Interuniverzální Teichmüllerova teorie - Inter-universal Teichmüller theory

Interuniverzální Teichmüllerova teorie (ve zkratce IUT nebo IUTT) je jméno dané matematikem Shinichi Mochizuki k teorii, kterou vyvinul v roce 2000 po své dřívější práci v aritmetická geometrie. Podle Mochizukiho je to „aritmetická verze Teichmüllerova teorie pro číselná pole vybavená eliptickou křivkou. “Teorie byla zveřejněna v sérii čtyř předtisky zveřejnil v roce 2012 na svých webových stránkách. Nejvýraznějším nárokovaným uplatněním teorie je poskytnout důkaz pro různé vynikající domněnky teorie čísel, zejména domněnka abc. Mochizuki a několik dalších matematiků tvrdí, že teorie takový důkaz skutečně poskytuje, ale matematická komunita to dosud nepřijala.

Dějiny

Teorie byla vyvinuta zcela Mochizuki do roku 2012 a poslední části byly napsány v sérii čtyř předtisků.[1] Mochizuki poté svou práci zveřejnil v roce 2012 poměrně neobvyklým způsobem, pouze zpřístupnil své dokumenty RÁFKY webové stránky a vyhýbání se oznámením nebo zveřejňování na předpublikačním serveru. Brzy poté si noviny vyzvedly Ivan Fesenko a matematická komunita jako celek byla seznámena s tvrzeními, že dokázala domněnku abc.[Citace je zapotřebí ]

Přijetí tvrzení bylo zpočátku nadšené, ačkoli teoretici čísel byli zmateni původním jazykem zavedeným a používaným Mochizuki.[2][3]Národní workshopy o IUT se konaly na RIMS v březnu 2015 a v Pekingu v červenci 2015.[4]Mezinárodní workshopy o IUT se konaly v Oxfordu v prosinci 2015 a na RIMS v červenci 2016. Mezinárodní workshopy přilákaly více než 100 účastníků. Prezentace z těchto workshopů jsou k dispozici online.[5][6]To však nevedlo k širšímu pochopení Mochizukiho myšlenek a stav jeho nárokovaného důkazu se těmito událostmi nezměnil.[7]

V roce 2017 řada matematiků, kteří podrobně zkoumali Mochizukiho argument, poukázala na konkrétní bod, kterému nerozuměli, na konci důkazu z Dodatku 3.12, v článku tři ze čtyř.[8][9]

V březnu 2018 Peter Scholze a Jakob Stix navštívil Kjótská univerzita na pět dní diskuse s Mochizuki a Yuichiro Hoshi; i když to nevyřešilo rozdíly, zaměřilo se to na místo, kde byly potíže.[8][10]Výsledkem bylo také zveřejnění zpráv z diskuse na obou stranách:

  • V květnu 2018 Scholze a Stix napsali 10stránkovou zprávu aktualizovanou v září 2018, která podrobně popisuje (dříve identifikovanou) mezeru v Corollary 3.12 v důkazu a popisuje ji jako „tak závažnou, že podle jejich názoru malé úpravy nezachrání „proof strategy“ a že Mochizukiho předtisk nemůže požadovat důkaz abc.[11] Provádějí řadu zjednodušení IUTT, některá drastická a ne všechna, která Mochizuki považuje za platná, a trvají na rozdílu, který nedělá mezi „abstraktními a konkrétními„ pilotními objekty ““.
  • V září 2018 napsal Mochizuki 41stránkové shrnutí svého pohledu na diskuse a svých závěrů o tom, které aspekty jeho teorie považuje za nepochopené.[12] Zejména jmenuje:
    • „reinicializace“ (matematických) objektů, čímž se jejich předchozí „historie“ stává nepřístupnou;
    • „štítky“ pro různé „verze“ objektů;
    • důraz na typy („druhy“) objektů.
  • V červenci a říjnu 2018 napsal Mochizuki 8- a 5stránkové reakce na květnové a zářijové verze zprávy Scholzeho a Jakoba Stixe, přičemž tvrdil, že rozdíl je výsledkem jejich zjednodušení a že v jeho teorii není mezera.[13][14]

