Mason-Stothersova věta - Mason–Stothers theorem

The Mason-Stothersova větanebo jednoduše Masonova věta, je matematický teorém o polynomy, analogicky k abc dohad pro celá čísla. Je pojmenován po Walter Wilson Stothers, který jej publikoval v roce 1981,^[1] a R. C. Mason, který ji znovu objevil krátce poté.^[2]

Věta říká:

Nechat

A (t)

,

b (t)

, a

C (t)

být relativně primitivní polynomy přes takové pole

A + b = C

a takové, že ne všechny mají mizející derivát. Pak

{ displaystyle max { deg (a), deg (b), deg (c) } leq deg ( operatorname {rad} (abc)) - 1.}

Tady $rad (F)$ je produktem různých neredukovatelných faktorů $F$ . Pro algebraicky uzavřená pole je to polynom minimálního stupně, který má stejný kořeny tak jako $F$ ; v tomto případě $deg (rad (F))$ udává počet odlišných kořenů $F$ .^[3]

Příklady

Přes pole charakteristiky 0 podmínka, že $A$ , $b$ , a $C$ ne všechny mají mizející derivaci ekvivalentní podmínce, že nejsou všechny konstantní. Přes pole charakteristik $p > 0$ nestačí předpokládat, že nejsou všechny konstantní. Například identita $t p + 1 = (t + 1) p$ uvádí příklad, kdy maximální stupeň tří polynomů ( $A$ a $b$ jako sčítání na levé straně a $C$ jako pravá strana) $p$ , ale míra radikálu je pouze $2$ .
Brát $A (t) = t n$ a $C (t) = (t +1) n$ uvádí příklad, kde rovnost platí v teorému Mason-Stothers, což ukazuje, že nerovnost je v určitém smyslu nejlepší možná.
Důsledek věty Mason-Stothers je analogií Fermatova poslední věta pro funkční pole: pokud $A (t) n + b (t) n = C (t) n$ pro $A$ , $b$ , $C$ relativně prvočíselné polynomy nad polem charakteristické nedělení $n$ a $n > 2$ pak buď alespoň jeden z $A$ , $b$ nebo $C$ je 0 nebo jsou všechny konstantní.

Důkaz

Snyder (2000) poskytl následující základní důkaz věty Mason-Stothers.^[4]

Krok 1. Podmínka $A + b + C = 0$ znamená, že Wronskians $Ž (A, b) = ab' - A' b$ , $Ž (b, C)$ , a $Ž (C, A)$ jsou si všichni rovni. Psát si $Ž$ pro jejich společnou hodnotu.

Krok 2. Podmínka, že alespoň jeden z derivátů $A'$ , $b'$ nebo $C'$ je nenulová a to $A$ , $b$ , a $C$ are coprime se používá k prokázání toho $Ž$ je nenulová. Například pokud $Ž = 0$ pak $ab' = A' b$ tak $A$ rozděluje $A'$ (tak jako $A$ a $b$ jsou coprime) tak $A' = 0$ (tak jako $deg A > deg A'$ ledaže $A$ je konstantní).

Krok 3. $Ž$ je dělitelný každým z největších společných dělitelů $(A, A')$ , $(b, b')$ , a $(C, C')$ . Jelikož se jedná o coprime, je dělitelné podle jejich produktu a od té doby $Ž$ je nenulová, dostaneme

deg (A, A') + Deg (b, b') + Deg (C, C') \leq deg Ž .

Krok 4. Nahrazení nerovností

deg (A, A') \geq deg A

- (počet odlišných kořenů

A

)

deg (b, b') \geq deg b

- (počet odlišných kořenů

b

)

deg (C, C') \geq deg C

- (počet odlišných kořenů

C

)

(kde jsou kořeny brány v nějakém algebraickém uzávěru) a

deg Ž \leq deg A + deg b - 1

najdeme to

deg C \leq (počet odlišných kořenů abc) - 1

což jsme potřebovali dokázat.

