Měření spektrálního rizika - Spectral risk measure

A Měření spektrálního rizika je míra rizika uveden jako vážený průměr výsledků, kde jsou špatné výsledky obvykle zahrnuty s větší váhou. Míra spektrálního rizika je funkcí portfolio vrátí a vydá částku numeraire (obvykle a měna ), které mají být uchovány v rezervě. Spektrální míra rizika je vždy a koherentní měření rizika, ale konverzace nemusí vždy platit. Výhodou spektrálních opatření je způsob, jakým mohou být vztaženy averze k riziku, a zejména na a užitková funkce prostřednictvím vah daných možným výnosům portfolia.^[1]

Definice

Zvažte a portfolio ${ displaystyle X}$ (označující výplatu portfolia). Pak měření spektrálního rizika ${ displaystyle M _ { phi}: { mathcal {L}} do mathbb {R}}$ kde ${ displaystyle phi}$ je nezáporný, nerostoucí, pravý spojitý, integrovatelná funkce definovaná na ${ displaystyle [0,1]}$ takhle ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} phi (p) dp = 1}$ je definováno

${ displaystyle M _ { phi} (X) = - int _ {0} ^ {1} phi (p) F_ {X} ^ {- 1} (p) dp}$

kde ${ displaystyle F_ {X}}$ je kumulativní distribuční funkce pro X.^[2][3]

Pokud existují ${ displaystyle S}$ rovnocenné výsledky s odpovídajícími výplatami danými statistika objednávek ${ displaystyle X_ {1: S}, ... X_ {S: S}}$. Nechat ${ displaystyle phi in mathbb {R} ^ {S}}$. Měření${ displaystyle M _ { phi}: mathbb {R} ^ {S} rightarrow mathbb {R}}$ definován ${ displaystyle M _ { phi} (X) = - delta suma _ {s = 1} ^ {S} phi _ {s} X_ {s: S}}$ je spektrální míra rizika -li ${ displaystyle phi in mathbb {R} ^ {S}}$ splňuje podmínky

1. Nezápornost: ${ displaystyle phi _ {s} geq 0}$ pro všechny ${ displaystyle s = 1, tečky, S}$,
2. Normalizace: ${ displaystyle sum _ {s = 1} ^ {S} phi _ {s} = 1}$,
3. Monotónnost: ${ displaystyle phi _ {s}}$ je nerostoucí, to znamená ${ displaystyle phi _ {s_ {1}} geq phi _ {s_ {2}}}$ -li ${ displaystyle {s_ {1}} <{s_ {2}}}$ a ${ displaystyle {s_ {1}}, {s_ {2}} v {1, tečky, S }}$.^[4]

Vlastnosti

Opatření týkající se spektrálního rizika jsou také koherentní. Každé měření spektrálního rizika ${ displaystyle rho: { mathcal {L}} do mathbb {R}}$ splňuje:

1. Pozitivní homogenita: pro každé portfolio X a kladná hodnota ${ displaystyle lambda> 0}$, ${ displaystyle rho ( lambda X) = lambda rho (X)}$;
2. Translation-Invariance: pro každé portfolio X a ${ displaystyle alpha in mathbb {R}}$, ${ displaystyle rho (X + a) = rho (X) -a}$;
3. Monotónnost: pro všechna portfolia X a Y takhle ${ displaystyle X geq Y}$, ${ displaystyle rho (X) leq rho (Y)}$;
4. Subaditivita: pro všechna portfolia X a Y, ${ Displaystyle rho (X + Y) leq rho (X) + rho (Y)}$;
5. Zákonná invariance: pro všechna portfolia X a Y s kumulativní distribuční funkce ${ displaystyle F_ {X}}$ a ${ displaystyle F_ {Y}}$ respektive, pokud ${ displaystyle F_ {X} = F_ {Y}}$ pak ${ displaystyle rho (X) = rho (Y)}$;
6. Comonotonická aditivita: pro každého komonotonický náhodné proměnné X a Y, ${ Displaystyle rho (X + Y) = rho (X) + rho (Y)}$. Všimněte si, že X a Y jsou komonotonické, pokud pro každého ${ displaystyle omega _ {1}, omega _ {2} in Omega: ; (X ( omega _ {2}) - X ( omega _ {1})) (Y ( omega _ {2}) - Y ( omega _ {1})) geq 0}$.^[2]

V některých textech^{[který? ]} vstup X se interpretuje spíše jako ztráta než výplata portfolia. V tomto případě by byla vlastnost translační invariance dána vztahem ${ displaystyle rho (X + a) = rho (X) + a}$ místo výše uvedeného.

Příklady

• The očekávaný schodek je spektrální míra rizika.
• The očekávaná hodnota je triviálně spektrální míra rizika.

Viz také

• Měření rizika zkreslení

Reference