Elektrická potenciální energie - Electric potential energy

Články o
Elektromagnetismus
Elektřina Magnetismus Dějiny Učebnice
Elektrostatika Elektrický náboj Coulombův zákon Dirigent Hustota náboje Permitivita Elektrický dipólový moment Elektrické pole Elektrický potenciál Elektrický tok  / potenciální energie Elektrostatický výboj Gaussův zákon Indukce Izolátor Hustota polarizace Statická elektřina Triboelektřina
Magnetostatika Ampereův zákon Biot – Savartův zákon Gaussův zákon pro magnetismus Magnetické pole Magnetický tok Magnetický dipólový moment Magnetická propustnost Magnetický skalární potenciál Magnetizace Magnetomotorická síla Pravidlo pravé ruky
Elektrodynamika Lorentzův silový zákon Elektromagnetická indukce Faradayův zákon Lenzův zákon Zdvihový proud Potenciál magnetického vektoru Maxwellovy rovnice Elektromagnetické pole Elektromagnetický puls Elektromagnetická radiace Maxwellův tenzor Poyntingův vektor Liénard – Wiechertův potenciál Jefimenkovy rovnice Vířivý proud Londýnské rovnice Matematické popisy elektromagnetického pole
Elektrická síť Střídavý proud Kapacita Stejnosměrný proud Elektrický proud Elektrolýza Hustota proudu Joule topení Elektromotorická síla Impedance Indukčnost Ohmův zákon Paralelní obvod Odpor Rezonanční dutiny Sériový obvod Napětí Vlnovody
Koviantní formulace Elektromagnetický tenzor (tenzor napětí a energie ) Čtyřproudové Elektromagnetický čtyř potenciál
Vědci Ampér Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Jindřich Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Zpěvák Tesla Volta Weber

Elektrická potenciální energienebo Elektrostatická potenciální energie, je potenciální energie (měřeno v joulů ), který je výsledkem konzervativní Coulombovy síly a je spojena s konfigurací konkrétní množiny bodů poplatky v rámci definované Systém. An objekt může mít elektrickou potenciální energii na základě dvou klíčových prvků: vlastního elektrického náboje a jeho relativní polohy k jiným elektricky nabitým předměty.

Termín „elektrická potenciální energie“ se používá k popisu potenciální energie v systémech s časová varianta elektrická pole, zatímco termín „elektrostatická potenciální energie“ se používá k popisu potenciální energie v systémech s časově neměnný elektrická pole.

Definice

Elektrická potenciální energie systému bodových nábojů je definována jako práce vyžadující sestavení tohoto systému nábojů jejich přiblížením, jako v systému z nekonečné vzdálenosti.

Elektrostatická potenciální energie, U_E, jednoho bodový náboj q v poloze r v přítomnosti elektrické pole E je definován jako zápor práce Ž provedeno elektrostatická síla přivést ji z referenční polohy r_ref^{[poznámka 1]} do této polohy r.^{[1][2]:§25–1[poznámka 2]}

kde E je elektrostatické pole adr ' je vektor posunutí v křivce od referenční polohy r_ref do konečné polohy r.

Elektrostatickou potenciální energii lze také definovat z elektrického potenciálu následovně:

Elektrostatická potenciální energie, U_E, jednobodového náboje q v poloze r v přítomnosti elektrický potenciál ${ displaystyle scriptstyle Phi}$ je definován jako součin náboje a elektrického potenciálu.

kde ${ displaystyle scriptstyle Phi}$ je elektrický potenciál generované náboji, což je funkce polohy r.

Jednotky

The SI jednotka elektrické potenciální energie je joule (pojmenováno podle anglického fyzika James Prescott Joule ). V Systém CGS the erg je jednotka energie, která se rovná 10⁻⁷ J. Také elektronvolty lze použít, 1 eV = 1,602 × 10⁻¹⁹ J.

Elektrostatická potenciální energie jednoho bodového náboje

Jednobodový poplatek q v přítomnosti dalšího bodového náboje Q

Bodový náboj q v elektrickém poli jiného náboje Q.