Zobecnění

Existuje přirozené zobecnění, ve kterém je kruh polynomů nahrazen jednorozměrným funkční pole.Nechat $k$ být algebraicky uzavřené pole charakteristiky 0, let $C / k$ být hladká projektivní křivka z rod $G$ , nechť

{ displaystyle a, b v k (C)}

být racionální funkce na

C

uspokojující

{ displaystyle a + b = 1}

,

a nechte $S$ být soubor bodů v $C (k)$ obsahující všechny nuly a póly $A$ a $b$ .Pak

{ displaystyle max { bigl {} deg (a), deg (b) { bigr }} leq max { bigl {} | S | 2g-2,0 { bigr }}.}

Zde stupeň funkce v $k (C)$ je stupeň mapy, ze kterého indukuje $C$ na P¹To prokázal Mason a ve stejném roce vydal alternativní krátký důkaz J. H. Silverman.^[5]

Existuje další zevšeobecnění, a to nezávisle na J. F. Voloch^[6]a doW. D. Brownawell a D. W. Masser,^[7]který dává horní mez pro $n$ - proměnná $S$ -jednotkové vyjádření $A 1 + A 2 + ... + A n = 1$ za předpokladu, že žádná podskupina $A i$ jsou $k$ -lineárně závislé. Za tohoto předpokladu to dokazují

{ displaystyle max { bigl {} deg (a_ {1}), ldots, deg (a_ {n}) { bigr }} leq { frac {1} {2}} n (n-1) max { bigl {} | S | + 2g-2,0 { bigr }}.}

Reference

^ Stothers, W. W. (1981), „Polynomial identity and hauptmoduln“, Čtvrtletní J. Math. Oxford, 2, 32: 349–370, doi:10.1093 / qmath / 32.3.349.
^ Mason, R. C. (1984), Diophantine rovnice přes funkční pole, Série přednášek London Mathematical Society, 96, Cambridge, Anglie: Cambridge University Press.
^ Lang, Serge (2002). Algebra. New York, Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag. p. 194. ISBN 0-387-95385-X.
^ Snyder, Noah (2000), „Alternativní důkaz Masonovy věty“ (PDF), Elemente der Mathematik, 55 (3): 93–94, doi:10,1007 / s000170050074, PAN 1781918.
^ Silverman, J. H. (1984), "Rovnice S-jednotky nad funkčními poli", Proc. Camb. Philos. Soc., 95: 3–4
^ Voloch, J. F. (1985), „Diagonální rovnice nad funkčními poli“, Bol. Soc. Podprsenky. Rohož., 16: 29–39
^ Brownawell, W. D .; Masser, D. W. (1986), „Mizející částky ve funkčních polích“, Matematika. Proc. Cambridge Philos. Soc., 100: 427–434

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Masonova věta“. MathWorld.
Mason-Stothersova věta a domněnka ABC, Vishal Lama. Vyčištěná verze důkazu z Langovy knihy.

[1] Stothers, W. W. (1981), „Polynomial identity and hauptmoduln“, Čtvrtletní J. Math. Oxford, 2, 32: 349–370, doi:10.1093 / qmath / 32.3.349.

[2] Mason, R. C. (1984), Diophantine rovnice přes funkční pole, Série přednášek London Mathematical Society, 96, Cambridge, Anglie: Cambridge University Press.

[3] Lang, Serge (2002). Algebra. New York, Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag. p. 194. ISBN 0-387-95385-X.

[4] Snyder, Noah (2000), „Alternativní důkaz Masonovy věty“ (PDF), Elemente der Mathematik, 55 (3): 93–94, doi:10,1007 / s000170050074, PAN 1781918.

[5] Silverman, J. H. (1984), "Rovnice S-jednotky nad funkčními poli", Proc. Camb. Philos. Soc., 95: 3–4

[6] Voloch, J. F. (1985), „Diagonální rovnice nad funkčními poli“, Bol. Soc. Podprsenky. Rohož., 16: 29–39

[7] Brownawell, W. D .; Masser, D. W. (1986), „Mizející částky ve funkčních polích“, Matematika. Proc. Cambridge Philos. Soc., 100: 427–434

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]