Komentáře v roce 2017 a diskuse v roce 2018 byly popsány v článku v Časopis Quanta v září 2018.[8]

Matematický význam

Rozsah teorie

Interuniverzální Teichmüllerova teorie navazuje na Mochizukiho předchozí práci v aritmetické geometrii. Tato práce, která byla peer-reviewed a dobře přijatá matematickou komunitou, zahrnuje hlavní příspěvky anabelian geometrie a vývoj Teichmüllerova teorie p-adic, Teorie Hodge-Arakelov a Frobenioid Kategorie. Byl vyvinut s výslovnými odkazy na cíl získat hlubší pochopení abc a souvisejících domněnek. V geometrickém prostředí se v důkazu objevují analogie určitých myšlenek IUT Bogomolov geometrické Szpiro nerovnosti.[15]

Klíčovým předpokladem pro IUT je Mochizukiho monoanabeliánská geometrie a její výkonné výsledky rekonstrukce, které umožňují získat různé teoreticko-schématické objekty spojené s hyperbolickou křivkou v řadě polí ze znalostí jeho základní skupiny nebo určitých Galoisových skupin. IUT aplikuje algoritmické výsledky monoanabeliánské geometrie k rekonstrukci příslušných schémat po aplikaci aritmetických deformací na ně; klíčovou roli hrají tři rigidity stanovené v Mochizukiho teorii etale theta. Zhruba řečeno, aritmetické deformace mění násobení daného prstence a úkolem je měřit, jak moc se sčítání změnilo.[16] Infrastruktura pro deformační postupy je dekódována určitými vazbami mezi tzv. Hodgeovými divadly, jako jsou theta-link a log-link.[17]

Tato divadla Hodge používají dvě hlavní symetrie IUT: multiplikativní aritmetiku a aditivní geometrii. Na jedné straně divadla Hodge zobecňují takové klasické objekty v teorii čísel jako adeles a ideles ve vztahu k jejich globálním prvkům. Na druhou stranu zobecňují určité struktury, které se objevují v předchozí Hodge-Arakelovově teorii Mochizuki. Vazby mezi divadly nejsou kompatibilní s kruhovými nebo schématickými strukturami a jsou prováděny mimo konvenční aritmetickou geometrii. Jsou však kompatibilní s určitými skupinovými strukturami a absolutní Galoisovy skupiny i určité typy topologických skupin hrají v IUT zásadní roli. Z úvah o multiradialitě, zobecnění funktoriality, vyplývá, že je třeba zavést tři mírné neurčitosti.[17]

Důsledky v teorii čísel

Hlavní nárokovanou aplikací IUT jsou různé dohady v teorii čísel, mezi nimi abc, ale také geometrickější dohady, jako jeSzpirova domněnka na eliptických křivkách a Vojtova domněnka pro křivky.

Prvním krokem je překlad aritmetických informací o těchto objektech[je třeba další vysvětlení ] k nastavení kategorií Frobenioidů. Tvrdí se, že zvláštní struktura na této straně umožňuje odvodit výroky, které se převádějí zpět do nárokovaných výsledků.[18]

Jedním z problémů s Mochizukiho argumenty, který uznává, je, že se nezdá možné získat průběžné výsledky v jeho důkazu abc pomocí IUT. Jinými slovy, neexistuje žádná menší podmnožina jeho argumentů, která by byla snadněji přístupná analýze externích odborníků, která by přinesla nový výsledek v Diophantinových geometriích.[18]

Vesselin Dimitrov vytáhl z Mochizukiho argumentů důkaz kvantitativního výsledku na abc, který by v zásadě mohl vyvrátit důkaz.[19]

