Rothsova věta - Roths theorem - Wikipedia

Joseph Liouville

Freeman Dyson v roce 2005

Axel Thue

Carl Siegel v roce 1975

v matematika, Rothova věta je zásadním výsledkem v diofantická aproximace na algebraická čísla. Je to kvalitativní typ s tím, že algebraických čísel nemůže být mnoho racionální číslo aproximace, které jsou „velmi dobré“. Přes půl století, význam velmi dobře zde bylo vylepšeno řadou matematiků, počínaje Joseph Liouville v roce 1844 a pokračování v práci Axel Thue (1909 ), Carl Ludwig Siegel (1921 ), Freeman Dyson (1947 ), a Klaus Roth (1955 ).

Prohlášení

Rothova věta říká, že každý iracionální algebraické číslo ${ displaystyle alpha}$ má exponent aproximace rovná se 2. To znamená, že pro každého ${ displaystyle varepsilon> 0}$ nerovnost

{ displaystyle left | alpha - { frac {p} {q}} doprava | <{ frac {1} {q ^ {2+ varepsilon}}}}

může mít v systému pouze konečně mnoho řešení nesoudělná čísla ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle q}$ . Rothův důkaz této skutečnosti vyřešil domněnku Siegela. Z toho vyplývá, že každé iracionální algebraické číslo α vyhovuje

{ displaystyle left | alpha - { frac {p} {q}} doprava |> { frac {C ( alpha, varepsilon)} {q ^ {2+ varepsilon}}}}

s ${ displaystyle C ( alfa, varepsilon)}$ kladné číslo závisí pouze na ${ displaystyle varepsilon> 0}$ a ${ displaystyle alpha}$ .

Diskuse

První výsledek v tomto směru je Liouvilleova věta o aproximaci algebraických čísel, která poskytuje aproximační exponent z d pro algebraické číslo α stupně d ≥ 2. To již stačí k prokázání existence transcendentální čísla. Thue si uvědomil, že exponent menší než d bude mít aplikace na řešení Diophantine rovnice a v Thueova věta z roku 1909 ustanovil exponenta ${ displaystyle d / 2 + 1 + varepsilon}$ . Siegelova věta to vylepšuje na exponent asi 2√da Dysonova věta z roku 1947 má exponent kolem √2d.

Rothův výsledek s exponentem 2 je v určitém smyslu nejlepší možný, protože toto tvrzení by při nastavení selhalo ${ displaystyle varepsilon = 0}$ : od Dirichletova věta o diofantické aproximaci v tomto případě existuje nekonečně mnoho řešení. Existuje však silnější domněnka Serge Lang že

{ displaystyle left | alpha - { frac {p} {q}} doprava | <{ frac {1} {q ^ {2} log (q) ^ {1+ varepsilon}}}}

může mít jen konečně mnoho řešení v celých číslech p a q. Pokud necháme α přejít celou množinu reálných čísel, nejen algebraické reálné, pak Rothův závěr i Langovo držení téměř všechny ${ displaystyle alpha}$ . Věta i domněnka tedy tvrdí, že jisté spočetná sada chybí určitá sada nulové míry.^[1]

Věta v současné době není efektivní: to znamená, že není známa žádná vazba ohledně možných hodnot p,q daný ${ displaystyle alpha}$ .^[2] Davenport & Roth (1955) ukázal, že Rothovy techniky by mohly být použity k získání efektivní hranice počtu p/q uspokojování nerovnosti pomocí principu „mezery“.^[2] Skutečnost, že vlastně nevíme C(ε) znamená, že projekt řešení rovnice nebo ohraničení velikosti řešení je mimo dosah.

Důkazní technika

Důkazová technika zahrnuje konstrukci pomocný vícerozměrný polynom v libovolně velkém počtu proměnných v závislosti na ${ displaystyle varepsilon}$ , což vede k rozporu v přítomnosti příliš mnoha dobrých aproximací. Přesněji řečeno, člověk najde určitý počet racionálních aproximací dotyčného iracionálního algebraického čísla a poté aplikuje funkci na každé z nich současně (tj. Každé z těchto racionálních čísel slouží jako vstup do jedinečné proměnné ve výrazu definujícím naši funkci ). Ze své podstaty to bylo neúčinné (viz efektivní výsledky v teorii čísel ); to je obzvláště zajímavé, protože hlavní aplikací tohoto typu výsledku je omezit počet řešení některých diofantické rovnice.

