Ekvivariantní kohomologie - Equivariant cohomology
v matematika, ekvivariační kohomologie (nebo Borel cohomology) je kohomologická teorie z algebraická topologie který se vztahuje na topologické prostory s skupinová akce. Lze to považovat za běžné zobecnění skupinová kohomologie a obyčejný teorie cohomologie. Konkrétně ekvivariační cohomologický kruh prostoru působením topologické skupiny je definován jako obyčejný cohomologický prsten s prstencem koeficientu z homotopický kvocient :
Li je triviální skupina, to je běžné cohomologický prsten z , zatímco pokud je smluvní, redukuje se na cohomologický kruh třídicí prostor (tj. skupinová kohomologie když G je konečný.) Pokud G jedná svobodně X, pak kanonická mapa je homotopická ekvivalence a tak získáme:
Rovněž je možné definovat ekvivariační kohomologii z s koeficienty v a -modul A; tyto jsou abelianské skupiny. Tato konstrukce je analogem cohomologie s lokálními koeficienty.
Li X je potrubí, G kompaktní Lieova skupina a je pole reálných čísel nebo pole komplexních čísel (nejtypičtější situace), lze výše uvedenou kohomologii vypočítat pomocí takzvaného Cartanova modelu (viz ekvivariační diferenciální formy.)
Konstrukce by neměla být zaměňována s jinými cohomologickými teoriemi, jako např Bredonská kohomologie nebo cohomologie invariantní diferenciální formy: pokud G je kompaktní Lieova skupina, tedy průměrným argumentem[Citace je zapotřebí ], jakoukoli formu lze učinit neměnnou; kohomologie invariantních diferenciálních forem tedy nepřináší nové informace.
Koszulská dualita je známo, že platí mezi ekvivariační kohomologií a obyčejnou kohomologií.
Homotopický kvocient
The homotopický kvocient, také zvaný homotopický orbitální prostor nebo Borelova konstrukce, je „homotopicky správná“ verze oběžná dráha (podíl z podle jeho -action), ve kterém je nejprve nahrazen větším ale ekvivalent homotopy prostor tak, aby akce byla zaručena volný, uvolnit.
Za tímto účelem postavte univerzální balíček NAPŘ → BG pro G a připomeň si to NAPŘ přiznává zdarma G-akce. Pak produkt NAPŘ × X —Která je homotopy ekvivalentní X od té doby NAPŘ je stahovatelný - připouští „úhlopříčku“ G-akce definovaná (E,X).G = (např,G−1X): navíc je tato diagonální akce zdarma, protože je zdarma zapnutá NAPŘ. Definujeme tedy homotopický kvocient XG být oběžným prostorem (NAPŘ × X)/G z toho zdarma G-akce.
Jinými slovy, homotopický kvocient je spojené X- svazek přes BG získané z akce G na mezeru X a hlavní balíček NAPŘ → BG. Tento balíček X → XG → BG se nazývá Borelova fibrace.
Příklad homotopického kvocientu
Následující příklad je Proposition 1 of [1].
Nechat X být komplexním projektivem algebraická křivka. Identifikujeme X jako topologický prostor se sadou komplexních bodů , což je kompaktní Riemannův povrch. Nechat G být komplexně jednoduše propojená polojednocená Lieova skupina. Pak jakýkoli ředitel G-bundle on X je izomorfní s triviálním svazkem, protože třídicí prostor je 2 připojené a X má skutečný rozměr 2. Opravte některé hladké G- svazek na X. Pak jakýkoli ředitel G-bundle on je izomorfní s . Jinými slovy, sada ze všech tříd izomorfismu párů sestávajících z jistiny G-bundle on X a komplexně analytickou strukturu na ní lze identifikovat se sadou komplexně analytických struktur nebo ekvivalentně množina holomorfních spojení X (protože připojení jsou z důvodu dimenze integrovatelná). je nekonečně-dimenzionální komplex afinního prostoru, a proto je smrtelný.
Nechat být skupinou všech automorfismů (tj., měřicí skupina.) Potom homotopický kvocient z podle klasifikuje komplexně-analytický (nebo ekvivalentně algebraický) principál G-bundles on X; tj. je to přesně ten klasifikační prostor diskrétní skupiny .
Lze definovat zásobník hlavních svazků jako zásobník kvocientů a potom homotopický kvocient je, podle definice, homotopický typ z .
Ekvivariantní charakteristické třídy
Nechat E být ekvivariantní vektorový svazek na G- potrubí M. Vzniká vektorový svazek na homotopickém kvocientu tak, že se stáhne zpět do svazku přes . Ekvivariantní charakteristická třída E je potom běžnou charakteristickou třídou , což je prvek dokončení kohomologického kruhu . (Za účelem podání žádosti Teorie Chern-Weil, jeden používá konečnou dimenzionální aproximaci NAPŘ.)
Alternativně lze nejdříve definovat ekvivariantní třídu Chern a poté definovat další charakteristické třídy jako invariantní polynomy tříd Chern jako v běžném případě; například třída ekvivariantního Todda svazku ekvivariantních řádků je Toddova funkce hodnoceno na ekvivariantní první třídě Chern svazku. (Ekvivariantní Toddova třída svazku řádků je mocninová řada (nikoli polynomiální jako v případě neekvivariantu) v první ekvivalenční třídě Chern; proto patří k dokončení ekvivariačního prstenu kohomologie.)
V neekvivačním případě lze první třídu Chern považovat za bijekci mezi množinou všech tříd izomorfismu komplexních svazků řádků na potrubí M a [1] V případě ekvivariantu to znamená: ekvivariant první Čern dává bijekci mezi množinou všech tříd izomorfismu svazků ekvivariantních komplexních čar a .
Věta o lokalizaci
Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Dubna 2014) |
Věta o lokalizaci je jedním z nejmocnějších nástrojů ekvivariační kohomologie.
Viz také
- Ekvivariantní diferenciální forma
- Mapa Kirwanu
- Lokalizační vzorec pro ekvivariační kohomologii
- Odrůda GKM
- Bredonská kohomologie
Poznámky
- ^ použitím Čechova kohomologie a izomorfismus dané exponenciální mapa.
Reference
- Atiyah, Michael; Bott, Raoul (1984), „Momentová mapa a ekvivariační kohomologie“, Topologie, 23: 1–28, doi:10.1016/0040-9383(84)90021-1
- Michel Brion, „Rovnoměrná kohomologie a teorie ekvivariační křižovatky“ [2]
- Goresky, Marku; Kottwitz, Robert; MacPherson, Robert (1998), „Equivariant cohomology, Koszul dualita a věta o lokalizaci“, Inventiones Mathematicae, 131: 25–83, CiteSeerX 10.1.1.42.6450, doi:10.1007 / s002220050197
- Hsiang, Wu-Yi (1975). Teorie kohomologie topologických transformačních skupin. New York: Springer.
- Tu, Loring W. (březen 2011). „Co je ... ekvivariační kohomologie?“ (PDF). Oznámení Americké matematické společnosti. 58 (3): 423–426.
Další čtení
- V. W. Guillemin a S. Sternberg. Supersymetrie a ekvivariantní de Rhamova teorie. Springer-V erlag, Berlín, 1999
- CM Vergne, Cohomologie équivariante et théorème de Stokes