Klasifikační prostor pro U (n) - Classifying space for U(n)

v matematika, třídicí prostor pro jednotná skupina U (n) je prostor BU (n) společně s univerzálním balíčkem EU (n) takový, že jakýkoli poustevnický svazek na a paracompact prostor X je návratem EU (n) na mapě X → BU (n) jedinečné až po homotopii.

Tento prostor s jeho univerzální fibrací může být konstruován jako jeden

1. the Grassmannian z n-roviny v nekonečně-dimenzionálním komplexu Hilbertův prostor; nebo,
2. přímý limit s indukovanou topologií Grassmannians z n letadla.

Obě konstrukce jsou podrobně popsány zde.

Stavba jako nekonečný Grassmannian

The celkový prostor EU (n) z univerzální balíček darováno

${ displaystyle EU (n) = left {e_ {1}, ldots, e_ {n} : (e_ {i}, e_ {j}) = delta _ {ij}, e_ {i} v H vpravo }.}$

Tady, H označuje nekonečně-dimenzionální komplex Hilbertův prostor, E_i jsou vektory v H, a ${ displaystyle delta _ {ij}}$ je Kroneckerova delta. Symbol ${ displaystyle ( cdot, cdot)}$ je vnitřní produkt na H. Máme tedy tu EU (n) je prostor ortonormální n-rámce v H.

The skupinová akce z U (n) v tomto prostoru je přirozený. The základní prostor je tedy

${ displaystyle BU (n) = EU (n) / U (n)}$

a je množina Grassmannian n-dimenzionální podprostory (nebo n-planes) v H. To znamená

${ displaystyle BU (n) = {V podmnožina H : dim V = n }}$

aby PROTI je n-dimenzionální vektorový prostor.

Případ svazků linek

Pro n = 1, jeden má EU (1) = S^∞, který je je známo jako smluvní prostor. Základní prostor je pak BU (1) = CP^∞, nekonečně-dimenzionální složitý projektivní prostor. Tedy soubor třídy izomorfismu z kruhové svazky přes potrubí M jsou v osobní korespondenci s třídy homotopy map z M na CP^∞.

Jeden má také vztah

${ displaystyle BU (1) = PU (H),}$

to znamená, že BU (1) je nekonečně dimenzionální projektivní unitární skupina. V tomto článku najdete další diskusi a vlastnosti.

Pro torus T, který je abstraktně izomorfní s U (1) × ... × U (1), ale nemusí mít zvolenou identifikaci, píše se BT.

The topologická K-teorie K.₀(BT) darováno numerické polynomy; více podrobností níže.

Konstrukce jako indukční limit

Nechat F_n(C^k) být prostorem ortonormálních rodin n vektory v C^k a nechte G_n(C^k) být Grassmannianem z n-dimenzionální subvektorové prostory C^k. Celkový prostor univerzálního svazku lze považovat za přímou hranici F_n(C^k) tak jako k → ∞, zatímco základní prostor je přímým limitem G_n(C^k) tak jako k → ∞.

Platnost stavby

V této části definujeme topologii o EU (n) a prokázat, že EU (n) je skutečně smluvní.

Skupina U (n) jedná svobodně F_n(C^k) a kvocient je Grassmannian G_n(C^k). Mapa

${ displaystyle { begin {zarovnáno} F_ {n} ( mathbf {C} ^ {k}) & longrightarrow mathbf {S} ^ {2k-1} (e_ {1}, ldots, e_ {n}) & longmapsto e_ {n} end {zarovnáno}}}$

je svazek vláken F_n−1(C^k−1). Tak proto ${ displaystyle pi _ {p} ( mathbf {S} ^ {2k-1})}$ je triviální a kvůli dlouhá přesná sekvence fibrace, my máme

${ displaystyle pi _ {p} (F_ {n} ( mathbf {C} ^ {k})) = pi _ {p} (F_ {n-1} ( mathbf {C} ^ {k- 1}))}$

kdykoli ${ displaystyle p leq 2k-2}$. Tím, že k dostatečně velký, přesně pro ${ displaystyle k> { tfrac {1} {2}} p + n-1}$můžeme postup opakovat a získat

${ displaystyle pi _ {p} (F_ {n} ( mathbf {C} ^ {k})) = pi _ {p} (F_ {n-1} ( mathbf {C} ^ {k- 1})) = cdots = pi _ {p} (F_ {1} ( mathbf {C} ^ {k + 1-n})) = pi _ {p} ( mathbf {S} ^ { kn}).}$

Tato poslední skupina je triviální pro k > n + p. Nechat

${ displaystyle EU (n) = { lim _ { to}} ; _ {k to infty} F_ {n} ( mathbf {C} ^ {k})}$

být přímý limit ze všech F_n(C^k) (s indukovanou topologií). Nechat

${ displaystyle G_ {n} ( mathbf {C} ^ { infty}) = { lim _ { to}} ; _ {k to infty} G_ {n} ( mathbf {C} ^ {k})}$

být přímý limit ze všech G_n(C^k) (s indukovanou topologií).

