stává ekvivalentem přístupu průměrné odchylky, kdy je riziko portfolia měřeno rozptylem návratnosti portfolia.

Funkce Wangovy transformace (funkce zkreslení) pro hodnotu v riziku je ${displaystyle g (x) = mathbf {1} _ {xgeq 1-alpha}}$ . Nepřekonatelnost ${displaystyle g}$ dokazuje nesoudržnost tohoto opatření rizika.

Ilustrace

Jako jednoduchý příklad k prokázání nesoudržnosti hodnoty v riziku zvažte pohled na VaR portfolia s 95% důvěryhodností v příštím roce dvou dluhopisů s nulovým kupónem, které jsou schopny selhat, splatných za 1 rok denominovaných v našem čísle měna.

Předpokládejme následující:

Současný výnos dvou dluhopisů je 0%
Tyto dva dluhopisy pocházejí od různých emitentů
Každá vazba má 4% pravděpodobnost selhání v příštím roce
Případ selhání v jedné vazbě je nezávislý na druhé
Při výchozím nastavení mají dluhopisy návratnost 30%

Za těchto podmínek je 95% VaR pro držení některého z dluhopisů 0, protože pravděpodobnost selhání je menší než 5%. Pokud bychom však drželi portfolio, které se skládalo z 50% každého dluhopisu podle hodnoty, pak 95% VaR je 35% (= 0,5 * 0,7 + 0,5 * 0), protože pravděpodobnost selhání alespoň jednoho z dluhopisů je 7,84%, což přesahuje 5%. To porušuje vlastnost subaditivity ukazující, že VaR není koherentní míra rizika.

Průměrná riziková hodnota

Průměrná riziková hodnota (někdy označovaná jako očekávaný schodek nebo podmíněná hodnota v riziku nebo ${displaystyle AVaR}$ ) je koherentní míra rizika, i když je odvozena od hodnoty v riziku, která není. Doménu lze rozšířit o obecnější Orlitz Hearts z typičtějších Lp mezery.^[6]

Entropická hodnota v ohrožení

The entropická hodnota v ohrožení je koherentní míra rizika.^[7]

Hodnota ocasu v ohrožení

The ocasní hodnota v ohrožení (nebo ocasní podmíněné očekávání) je měřítkem koherentního rizika pouze v případě, že podkladová distribuce je kontinuální.

Funkce Wangovy transformace (funkce zkreslení) pro ocasní hodnota v ohrožení je ${displaystyle g (x) = min ({frac {x} {alpha}}, 1)}$ . Konkávnost ${displaystyle g}$ dokazuje soudržnost tohoto opatření v případě kontinuální distribuce.

Měření rizika proporcionálního rizika (PH)

Míra rizika PH (nebo míra proporcionálního rizika rizika) transformuje míry rizika ${displaystyle scriptstyle left (lambda (t) = {frac {f (t)} {{ar {F}} (t)}} ight)}$ pomocí koeficientu ${displaystyle xi}$ .

Funkce Wangovy transformace (funkce zkreslení) pro měření rizika PH je ${displaystyle g_ {alpha} (x) = x ^ {xi}}$ . Konkávnost ${displaystyle g}$ -li ${displaystyle scriptstyle xi <{frac {1} {2}}}$ dokazuje koherenci tohoto opatření rizika.

Ukázka funkce Wangovy transformace nebo funkce zkreslení

g-Entropická riziková opatření

g-entropická riziková opatření jsou třídou informačně-teoretických koherentních opatření k riziku, která zahrnují některé důležité případy, jako jsou CVaR a EVaR.^[7]

Míra rizika Wang

Míra rizika Wang je definována následující funkcí Wangovy transformace (funkce zkreslení) ${displaystyle g_ {alpha} (x) = Phi left [Phi ^ {- 1} (x) -Phi ^ {- 1} (alpha) ight]}$ . Soudržnost tohoto opatření rizika je důsledkem konkávnosti ${displaystyle g}$ .

Míra entropického rizika

The míra entropického rizika je konvexní míra rizika, která není koherentní. Souvisí to s exponenciální užitečnost.

Superhedging cena

The superhedging cena je koherentní míra rizika.

Set-oceněný

V situaci s ${displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ - hodnotná portfolia, ve kterých lze měřit riziko ${displaystyle nleq d}$ aktiv, pak je vhodným způsobem, jak znázornit riziko, sada portfolií. Míra rizika se stanovenou hodnotou jsou užitečná pro trhy s transakční náklady.^[8]

Vlastnosti

Stanovené koherentní měřítko rizika je funkce ${displaystyle R: L_ {d} ^ {p} ightarrow mathbb {F} _ {M}}$ , kde ${displaystyle mathbb {F} _ {M} = {Dsubseteq M: D = cl (D + K_ {M})}}$ a ${displaystyle K_ {M} = Kcap M}$ kde ${displaystyle K}$ je konstanta kužel solventnosti a ${displaystyle M}$ je soubor portfolií ${displaystyle m}$ referenční aktiva. ${displaystyle R}$ musí mít následující vlastnosti:^[9]