Elektrostatická potenciální energie, U_E, jednobodového náboje q v poloze r v přítomnosti bodového náboje Q, přičemž nekonečnou vzdálenost mezi náboji jako referenční polohu, je:

kde ${ displaystyle k_ {e} = { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}}}$ je Coulombova konstanta, r je vzdálenost mezi bodovými náboji q & Q, a q & Q jsou poplatky (nikoli absolutní hodnoty poplatků - tj. an elektron by mít zápornou hodnotu poplatku, pokud je umístěn ve vzorci). Následující obrys důkazu uvádí odvození z definice elektrické potenciální energie a Coulombův zákon k tomuto vzorci.

Nástin důkazu

Elektrostatická síla F jednající za poplatek q lze psát z hlediska elektrického pole E tak jako ${ displaystyle mathbf {F} = q mathbf {E}}$, Podle definice změna elektrostatické potenciální energie, UE, bodového náboje q který se přesunul z referenční polohy rref do polohy r v přítomnosti elektrického pole E je negativem práce odvedené elektrostatická síla přivést ji z referenční polohy rref do této polohy r. ${ displaystyle U_ {E} (r) -U_ {E} (r _ { rm {ref}}) = - W_ {r _ { rm {ref}} rightarrow r} = - int _ {{r} _ { rm {ref}}} ^ {r} q mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {s}}$. kde: r = poloha ve 3D prostoru náboje qpomocí kartézských souřadnic r = (X, y, z), přičemž zaujal pozici Q účtovat na r = (0,0,0), skalární r = |r| je norma vektoru polohy, ds = rozdíl vektor posunutí po cestě C jít z rref na r, ${ displaystyle scriptstyle W_ {r _ { rm {ref}} rightarrow r}}$ je práce vykonaná elektrostatickou silou k přenesení náboje z referenční polohy rref na r, Obvykle UE je nastavena na nulu, když rref je nekonečno: ${ displaystyle U_ {E} (r _ { rm {ref}} = infty) = 0}$ tak ${ displaystyle U_ {E} (r) = - int _ { infty} ^ {r} q mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {s}}$ Když kučera ∇ × E je nula, integrál řádku výše nezávisí na konkrétní cestě C zvoleno, ale pouze v jeho koncových bodech. To se děje v časově neměnných elektrických polích. Když mluvíme o elektrostatické potenciální energii, vždy se předpokládá časově invariantní elektrická pole, takže v tomto případě je elektrické pole konzervativní a lze použít Coulombův zákon. Použitím Coulombův zákon, je známo, že elektrostatická síla F a elektrické pole E vytvořený diskrétním bodovým nábojem Q jsou radiálně směrovány z Q. Podle definice vektoru polohy r a vektor posunutí s, z toho vyplývá, že r a s jsou také radiálně směrovány z Q. Tak, E ads musí být paralelní: ${ displaystyle mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {s} = | mathbf {E} | cdot | mathrm {d} mathbf {s} | cos (0) = E mathrm {d} s}$ Pomocí Coulombova zákona je elektrické pole dáno vztahem ${ displaystyle | mathbf {E} | = E = { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}} { frac {Q} {s ^ {2}}}}$ a integrál lze snadno vyhodnotit: ${ displaystyle U_ {E} (r) = - int _ { infty} ^ {r} q mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {s} = - int _ { infty} ^ {r} { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}} { frac {qQ} {s ^ {2}}} { rm {d}} s = { frac {1 } {4 pi varepsilon _ {0}}} { frac {qQ} {r}} = k_ {e} { frac {qQ} {r}}}$

Jednobodový poplatek q v přítomnosti n bodové poplatky Q_i

Elektrostatická potenciální energie o q kvůli Q₁ a Q₂ systém poplatků:${ displaystyle U_ {E} = q { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}} left ({ frac {Q_ {1}} {r_ {1}}} + { frac {Q_ {2}} {r_ {2}}} vpravo)}$

Elektrostatická potenciální energie, U_E, jednobodového náboje q v přítomnosti n bodové poplatky Q_i, přičemž nekonečnou vzdálenost mezi náboji jako referenční polohu, je:

kde ${ displaystyle k_ {e} = { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}}}$ je Coulombova konstanta, r_i je vzdálenost mezi bodovými náboji q & Q_i, a q & Q_i jsou přiřazené hodnoty poplatků.