Lemma: Skupina ${ displaystyle pi _ {p} (EU (n))}$ je triviální pro všechny p ≥ 1.

Důkaz: Nechť γ: S^p → EU (n), od té doby S^p je kompaktní, tady existuje k takové, že γ (S^p) je součástí F_n(C^k). Tím, že k dost velký, vidíme, že γ je homotopický, vzhledem k základnímu bodu, ke konstantní mapě.${ displaystyle Box}$

Kromě toho U (n) jedná svobodně v EU (n). Mezery F_n(C^k) a G_n(C^k) jsou CW-komplexy. Jeden může najít rozklad těchto prostorů na CW-komplexy tak, že rozklad F_n(C^k), resp. G_n(C^k), je indukován omezením pro F_n(C^k+1), resp. G_n(C^k+1). Takto EU (n) (a také G_n(C^∞)) je komplex CW. Podle Whiteheadova věta a výše uvedená Lemma, EU (n) je smluvní.

Kohomologie BU (n)

Tvrzení: The kohomologie klasifikačního prostoru H *(BU (n)) je prsten z polynomy v n proměnnéC₁, ..., C_n kde C_p je stupně 2p.

Důkaz: Nejprve se podívejme na případ n = 1. V tomto případě je U (1) kruh S¹ a univerzální balíček je S^∞ → CP^∞. Je dobře známo^[1] že cohomologie CP^k je izomorfní s ${ displaystyle mathbf {R} lbrack c_ {1} rbrack / c_ {1} ^ {k + 1}}$, kde C₁ je Eulerova třída svazku U (1) S^2k+1 → CP^ka že injekce CP^k → CP^k+1, pro k ∈ N*, jsou kompatibilní s těmito prezentacemi kohomologie projektivních prostorů. To dokazuje návrh na n = 1.

Existují sekvence vláken homotopy

${ displaystyle mathbb {S} ^ {2n-1} do BU (n-1) do BU (n)}$

Konkrétně bod celkového prostoru ${ displaystyle BU (n-1)}$ je dán bodem základního prostoru ${ displaystyle BU (n)}$ klasifikace komplexního vektorového prostoru ${ displaystyle V}$, společně s jednotkovým vektorem ${ displaystyle u}$ v ${ displaystyle V}$; společně klasifikují ${ displaystyle u ^ { perp}$ zatímco rozdělení ${ displaystyle V = ( mathbb {C} u) oplus u ^ { perp}}$, bagatelizováno uživatelem ${ displaystyle u}$, realizuje mapu ${ displaystyle BU (n-1) do BU (n)}$ představující přímý součet s ${ displaystyle mathbb {C}.}$

Uplatnění Gysinová sekvence, jeden má dlouhou přesnou sekvenci

${ displaystyle H ^ {p} (BU (n)) { overset { úsměv d_ {2n} eta} { longrightarrow}} H ^ {p + 2n} (BU (n)) { overset {j ^ {*}} { longrightarrow}} H ^ {p + 2n} (BU (n-1)) { overset { částečné} { longrightarrow}} H ^ {p + 1} (BU (n)) longrightarrow cdots}$

kde ${ displaystyle eta}$ je základní třída vlákna ${ displaystyle mathbb {S} ^ {2n-1}}$. Vlastnosti gysinové sekvence^{[Citace je zapotřebí ]}, ${ displaystyle j ^ {*}}$ je multiplikativní homomorfismus; indukcí, ${ displaystyle H ^ {*} BU (n-1)}$ je generován prvky s ${ displaystyle p <-1}$, kde ${ displaystyle částečné}$ musí být nula, a tedy kde ${ displaystyle j ^ {*}}$ musí být surjektivní. Z toho vyplývá, že ${ displaystyle j ^ {*}}$ musí vždy být surjective: podle univerzální vlastnictví z polynomiální kroužky, volba preimage pro každý generátor indukuje multiplikativní rozdělení. Přesně tedy ${ displaystyle úsměv d_ {2n} eta}$ musí být vždy injekční. Proto máme krátké přesné sekvence rozdělena prstencovým homomorfismem

${ displaystyle 0 to H ^ {p} (BU (n)) { overset { úsměv d_ {2n} eta} { longrightarrow}} H ^ {p + 2n} (BU (n)) { přesahovat {j ^ {*}} { longrightarrow}} H ^ {p + 2n} (BU (n-1)) na 0}$

Tak jsme dospěli k závěru ${ displaystyle H ^ {*} (BU (n)) = H ^ {*} (BU (n-1)) [c_ {2n}]}$ kde ${ displaystyle c_ {2n} = d_ {2n} eta}$. Tím je indukce dokončena.