Reference

  1. ^ Mochizuki, Shinichi (2012a), Interuniverzální Teichmullerova teorie I: Konstrukce divadel Hodge (PDF)
    Mochizuki, Shinichi (2012b), Interuniverzální Teichmullerova teorie II: Hodge – Arakelov-teoretické hodnocení (PDF)
    Mochizuki, Shinichi (2012c), Interuniverzální Teichmullerova teorie III: Kanonické dělení Log-theta-mřížky (PDF)
    Mochizuki, Shinichi (2012d), Interuniverzální Teichmullerova teorie IV: Výpočty log-volume a Set-teoretické základy (PDF), archivovány z originál (PDF) dne 2016-12-28, vyvoláno 2012-09-09
  2. ^ Ball, Peter (10. září 2012). „Důkaz požadován pro hluboké spojení mezi prvočísly“. Příroda. doi:10.1038 / příroda.2012.11378. Citováno 19. března 2018.
  3. ^ Paradox důkazu Autor: Caroline Chen, přístup 11. května 2013
  4. ^ Budoucí a minulé workshopy o teorii IUT Shinichi Mochizukiho
  5. ^ „Oxford Workshop on the IUT Theory of Shinichi Mochizuki, 7. - 11. prosince 2015“. University of Nottingham. Citováno 2018-03-19.
  6. ^ „Mezivšeobecný summit Teichmüllerovy teorie 2016 (workshop RIMS, 18. – 27. Července 2016)“. University of Nottingham. Citováno 2018-03-19.
  7. ^ Revell, Timothy (18. prosince 2017). „Matematik se pustil do publikování důkazu ABC, kterému téměř nikdo nerozumí“. Nový vědec. Citováno 14. dubna 2018.
  8. ^ A b C Klarreich, Erica (20. září 2018). „Titáni matematiky se střetávají s epickým důkazem domněnky ABC“. Časopis Quanta.
  9. ^ „ABC domněnka stále nebyla prokázána.“. 17. prosince 2017. Citováno 17. března 2018. Pro každého z těchto lidí byl důkazem, který je zasáhl, [Corollary] 3.12 v IUT3. Bylo zarážející dostat tři nezávislé nevyžádané e-maily během několika dní, které se všechny vynulovaly na stejný důkaz jako zmatek.
  10. ^ Mochizuki, Shinichi. „Diskuse o březnu 2018 o IUTeich“. Citováno 2. října 2018. Web Mochizukiho, který popisuje diskuse a spojuje následné publikace (následující odkazy), příspěvky od Ivan Fesenko a video od Fumiharu Kato z Tokijský technologický institut
  11. ^ Scholze, Peter; Stix, Jakob. „Proč je abc stále domněnkou“ (PDF). Citováno 23. září 2018. (aktualizovaná verze jejich May report )
  12. ^ Mochizuki, Shinichi. „Zpráva o diskusích, konaná v období od 15. do 20. března 2018, o teorii Interich Universal Teichmüller“ (PDF). Citováno 2. října 2018. ... diskuse ... představují první podrobnou, ... věcnou diskusi o negativních pozicích ... IUTch.
  13. ^ Mochizuki, Shinichi. „Komentáře k rukopisu Scholze-Stixe týkající se Teorie mezichladných Teichmüllerových teorií“ (PDF). Citováno 2. října 2018.
  14. ^ Mochizuki, Shinichi. „Komentáře k rukopisu (verze 2018-08) Scholze-Stix týkající se teorie Inter-Universal Teichmüller“ (PDF). Citováno 2. října 2018. Většina komentářů od (jeho předchozí reakce) nebyly osloveny v (jejich září aktualizace) a proto… zůstávají v platnosti Doplněk k jeho předchozí reakci
  15. ^ Mochizuki, Shinichi (2016), Bogomolovův důkaz geometrické verze Szpiroho domněnky z pohledu interuniverzální Teichmüllerovy teorie, Res. Matematika. Sci. 3 (2016), 3: 6
  16. ^ Fesenko, Ivan (2016), Fukugen, Inference: International Review of Science, 2016
  17. ^ A b Mochizuki, Shinichi (2016), Matematika vzájemně cizích kopií: od Gaussových integrálů po interuniverzální Teichmüllerovu teorii (PDF)
  18. ^ A b Conrad, Brian (15. prosince 2015). „Notes on the Oxford IUT workshop by Brian Conrad“. 3. Co je Interuniverzální Teichmullerova teorie (IUT)?. Citováno 18. března 2018.CS1 maint: umístění (odkaz)
  19. ^ Vesselin, Dimitrov (14. ledna 2016). „Efektivita práce Mochizukiho na hypotéze abc“. arXiv:1601.03572.

externí odkazy