Elektrostatická potenciální energie uložená v systému bodových nábojů

Elektrostatická potenciální energie U_E uloženy v systému N poplatky q₁, q₂, ..., q_N na pozicích r₁, r₂, ..., r_N je:

kde, pro každého i hodnota, Φ (r_i) je elektrostatický potenciál způsobený všemi bodovými náboji kromě toho v r_i,^{[Poznámka 3]} a rovná se:

${ displaystyle Phi ( mathbf {r} _ {i}) = k_ {e} součet _ {j = 1} ^ {N (j neq i)} { frac {q_ {j}} { mathbf {r} _ {ij}}}}$,

kde r_ij je vzdálenost mezi q_j a q_i.

Nástin důkazu

Elektrostatická potenciální energie UE uložený v systému dvou nábojů se rovná elektrostatické potenciální energii náboje v elektrostatický potenciál generovaný druhým. To znamená, že pokud náboj q1 generuje elektrostatický potenciál Φ1, což je funkce polohy r, pak ${ displaystyle U _ { mathrm {E}} = q_ {2} Phi _ {1} ( mathbf {r} _ {2}).}$ Stejným výpočtem s ohledem na další poplatek získáme ${ displaystyle U _ { mathrm {E}} = q_ {1} Phi _ {2} ( mathbf {r} _ {1}).}$ Elektrostatická potenciální energie je vzájemně sdílena ${ displaystyle q_ {1}}$ a ${ displaystyle q_ {2}}$, takže celková uložená energie je ${ displaystyle U_ {E} = { frac {1} {2}} left [q_ {2} Phi _ {1} ( mathbf {r} _ {2}) + q_ {1} Phi _ {2} ( mathbf {r} _ {1}) vpravo]}$ To lze zobecnit tak, že říkáme, že elektrostatická potenciální energie UE uloženy v systému N poplatky q1, q2, ..., qN na pozicích r1, r2, ..., rN je: ${ displaystyle U _ { mathrm {E}} = { frac {1} {2}} součet _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} Phi ( mathbf {r} _ {i} )}$.

Energie uložená v systému jednobodového nabíjení

Elektrostatická potenciální energie systému obsahujícího pouze jeden bodový náboj je nulová, protože neexistují žádné další zdroje elektrostatické síly, proti nimž musí externí agent pracovat při přemisťování bodového náboje z nekonečna na jeho konečné místo.

Vyvstává častá otázka týkající se interakce bodového náboje s vlastním elektrostatickým potenciálem. Protože tato interakce nepůsobí na pohyb samotného bodového náboje, nepřispívá k akumulované energii systému.

Energie uložená v systému dvoubodových nábojů

Zvažte zavedení bodového náboje, q, do své konečné polohy poblíž bodového náboje, Q₁. Elektrostatický potenciál Φ (r) kvůli Q₁ je

${ displaystyle Phi (r) = k_ {e} { frac {Q_ {1}} {r}}}$

Proto získáváme elektrickou potenciální energii o q v potenciálu Q₁ tak jako

${ displaystyle U_ {E} = { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}} { frac {qQ_ {1}} {r_ {1}}}}$

kde r₁ je oddělení mezi dvěma bodovými náboji.

Energie uložená v systému tříbodových nábojů

Elektrostatická potenciální energie systému se třemi náboji by neměla být zaměňována s elektrostatickou potenciální energií z Q₁ kvůli dvěma poplatkům Q₂ a Q₃, protože ten nezahrnuje elektrostatickou potenciální energii systému dvou nábojů Q₂ a Q₃.

Elektrostatická potenciální energie uložená v systému tří nábojů je:

${ displaystyle U _ { mathrm {E}} = { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}} left [{ frac {Q_ {1} Q_ {2}} {r_ {12 }}} + { frac {Q_ {1} Q_ {3}} {r_ {13}}} + { frac {Q_ {2} Q_ {3}} {r_ {23}}} vpravo]}$