K-teorie BU (n)

Zvažte topologickou komplexní K-teorii jako teorii cohomologie představovanou spektrem ${ displaystyle KU}$. V tomto případě, ${ displaystyle KU ^ {*} (BU (n)) cong mathbb {Z} [t, t ^ {- 1}] [[c_ {1}, ..., c_ {n}]]}}$,^[2] a ${ displaystyle KU _ {*} (BU (n))}$ je zdarma ${ displaystyle mathbb {Z} [t, t ^ {- 1}]}$ modul zapnutý ${ displaystyle beta _ {0}}$ a ${ displaystyle beta _ {i_ {1}} ldots beta _ {i_ {r}}}$ pro ${ displaystyle n geq i_ {j}> 0}$ a ${ displaystyle r leq n}$.^[3] V tomto popisu je struktura produktu zapnuta ${ displaystyle KU _ {*} (BU (n))}$ pochází ze struktury H-prostoru ${ displaystyle BU}$ dané Whitney součtem vektorových svazků. Tento produkt se nazývá Produkt Pontryagin.

Následující se zdá být výpočtem ${ displaystyle KU _ {*} BU (n)}$, kde ${ displaystyle KU _ {*} BU (n)}$ získá strukturu prstenu od struktury tenzorového produktu H-prostoru ${ displaystyle BU}$. Toto prohlášení je třeba objasnit.

The topologická K-teorie je známa výslovně ve smyslu numerické symetrické polynomy.

Teorie K se redukuje na výpočetní techniku K.₀, protože K-teorie je 2-periodická Bottova věta o periodicitě a BU (n) je limit složitých potrubí, takže má a Struktura CW pouze s buňkami v sudých rozměrech, takže zvláštní K-teorie zmizí.

Tím pádem ${ displaystyle K _ {*} (X) = pi _ {*} (K) otimes K_ {0} (X)}$, kde ${ displaystyle pi _ {*} (K) = mathbf {Z} [t, t ^ {- 1}]}$, kde t je Bottův generátor.

K.₀(BU (1)) je prsten numerické polynomy v w, považováno za podřetězec z H_∗(BU (1); Q) = Q[w], kde w je prvek dvojího až tautologického svazku.

Pro n-torus, K.₀(BTⁿ) je numerický polynom v n proměnné. Mapa K.₀(BTⁿ) → K.₀(BU (n)) je na, přes a princip rozdělení, tak jako Tⁿ je maximální torus z U (n). Mapa je mapa symetrizace

${ displaystyle f (w_ {1}, tečky, w_ {n}) mapsto { frac {1} {n!}} součet _ { sigma v S_ {n}} f (x _ { sigma (1)}, tečky, x _ { sigma (n)})}$

a obraz lze identifikovat jako symetrické polynomy splňující podmínku integrity

${ displaystyle {n vybrat n_ {1}, n_ {2}, ldots, n_ {r}} f (k_ {1}, dots, k_ {n}) in mathbf {Z}}$

kde

${ displaystyle {n zvolit k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}} = { frac {n!} {k_ {1}! , k_ {2}! cdots k_ { m}!}}}$

je multinomický koeficient a ${ displaystyle k_ {1}, tečky, k_ {n}}$ obsahuje r odlišná celá čísla, opakovaná ${ displaystyle n_ {1}, tečky, n_ {r}}$ krát.

Viz také

• Klasifikace prostoru pro O (n)
• Topologická K-teorie
• Atiyah – Jänichova věta

Poznámky

Reference

• J. F. Adams (1974), Stabilní homotopy a generalizovaná homologieUniversity of Chicago Press, ISBN  0-226-00524-0 Obsahuje výpočet ${ displaystyle KU ^ {*} (BU (n))}$ a ${ displaystyle KU _ {*} (BU (n))}$.
• S. Ochanine; L. Schwartz (1985), „Une remarque sur les générateurs du cobordisme komplex“, Matematika. Z., 190 (4): 543–557, doi:10.1007 / BF01214753 Obsahuje popis ${ displaystyle K_ {0} (BG)}$ jako ${ displaystyle K_ {0} (K)}$-modul pro jakoukoli kompaktní, propojenou Lieovu skupinu.
• L. Schwartz (1983), „K-théorie et homotopie stable“, Teze, Université de Paris – VII Výslovný popis ${ displaystyle K_ {0} (BU (n))}$
• Pekař; F. Clarke; N. Ray; L. Schwartz (1989), „Kummerovy kongruence a stabilní homotopie BU", Trans. Amer. Matematika. Soc.Americká matematická společnost, 316 (2): 385–432, doi:10.2307/2001355, JSTOR  2001355