Normalizováno: ${displaystyle K_ {M} subseteq R (0); mathrm {and}; R (0) cap -mathrm {int} K_ {M} = emptyset}$

Translative v M.: ${displaystyle forall Xin L_ {d} ^ {p}, forall uin M: R (X + u1) = R (X) -u}$

Monotónní: ${displaystyle forall X_ {2} -X_ {1} in L_ {d} ^ {p} (K) Rightarrow R (X_ {2}) supseteq R (X_ {1})}$

Sublear

Obecný rámec Wangovy transformace

Wangova transformace kumulativní distribuční funkce

Wangova transformace kumulativní distribuční funkce je rostoucí funkcí ${displaystyle gcolon [0,1] ightarrow [0,1]}$ kde ${displaystyle g (0) = 0}$ a ${displaystyle g (1) = 1}$ . ^[10] Tato funkce se nazývá funkce zkreslení nebo Wangova transformační funkce.

The funkce dvojího zkreslení je ${displaystyle {ilde {g}} (x) = 1-g (1-x)}$ .^[11]^[12] Vzhledem k pravděpodobnostní prostor ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, mathbb {P})}$ , pak pro všechny náhodná proměnná ${displaystyle X}$ a jakákoli funkce zkreslení ${displaystyle g}$ můžeme definovat nový míra pravděpodobnosti ${displaystyle mathbb {Q}}$ takový, že pro každého ${displaystyle Ain {mathcal {F}}}$ z toho vyplývá, že ${displaystyle mathbb {Q} (A) = g (mathbb {P} (Xin A)).}$ ^[11]

Pojistněmatematický princip pojistného

Pro jakoukoli rostoucí konkávní Wangovu transformační funkci bychom mohli definovat odpovídající princip prémie:^[10] ${displaystyle varrho (X) = int _ {0} ^ {+ infty} gleft ({ar {F}} _ {X} (x) ight) dx}$

Koherentní opatření k riziku

Koherentní míru rizika lze definovat Wangovou transformací kumulativní distribuční funkce ${displaystyle g}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle g}$ je konkávní.^[10]

Stanovené konvexní riziko

Pokud namísto sublearní vlastnostiR je tedy konvexní R je konvexní míra rizika se stanovenou hodnotou.

Duální zastoupení

A nižší polokontinuální konvexní míra rizika ${displaystyle varrho}$ lze reprezentovat jako

{displaystyle varrho (X) = sup _ {Qin {mathcal {M}} (P)} {E ^ {Q} [- X] -alpha (Q)}}

takhle ${displaystyle alpha}$ je trestná funkce a ${displaystyle {mathcal {M}} (P)}$ je soubor pravděpodobnostních opatření absolutně kontinuální s ohledem na P (skutečný svět" míra pravděpodobnosti ), tj. ${displaystyle {mathcal {M}} (P) = {Qll P}}$ . Dvojí charakterizace je vázána na ${displaystyle L ^ {p}}$ mezery, Srdce Orlitz a jejich dvojí prostory.^[6]

A nižší polokontinuální míra rizika je koherentní právě tehdy, pokud ji lze vyjádřit jako

{displaystyle varrho (X) = sup _ {Qin {mathcal {Q}}} E ^ {Q} [- X]}

takhle ${displaystyle {mathcal {Q}} subseteq {mathcal {M}} (P)}$ .^[13]

Viz také

Metrika rizika - abstraktní pojem, který opatření rizika kvantifikuje
RiskMetrics - model pro řízení rizik
Měření spektrálního rizika - podskupina soudržných opatření k riziku
Měření rizika zkreslení
Podmíněná hodnota v riziku
Entropická hodnota v ohrožení
Finanční riziko

