Pozitivní a určitá funkce ve skupině - Positive-definite function on a group

V matematice a konkrétně v teorie operátorů, a pozitivní-definitivní funkce ve skupině souvisí pojmy pozitivity v kontextu Hilbertovy prostory a algebraické skupiny. Lze jej považovat za konkrétní typ kladně definitivní jádro kde podkladová sada má další strukturu skupiny.

Definice

Nechat G být skupina, H být komplexním Hilbertovým prostorem a L(H) být omezenými operátory na H. A pozitivní-definitivní funkce na G je funkce F: G → L(H) to uspokojuje

${ displaystyle sum _ {s, t v G} langle F (s ^ {- 1} t) h (t), h (s) rangle geq 0,}$

pro každou funkci h: G → H s konečnou podporou (h bere nenulové hodnoty pouze pro konečně mnoho s).

Jinými slovy, funkce F: G → L(H) se říká, že jde o kladně definitivní funkci, pokud jde o jádro K.: G × G → L(H) definován K.(s, t) = F(s⁻¹t) je kladně definitivní jádro.

Jednotná reprezentace

A jednotkové zastoupení je jednotný homomorfismus Φ: G → L(H) kde Φ (s) je jednotný operátor pro všechny s. Pro takové Φ, Φ (s⁻¹) = Φ (s)*.

Pozitivní a určité funkce na G jsou úzce spjaty s jednotnými reprezentacemi G. Každé jednotkové zastoupení G vytváří rodinu pozitivně určitých funkcí. Naopak, vzhledem k pozitivní a určité funkci lze definovat jednotnou reprezentaci G přirozeným způsobem.

Nechť Φ: G → L(H) být jednotným vyjádřením G. Li P ∈ L(H) je projekce do uzavřeného podprostoru H` z H. Pak F(s) = P Φ (s) je kladně definitivní funkce na G s hodnotami v L(H`). To lze snadno zobrazit:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} součet _ {s, t v G} langle F (s ^ {- 1} t) h (t), h (s) rangle & = sum _ {s , t in G} langle P Phi (s ^ {- 1} t) h (t), h (s) rangle {} & = sum _ {s, t in G} langle Phi (t) h (t), Phi (s) h (s) rangle {} & = left langle sum _ {t v G} Phi (t) h (t), sum _ {s in G} Phi (s) h (s) right rangle {} & geq 0 end {zarovnáno}}}$

pro každého h: G → H` s konečnou podporou. Li G má topologii a Φ je slabě (resp. silně) spojitá, pak jasně ano F.

Na druhou stranu považujme nyní funkci za pozitivní F na G. Jednotné znázornění G lze získat následovně. Nechat C₀₀(G, H) být rodinou funkcí h: G → H s konečnou podporou. Odpovídající pozitivní jádro K.(s, t) = F(s⁻¹t) definuje (pravděpodobně zdegenerovaný) vnitřní produkt na C₀₀(G, H). Nechť je výsledný Hilbertův prostor označen PROTI.

Všimli jsme si, že „maticové prvky“ K.(s, t) = K.(A⁻¹s, A⁻¹t) pro všechny A, s, t v G. Tak U_Ah(s) = h(A⁻¹s) konzervuje vnitřní produkt PROTI, tj. je jednotný v L(PROTI). Je jasné, že mapa Φ (A) = U_A je reprezentace G na PROTI.

Jednotná reprezentace je jedinečná, až do izomorfismu prostoru Hilberta, za předpokladu, že platí následující podmínka minimality:

${ displaystyle V = bigvee _ {s v G} Phi (s) H ,}$

kde ${ displaystyle bigvee}$ označuje uzavření lineárního rozpětí.

Identifikovat H jako prvky (případně třídy ekvivalence) v systému Windows PROTI, jehož podpora se skládá z prvku identity E ∈ Ga nechte P být projekcí do tohoto podprostoru. Pak máme PU_AP = F(A) pro všechnyA ∈ G.

Toeplitzova jádra

Nechat G být aditivní skupinou celých čísel Z. Jádro K.(n, m) = F(m − n) se nazývá jádro Toeplitz typ, analogicky s Toeplitzovy matice. Li F je ve formě F(n) = Tⁿ kde T je omezený operátor působící na nějaký Hilbertův prostor. Lze ukázat, že jádro K.(n, m) je pozitivní právě tehdy T je kontrakce. V diskusi z předchozí části máme jednotné zastoupení Z, Φ (n) = Uⁿ pro jednotného operátora U. Navíc majetek PU_AP = F(A) nyní překládá do PUⁿP = Tⁿ. To je přesně Věta o dilataci Sz.-Nagyho a naráží na důležitou dilatačně-teoretickou charakterizaci pozitivity, která vede k parametrizaci libovolných pozitivně definitních jader.

Reference

• Christian Berg, Christensen, Paul ResselHarmonická analýza na poloskupinách, GTM, Springer Verlag.
• T. Constantinescu, Schurovy parametry, dilatace a problémy s faktorizací, Birkhauser Verlag, 1996.
• B. Sz.-Nagy a C. Foias, Harmonická analýza operátorů na Hilbertově prostoru, Severní Holandsko, 1970.
• Z. Sasvári, Pozitivní určité a definovatelné funkce, Akademie Verlag, 1994
• J. H. Wells, L. R. Williams, Vložení a rozšíření v analýze„Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii + 108 stran