Univerzální svazek - Universal bundle

v matematika, univerzální balíček v teorii svazky vláken s danou strukturní skupinou topologická skupina $G$ , je konkrétní balíček nad a třídicí prostor $BG$ , takže každý svazek s daným strukturní skupina $G$ přes $M$ je zarazit pomocí a průběžná mapa $M \to BG$ .

Existence univerzálního balíčku

V kategorii CW komplex

Když se definice třídícího prostoru odehrává v homotopii kategorie z CW komplexy, vycházejí věty o existenci univerzálních svazků Brownova věta o reprezentovatelnosti.

Pro kompaktní Lieovy skupiny

Nejprve dokážeme:

Tvrzení. Nechat

G

být kompaktní Lež skupina. Existuje smluvní prostor

NAPŘ

na kterých

G

jedná svobodně. Projekce

NAPŘ \to BG

je

G

- hlavní svazek vláken.

Důkaz. Existuje injekce $G$ do jednotná skupina $U (n)$ pro $n$ dost velký.^[1] Pokud najdeme $EU (n)$ pak můžeme vzít $NAPŘ$ být $EU (n)$ . Stavba $EU (n)$ je uveden v klasifikační prostor pro $U (n)$ .

Následující věta je důsledkem výše uvedeného Proposition.

Teorém. Li

M

je paracompact manifold a

P \to M

je jistina

G

-bundle, pak existuje mapa

F : M \to BG

, jedinečné až po homotopy, takové

P

je izomorfní s

F * (NAPŘ)

, natažení

G

- svazek

NAPŘ \to BG

podle

F

.

Důkaz. Na jedné straně vytažení svazku $π : NAPŘ \to BG$ přirozenou projekcí $P \times G NAPŘ \to BG$ je svazek $P \times NAPŘ$ . Na druhou stranu, odvolání jistiny $G$ - svazek $P \to M$ projekcí $p : P \times G NAPŘ \to M$ je také $P \times NAPŘ$

{ displaystyle { begin {array} {rcccl} P & to & P times EG & to & EG downarrow && downarrow && downarrow pi M & to _ {! ! ! ! ! ! ! ! s} & P times _ {G} EG & to & BG end {array}}}

Od té doby $p$ je fibrace se stahovatelným vláknem $NAPŘ$ , sekce $p$ existovat.^[2] Do takové sekce $s$ spojíme kompozici s projekcí $P \times G NAPŘ \to BG$ . Mapa, kterou dostaneme, je $F$ hledali jsme.

Pro jedinečnost až po homotopii si všimněte, že mezi mapami existuje vzájemná korespondence $F : M \to BG$ takhle $F * (NAPŘ) \to M$ je izomorfní s $P \to M$ a části $p$ . Právě jsme viděli, jak spojit a $F$ do sekce. Naopak, předpokládejme to $F$ je dáno. Nechat $Φ: F * (NAPŘ) \to P$ být izomorfismem:

{ Displaystyle Phi: left {(x, u) v M krát EG : f (x) = pi (u) right } do P}

Nyní jednoduše definujte sekci pomocí

{ displaystyle { begin {cases} M to P times _ {G} EG x mapsto lbrack Phi (x, u), u rbrack end {cases}}}

Protože všechny sekce $p$ jsou homotopická, třída homotopie $F$ je jedinečný.

Použití při studiu skupinových akcí

Obvykle se zapisuje celkový prostor univerzálního svazku $NAPŘ$ . Tyto prostory jsou samy o sobě zajímavé, přestože jsou obvykle smluvní. Například při definování homotopický kvocient nebo homotopický orbitální prostor a skupinová akce z $G$ , v případech, kdy oběžná dráha je patologické (ve smyslu toho, žeHausdorffův prostor, například). Myšlenka, pokud $G$ působí na prostor $X$ , je místo toho zvážit akci na $Y = X \times NAPŘ$ a odpovídající kvocient. Vidět ekvivariační kohomologie pro podrobnější diskusi.

Li $NAPŘ$ je tedy smluvní $X$ a $Y$ jsou ekvivalent homotopy mezery. Ale diagonální akce je zapnutá $Y$ , tj. kde $G$ působí na oba $X$ a $NAPŘ$ souřadnice mohou být dobře vychovaný když je akce zapnutá $X$ není.

Příklady

Klasifikační prostor pro U (n)

Viz také

Třída Chern
tautologický svazek, univerzální svazek pro obecnou lineární skupinu.

externí odkazy

Stránka PlanetMath s příklady univerzálních balíčků

Poznámky

^ J. J. Duistermaat a J. A. Kolk, - Ležové skupiny, Universitext, Springer. Dodatek 4.6.5
^ A. ~ Dold - Rozdělení jednoty v teorii fibrací, Annals of Mathematics, roč. 78, č. 2 (1963)

[1] J. J. Duistermaat a J. A. Kolk, - Ležové skupiny, Universitext, Springer. Dodatek 4.6.5

[2] A. ~ Dold - Rozdělení jednoty v teorii fibrací, Annals of Mathematics, roč. 78, č. 2 (1963)

[1]

[2]