Reference

^ ^A ^b Artzner, P .; Delbaen, F .; Eber, J. M .; Heath, D. (1999). „Koherentní opatření k riziku“. Matematické finance. 9 (3): 203. doi:10.1111/1467-9965.00068.
^ Wilmott, P. (2006). „Kvantitativní finance“. 1 (2. vyd.). Wiley: 342. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ Dhaene, J .; Laeven, R.J .; Vanduffel, S .; Darkiewicz, G .; Goovaerts, M.J. (2008). „Může být koherentní opatření rizika příliš subaditivní?“. Journal of Risk and Insurance. 75 (2): 365–386. doi:10.1111 / j.1539-6975.2008.00264.x.
^ Rau-Bredow, H. (2019). „Větší není vždy bezpečnější: Kritická analýza předpokladu subadditivity pro koherentní opatření k riziku“. Rizika. 7 (3): 91. doi:10,3390 / rizika7030091.
^ Föllmer, H .; Schied, A. (2002). „Konvexní míry rizika a obchodní omezení“. Finance a Stochastics. 6 (4): 429–447. doi:10,1007 / s007800200072.
^ ^A ^b Patrick Cheridito; Tianhui Li (2008). "Duální charakterizace vlastností rizikových opatření na srdcích Orlicz". Matematika a finanční ekonomie. 2: 2–29. doi:10.1007 / s11579-008-0013-7.
^ ^A ^b Ahmadi-Javid, Amir (2012). „Entropická hodnota v riziku: nové koherentní opatření k riziku“. Journal of Optimization Theory and Applications. 155 (3): 1105–1123. doi:10.1007 / s10957-011-9968-2.
^ Jouini, Elyes; Meddeb, Moncef; Touzi, Nizar (2004). „Koherentní opatření rizik oceněná vektorem“. Finance a Stochastics. 8 (4): 531–552. CiteSeerX 10.1.1.721.6338. doi:10.1007 / s00780-004-0127-6.
^ Hamel, A. H .; Heyde, F. (2010). „Dualita pro měřítka rizika s nastavenou hodnotou“. SIAM Journal on Financial Mathematics. 1 (1): 66–95. CiteSeerX 10.1.1.514.8477. doi:10.1137/080743494.
^ ^A ^b ^C Wang, Shaun (1996). „Výpočet prémie transformací prémiové hustoty vrstvy“. Bulletin ASTIN. 26 (1): 71–92. doi:10.2143 / ast.26.1.563234.
^ ^A ^b Balbás, A .; Garrido, J .; Mayoral, S. (2008). "Vlastnosti opatření zkreslení rizika". Metodika a výpočet v aplikované pravděpodobnosti. 11 (3): 385. doi:10.1007 / s11009-008-9089-z. hdl:10016/14071.
^ Julia L. Wirch; Mary R. Hardy. „Opatření týkající se rizika zkreslení: soudržnost a stochastická dominance“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) 5. července 2016. Citováno 10. března 2012.
^ Föllmer, Hans; Schied, Alexander (2004). Stochastické finance: úvod do diskrétního času (2. vyd.). Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-018346-7.

[Artzner-1] A ^b Artzner, P .; Delbaen, F .; Eber, J. M .; Heath, D. (1999). „Koherentní opatření k riziku“. Matematické finance. 9 (3): 203. doi:10.1111/1467-9965.00068.

[2] Wilmott, P. (2006). „Kvantitativní finance“. 1 (2. vyd.). Wiley: 342. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[Dhaene-3] Dhaene, J .; Laeven, R.J .; Vanduffel, S .; Darkiewicz, G .; Goovaerts, M.J. (2008). „Může být koherentní opatření rizika příliš subaditivní?“. Journal of Risk and Insurance. 75 (2): 365–386. doi:10.1111 / j.1539-6975.2008.00264.x.

[Rau-Bredow-4] Rau-Bredow, H. (2019). „Větší není vždy bezpečnější: Kritická analýza předpokladu subadditivity pro koherentní opatření k riziku“. Rizika. 7 (3): 91. doi:10,3390 / rizika7030091.

[5] Föllmer, H .; Schied, A. (2002). „Konvexní míry rizika a obchodní omezení“. Finance a Stochastics. 6 (4): 429–447. doi:10,1007 / s007800200072.

[cheridito-6] A ^b Patrick Cheridito; Tianhui Li (2008). "Duální charakterizace vlastností rizikových opatření na srdcích Orlicz". Matematika a finanční ekonomie. 2: 2–29. doi:10.1007 / s11579-008-0013-7.

[Ahmadi2-7] A ^b Ahmadi-Javid, Amir (2012). „Entropická hodnota v riziku: nové koherentní opatření k riziku“. Journal of Optimization Theory and Applications. 155 (3): 1105–1123. doi:10.1007 / s10957-011-9968-2.

[8] Jouini, Elyes; Meddeb, Moncef; Touzi, Nizar (2004). „Koherentní opatření rizik oceněná vektorem“. Finance a Stochastics. 8 (4): 531–552. CiteSeerX 10.1.1.721.6338. doi:10.1007 / s00780-004-0127-6.

[9] Hamel, A. H .; Heyde, F. (2010). „Dualita pro měřítka rizika s nastavenou hodnotou“. SIAM Journal on Financial Mathematics. 1 (1): 66–95. CiteSeerX 10.1.1.514.8477. doi:10.1137/080743494.

[Wang-10] A ^b ^C Wang, Shaun (1996). „Výpočet prémie transformací prémiové hustoty vrstvy“. Bulletin ASTIN. 26 (1): 71–92. doi:10.2143 / ast.26.1.563234.

[PropertiesDRM-11] A ^b Balbás, A .; Garrido, J .; Mayoral, S. (2008). "Vlastnosti opatření zkreslení rizika". Metodika a výpočet v aplikované pravděpodobnosti. 11 (3): 385. doi:10.1007 / s11009-008-9089-z. hdl:10016/14071.

[Wirch-12] Julia L. Wirch; Mary R. Hardy. „Opatření týkající se rizika zkreslení: soudržnost a stochastická dominance“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) 5. července 2016. Citováno 10. března 2012.

[13] Föllmer, Hans; Schied, Alexander (2004). Stochastické finance: úvod do diskrétního času (2. vyd.). Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-018346-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]