Nástin důkazu

Pomocí vzorce uvedeného v (1), elektrostatická potenciální energie systému tří nábojů bude poté: ${ displaystyle U _ { mathrm {E}} = { frac {1} {2}} vlevo [Q_ {1} Phi ( mathbf {r} _ {1}) + Q_ {2} Phi ( mathbf {r} _ {2}) + Q_ {3} Phi ( mathbf {r} _ {3}) right]}$ Kde ${ displaystyle Phi ( mathbf {r} _ {1})}$ je elektrický potenciál v r1 vytvořené poplatky Q2 a Q3, ${ displaystyle Phi ( mathbf {r} _ {2})}$ je elektrický potenciál v r2 vytvořené poplatky Q1 a Q3, a ${ displaystyle Phi ( mathbf {r} _ {3})}$ je elektrický potenciál v r3 vytvořené poplatky Q1 a Q2. Potenciály jsou: ${ displaystyle Phi ( mathbf {r} _ {1}) = Phi _ {2} ( mathbf {r} _ {1}) + Phi _ {3} ( mathbf {r} _ {1 }) = { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}} { frac {Q_ {2}} {r_ {12}}} + { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}} { frac {Q_ {3}} {r_ {13}}}}$ ${ displaystyle Phi ( mathbf {r} _ {2}) = Phi _ {1} ( mathbf {r} _ {2}) + Phi _ {3} ( mathbf {r} _ {2 }) = { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}} { frac {Q_ {1}} {r_ {21}}} + { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}} { frac {Q_ {3}} {r_ {23}}}}$ ${ displaystyle Phi ( mathbf {r} _ {3}) = Phi _ {1} ( mathbf {r} _ {3}) + Phi _ {2} ( mathbf {r} _ {3 }) = { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}} { frac {Q_ {1}} {r_ {31}}} + { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}} { frac {Q_ {2}} {r_ {32}}}}$ Kde rab je vzdálenost mezi nábojem QA a Qb. Pokud přidáme vše: ${ displaystyle U _ { mathrm {E}} = { frac {1} {2}} { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}} left [{ frac {Q_ {1 } Q_ {2}} {r_ {12}}} + { frac {Q_ {1} Q_ {3}} {r_ {13}}} + { frac {Q_ {2} Q_ {1}} {r_ {21}}} + { frac {Q_ {2} Q_ {3}} {r_ {23}}} + { frac {Q_ {3} Q_ {1}} {r_ {31}}} + { frac {Q_ {3} Q_ {2}} {r_ {32}}} vpravo]}$ Nakonec dostaneme, že elektrostatická potenciální energie uložená v systému tří nábojů: ${ displaystyle U _ { mathrm {E}} = { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}} left [{ frac {Q_ {1} Q_ {2}} {r_ {12 }}} + { frac {Q_ {1} Q_ {3}} {r_ {13}}} + { frac {Q_ {2} Q_ {3}} {r_ {23}}} vpravo]}$

Energie uložená v distribuci elektrostatického pole

Hustota energie neboli energie na jednotku objemu, ${ displaystyle { frac {dU} {dV}}}$, z elektrostatické pole kontinuální distribuce poplatků je:

${ displaystyle u_ {e} = { frac {dU} {dV}} = { frac {1} {2}} varepsilon _ {0} left | { mathbf {E}} right | ^ { 2}.}$

Nástin důkazu

Lze použít rovnici pro elektrostatiku potenciální energie kontinuální distribuce poplatků a vyjádřit ji v podmínkách elektrostatické pole. Od té doby Gaussův zákon pro elektrostatické pole v diferenciálních stavech ${ displaystyle mathbf { nabla} cdot mathbf {E} = { frac { rho} { varepsilon _ {0}}}}$ kde ${ displaystyle mathbf {E} }$ je vektor elektrického pole ${ displaystyle rho }$ je celkem hustota náboje počítaje v to dipól poplatky vázaný v materiálu ${ displaystyle varepsilon _ {0}}$ je permitivita volného prostoru, pak, ${ displaystyle { begin {aligned} U & = { frac {1} {2}} int limits _ { text {all space}} rho (r) Phi (r) , dV & = { frac {1} {2}} int limits _ { text {all space}} varepsilon _ {0} ( mathbf { nabla} cdot { mathbf {E}}) Phi , dV end {zarovnáno}}}$ takže nyní používám následující identitu vektoru divergence ${ displaystyle nabla cdot ( mathbf {A} {B}) = ( nabla cdot mathbf {A}) {B} + mathbf {A} cdot ( nabla {B}) Rightarrow ( nabla cdot mathbf {A}) {B} = nabla cdot ( mathbf {A} {B}) - mathbf {A} cdot ( nabla {B})}$ my máme ${ displaystyle U = { frac { varepsilon _ {0}} {2}} int limity _ { text {celý prostor}} mathbf { nabla} cdot ( mathbf {E} Phi) dV - { frac { varepsilon _ {0}} {2}} int limits _ { text {all space}} ( mathbf { nabla} Phi) cdot mathbf {E} dV}$ za použití věta o divergenci a vezmeme oblast, kde bude nekonečno ${ displaystyle Phi ( infty) = 0}$ ${ displaystyle { begin {aligned} U & = overbrace {{ frac { varepsilon _ {0}} {2}} int limits _ {{} _ { text {of space}} ^ { text {boundary}}} Phi mathbf {E} cdot d mathbf {A}} ^ {0} - { frac { varepsilon _ {0}} {2}} int limits _ { text { celý prostor}} (- mathbf {E}) cdot mathbf {E} , dV & = int limity _ { text {celý prostor}} { frac {1} {2}} varepsilon _ {0} left | { mathbf {E}} right | ^ {2} , dV. end {zarovnáno}}}$ Energetická hustota neboli energie na jednotku objemu ${ displaystyle { frac {dU} {dV}}}$ z elektrostatické pole je: ${ displaystyle u_ {e} = { frac {1} {2}} varepsilon _ {0} left | { mathbf {E}} right | ^ {2}.}$

