Brocardsův problém - Brocards problem - Wikipedia

Nevyřešený problém v matematice: Ano ${ displaystyle n! + 1 = m ^ {2}}$ mít celočíselná řešení jiná než ${ displaystyle n = 4,5,7}$? (více nevyřešených úloh z matematiky)

Brocardův problém je problém v matematika který žádá o nalezení celé číslo hodnoty n a m pro který

${ displaystyle n! + 1 = m ^ {2},}$

kde n! je faktoriál. Bylo to představováno Henri Brocard v několika článcích v roce 1876 a 1885 a samostatně v roce 1913 autorem Srinivasa Ramanujan.

Hnědá čísla

Dvojice čísel (n, m), které řeší Brocardův problém, se nazývají Hnědá čísla. Od roku 2019 existují pouze tři známé páry hnědých čísel:

(4,5), (5,11) a (7,71).

Paul Erdős domníval se, že žádná jiná řešení neexistují. Overholt (1993) ukázaly, že existuje pouze konečně mnoho řešení za předpokladu, že domněnka abc je pravda. Berndt & Galway (2000) provedl výpočty pro n nad 10⁹ a nenašla žádná další řešení. Matson (2017) rozšířil toto o tři řády na jeden bilion. Epstein & Glickman (2020) nedávno to rozšířili o další tři řády na jeden kvadrillion.

Varianty problému

Dabrowski (1996) zobecnil výsledek Overholta tím, že ukázal, že bude následovat z domněnka abc že

${ displaystyle n! + A = k ^ {2}}$

má jen definitivně mnoho řešení pro dané celé číslo A. Tento výsledek dále zobecnil Luca (2002), který ukázal (opět za předpokladu domněnky abc), že rovnice

${ displaystyle n! = P (x)}$

má jen konečně mnoho celočíselných řešení pro dané polynomiální P(X) stupně alespoň 2 s celočíselnými koeficienty.

Reference

• Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), „Rovnice Brocard – Ramanujan diophantine n! + 1 = m²" (PDF), Deník Ramanujan, 4: 41–42, doi:10.1023 / A: 1009873805276.
• Brocard, H. (1876), „Otázka 166“, Nouv. Corres. Matematika., 2: 287.
• Brocard, H. (1885), „Otázka 1532“, Nouv. Ann. Matematika., 4: 391.
• Dabrowski, A. (1996), „O diofantické rovnici X! + A = y²", Nieuw Arch. Wisk., 14: 321–324.
• Epstein, Andrew; Glickman, Jacob (2020), C ++ Brocard GitHub Repository.
• Guy, R. K. (1994), „D25: Rovnice zahrnující faktoriál“, Nevyřešené problémy v teorii čísel (2. vyd.), New York: Springer-Verlag, s. 193–194, ISBN  0-387-90593-6.
• Luca, Florian (2002), „Diophantinová rovnice P(X) = n! a výsledek M. Overholta " (PDF), Glasnik Matematički, 37 (57): 269–273.
• Matson, Robert (2017), „Brocardovo problémové 4. řešení hledání využití kvadratických zbytků“ (PDF), Nevyřešené problémy v teorii čísel, logice a kryptografii.
• Overholt, Marius (1993), „Diophantinová rovnice n! + 1 = m²", Býk. London Math. Soc., 25 (2): 104, doi:10.1112 / blms / 25.2.104.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Brocardův problém“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Hnědá čísla". MathWorld.
• Copeland, ed. "Hnědá čísla". Numberphile. Brady Haran. Archivovány od originál dne 09.11.2014. Citováno 2013-04-06.