Zobecnění

Existuje verze vyšší dimenze, Schmidtova podprostorová věta základního výsledku. Existuje také řada rozšíření, například pomocí metrika p-adic,^[3] na základě Rothovy metody.

William J. LeVeque zobecnil výsledek tím, že ukázal, že podobná vazba platí, když jsou přibližná čísla převzata z pevné algebraické číslo pole. Definujte výška H(ξ) algebraického čísla ξ jako maximum absolutních hodnot koeficientů jeho minimální polynom. Opravte κ> 2. Pro dané algebraické číslo α a pole algebraického čísla K., rovnice

{ displaystyle | alpha - xi | <{ frac {1} {H ( xi) ^ { kappa}}}}

má jen konečně mnoho řešení v prvcích ξ z K..^[4]

Viz také

Poznámky

^ Rovněž úzce souvisí s Manin – Mumfordova domněnka.
^ ^A ^b Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Postgraduální texty z matematiky. 201. str. 344–345. ISBN 0-387-98981-1.
^ Ridout, D. (1958). „The p-adické zobecnění věty Thue – Siegel – Roth “. Mathematika. 5: 40–48. doi:10.1112 / s0025579300001339. Zbl 0085.03501.
^ LeVeque, William J. (2002) [1956]. Témata z teorie čísel, svazky I a II. New York: Dover Publications. str.II: 148–152. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.

Reference

Davenport, H.; Roth, Klaus Friedrich (1955), "Racionální aproximace algebraických čísel", Mathematika, 2: 160–167, doi:10.1112 / S0025579300000814, ISSN 0025-5793, PAN 0077577, Zbl 0066.29302
Dyson, Freeman J. (1947), „Aproximace na algebraická čísla pomocí racionálů“, Acta Mathematica, 79: 225–240, doi:10.1007 / BF02404697, ISSN 0001-5962, PAN 0023854, Zbl 0030.02101
Roth, Klaus Friedrich (1955), "Racionální aproximace algebraických čísel", Mathematika, 2: 1–20, 168, doi:10.1112 / S0025579300000644, ISSN 0025-5793, PAN 0072182, Zbl 0064.28501
Wolfgang M. Schmidt (1996) [1980]. "Diophantinová aproximace". Přednášky z matematiky. 785. Springer. doi:10.1007/978-3-540-38645-2. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
Wolfgang M. Schmidt (1991). "Diophantine aproximace a Diophantine rovnice". Přednášky z matematiky. 1467. Springer-Verlag. doi:10.1007 / BFb0098246. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
Siegel, Carl Ludwig (1921), „Aproximační algebraischer Zahlen“ (PDF), Mathematische Zeitschrift, 10 (3): 173–213, doi:10.1007 / BF01211608, ISSN 0025-5874, PAN 1544471
Čt, A. (1909), „Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 135: 284–305, doi:10,1515 / crll.1909.135.284, ISSN 0075-4102

Další čtení

Baker, Alan (1975). Teorie transcendentního čísla. Cambridge University Press. ISBN 0-521-20461-5. Zbl 0297.10013.
Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007). Logaritmické formy a diofantická geometrie. Nové matematické monografie. 9. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl 1145.11004.
Bombieri, Enrico; Gubler, Walter (2006). Výšky v diofantické geometrii. Nové matematické monografie. 4. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034.
Vojta, Paul (1987). Diophantine Aproximace a teorie distribuce hodnoty. Přednášky z matematiky. 1239. Springer-Verlag. ISBN 3-540-17551-2. Zbl 0609.14011.

[1] Rovněž úzce souvisí s Manin – Mumfordova domněnka.

[HindrySilverman344-2] A ^b Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Postgraduální texty z matematiky. 201. str. 344–345. ISBN 0-387-98981-1.

[3] Ridout, D. (1958). „The p-adické zobecnění věty Thue – Siegel – Roth “. Mathematika. 5: 40–48. doi:10.1112 / s0025579300001339. Zbl 0085.03501.

[4] LeVeque, William J. (2002) [1956]. Témata z teorie čísel, svazky I a II. New York: Dover Publications. str.II: 148–152. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.

[1]

[2]

[3]

[4]