Energie uložená v elektronických prvcích

Elektrická potenciální energie uložená v a kondenzátor je U_E= ½ CV²

Některé prvky v obvodu mohou přeměňovat energii z jedné formy na druhou. Například rezistor přeměňuje elektrickou energii na teplo. Toto je známé jako Jouleův efekt. A kondenzátor ukládá jej do elektrického pole. Celková elektrická potenciální energie uložená v kondenzátoru je dána vztahem

${ displaystyle U_ {E} = { frac {1} {2}} QV = { frac {1} {2}} CV ^ {2} = { frac {Q ^ {2}} {2C}} }$

kde C je kapacita, PROTI je elektrický potenciál rozdíl a Q the nabít uložené v kondenzátoru.

Nástin důkazu

Lze sestavovat náboje na kondenzátor v nekonečně malých přírůstcích, ${ displaystyle dq až 0}$, takže množství práce provedené při sestavování každého přírůstku do jeho konečného umístění může být vyjádřeno jako ${ displaystyle W_ {q} = Vdq = { frac {q} {C}} dq.}$ Celková práce, která se tímto způsobem plně nabije na kondenzátoru, je pak ${ displaystyle W = int dW = int _ {0} ^ {Q} Vdq = { frac {1} {C}} int _ {0} ^ {Q} qdq = { frac {Q ^ { 2}} {2C}}.}$ kde ${ displaystyle Q}$ je celkový náboj na kondenzátoru. Tato práce je uložena jako elektrostatická potenciální energie, a proto ${ displaystyle W = U_ {E} = { frac {Q ^ {2}} {2C}}.}$ Je pozoruhodné, že tento výraz je platný, pouze pokud ${ displaystyle dq až 0}$, který platí pro systémy s mnoha náboji, jako jsou velké kondenzátory s kovovými elektrodami. U systémů s několika náboji je důležitá diskrétní povaha náboje. Celková energie uložená v kondenzátoru s několika náboji je ${ displaystyle U_ {E} = { frac {Q ^ {2}} {C}}}$ který se získá metodou sestavování náboje využívající nejmenší přírůstek fyzického náboje ${ displaystyle Delta q = e}$ kde ${ displaystyle e}$ je základní jednotka náboje a ${ displaystyle Q = Ne}$ kde ${ displaystyle N}$ je celkový počet nábojů v kondenzátoru.

Celková elektrostatická potenciální energie může být také vyjádřena jako elektrické pole ve formě

${ displaystyle U_ {E} = { frac {1} {2}} int _ {V} mathrm {E} cdot mathrm {D} dV}$

kde ${ displaystyle mathrm {D}}$ je pole elektrického posunu uvnitř dielektrického materiálu a integrace je přes celý objem dielektrika.

Celková elektrostatická potenciální energie uložená v nabitém dielektriku může být také vyjádřena jako kontinuální objemový náboj, ${ displaystyle rho}$,

${ displaystyle U_ {E} = { frac {1} {2}} int _ {V} rho Phi dV}$

kde integrace je přes celý objem dielektrika.

Tyto poslední dva výrazy jsou platné pouze pro případy, kdy je nejmenší přírůstek náboje nula (${ displaystyle dq až 0}$), jako jsou dielektrika v přítomnosti kovových elektrod nebo dielektrika obsahující mnoho nábojů.

Poznámky

Reference