Modul a charakteristika konvexity - Modulus and characteristic of convexity
v matematika, modul konvexity a charakteristika konvexity jsou opatření „jak konvexní „ jednotková koule v Banachův prostor je. V určitém smyslu má modul konvexity stejný vztah k ε-δ definice jednotná konvexnost jako modul spojitosti dělá ε-δ definice kontinuita.
Definice
The modul konvexity Banachova prostoru (X, || · ||) je funkce δ : [0, 2] → [0, 1] definován
kde S označuje jednotkovou sféru (X, || ||). V definiciδ(ε), jeden může také převzít infimum nad všemi vektory X, y vX takhle ǁXǁ, ǁyǁ ≤ 1 a ǁX − yǁ ≥ ε.[1]
The charakteristika konvexity prostoru (X, || ||) je číslo ε0 definován
Tyto pojmy jsou implicitně obsaženy v obecném studiu jednotné konvexity J. A. Clarksona (Clarkson (1936); toto je stejný dokument obsahující prohlášení z Clarksonovy nerovnosti ). Termín „modul konvexity“ se zdá být způsoben M. M. Dayem.[2]
Vlastnosti
- Modul konvexity, δ(ε), je neklesající funkce εa kvocient δ(ε) / ε také neklesá(0, 2].[3] Samotný modul konvexity nemusí být a konvexní funkce zε.[4] Modul konvexity je však ekvivalentní konvexní funkci v následujícím smyslu:[5] existuje konvexní funkce δ1(ε) takové, že
- Normovaný prostor (X, ǁ ⋅ ǁ) je rovnoměrně konvexní kdyby a jen kdyby jeho charakteristika konvexity ε0 je rovno 0, tj., právě když δ(ε) > 0 pro každéhoε > 0.
- Banachův prostor (X, ǁ ⋅ ǁ) je přísně konvexní prostor (tj. hranice jednotkové koule B neobsahuje žádné úsečky) právě tehdy δ(2) = 1, tj., kdyby jen antipodální body (formuláře X a y = −X) jednotkové koule může mít vzdálenost rovnou 2.
- Když X je rovnoměrně konvexní, připouští ekvivalentní normu s modulem konvexity typu výkonu.[6] Jmenovitě existuje q ≥ 2 a konstantaC > 0 takhle
Modul konvexity mezery
Modul konvexity je známý pro L ^ p prostory.[7] Li , pak splňuje následující implicitní rovnici:
To vím dá se to předpokládat . Nahrazením to do výše, a rozšířením na levé straně jako Taylor série kolem , lze vypočítat koeficienty:
Pro , jeden má explicitní výraz
Proto, .
Viz také
Poznámky
- ^ p. 60 palců Lindenstrauss & Tzafriri (1979).
- ^ Day, Mahlon (1944), „Jednotná konvexnost ve faktorových a konjugovaných prostorech“, Ann. matematiky., 2, Annals of Mathematics, 45 (2): 375–385, doi:10.2307/1969275, JSTOR 1969275
- ^ Lemma 1.e.8, str. 66 palců Lindenstrauss & Tzafriri (1979).
- ^ viz Poznámky, str. 67 palců Lindenstrauss & Tzafriri (1979).
- ^ viz návrh 1.e.6, str. 65 a Lemma 1.e.7, 1.e.8, str. 66 palců Lindenstrauss & Tzafriri (1979).
- ^ vidět Pisier, Gilles (1975), „Martingales with values in uniformly convex spaces“, Israel J. Math., 20 (3–4): 326–350, doi:10.1007 / BF02760337, PAN 0394135.
- ^ Hanner, Olof (1955), „O jednotné konvexnosti a ", Archiv pro Mathematik, 3: 239–244, doi:10.1007 / BF02589410
Reference
- Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Úvod do Banachových prostorů a jejich geometrie (Druhé přepracované vydání). Severní Holandsko. ISBN 0-444-86416-4. PAN 0889253.
- Clarkson, James (1936), „Rovnoměrně konvexní mezery“, Trans. Amer. Matematika. Soc.Americká matematická společnost, 40 (3): 396–414, doi:10.2307/1989630, JSTOR 1989630
- Fuster, Enrique Llorens. Některé moduly a konstanty týkající se metrické teorie pevných bodů. Příručka metrické teorie pevných bodů133-175, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2001. PAN1904276
- Lindenstrauss, Joram a Benyamini, Yoav. Geometrická nelineární funkční analýza Publikace kolokvia, 48. Americká matematická společnost.
- Lindenstrauss, Joram; Tzafriri, Lior (1979), Klasické Banachovy prostory. II. Funkční prostory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech], 97, Berlín-New York: Springer-Verlag, str. X + 243, ISBN 3-540-08888-1.
- Vitali D. Milman. Geometrická teorie Banachových prostorů II. Geometrie jednotkové koule. Uspechi Mat. Nauk, sv. 26, č. 6, 73-149, 1971; Ruská matematika. Průzkumy, v. 26 6, 80-159.