Per Enflo - Per Enflo
Per Enflo | |
---|---|
![]() | |
narozený | |
Alma mater | Stockholmská univerzita |
Známý jako | Problém aproximace Schauderův základ Hilbertův pátý problém (nekonečně-dimenzionální) rovnoměrně konvexní renorms z superreflexní Banachovy prostory vkládání metrické prostory (neomezeně zkreslení z krychle ) „Koncentrace“ polynomů při nízkém stupni Neměnný problém podprostoru |
Ocenění | Mazur je "živá husa "pro řešení"Skotská kniha „Problém 153 |
Vědecká kariéra | |
Pole | Funkční analýza Teorie operátorů Teorie analytických čísel |
Instituce | University of California, Berkeley Stanfordská Univerzita École Polytechnique, Paříž The Královský technologický institut, Stockholm Kent State University |
Doktorský poradce | Hans Rådström |
Doktorandi | Angela Spalsbury Bruce Reznick |
Vlivy | Joram Lindenstrauss Laurent Schwartz |
Ovlivněno | Bernard Beauzamy |
Per H. Enflo (Švédský:[ˈPæːr ˈěːnfluː]; (narozený 20. května 1944) je švédský matematik působící zejména v funkční analýza, obor, ve kterém řešil problémy to bylo považováno za zásadní. Tři z těchto problémů byly otevřeno na více než čtyřicet let:[1]
- The základní problém a problém aproximace[2] a později
- the invariantní podprostorový problém pro Banachovy prostory.[3]
Při řešení těchto problémů vyvinula společnost Enflo nové techniky, které poté použily další výzkumní pracovníci v funkční analýza a teorie operátorů po celá léta. Některé z výzkumů Enflo byly důležité i v jiných matematických oborech, jako je např teorie čísel a v počítačová věda, zvláště počítačová algebra a aproximační algoritmy.
Enflo pracuje v Kent State University, kde je držitelem titulu univerzitního profesora. Enflo již dříve zastával pozice u Millerův institut pro základní výzkum ve vědě na University of California, Berkeley, Stanfordská Univerzita, École Polytechnique, (Paříž ) a Královský technologický institut, Stockholm.
Enflo je také a koncertní pianista.
Příspěvky Enflo k funkční analýze a teorii operátorů
v matematika, Funkční analýza se zabývá studiem vektorové prostory a operátory jednat podle nich. Má své historické kořeny ve studiu funkční prostory, zejména transformace funkce, tak jako Fourierova transformace, stejně jako při studiu rozdíl a integrální rovnice. Ve funkční analýze důležitou třídu vektorových prostorů tvoří kompletní normované vektorové prostory přes nemovitý nebo komplex čísla, která jsou volána Banachovy prostory. Důležitým příkladem Banachova prostoru je a Hilbertův prostor, Kde norma vychází z vnitřní produkt. Hilbertovy prostory mají zásadní význam v mnoha oblastech, včetně matematické formulace kvantová mechanika, stochastické procesy, a analýza časových řad. Kromě studia prostoru funkcí studuje funkční analýza také kontinuální lineární operátory na prostorech funkcí.
Hilbertův pátý problém a vložení
Na Stockholmské univerzitě navrhl Hans Rådström, aby to zvážila Enflo Hilbertův pátý problém v duchu funkční analýzy.[4] Za dva roky 1969–1970 publikoval Enflo pět prací o Hilbertově pátém problému; tyto práce jsou shromážděny v Enflo (1970), spolu s krátkým shrnutím. Některé z výsledků těchto článků jsou popsány v Enflo (1976) a v poslední kapitole Benyamini a Lindenstrauss.
Aplikace v informatice
Techniky Enflo našly uplatnění v počítačová věda. Algoritmičtí teoretici odvodit aproximační algoritmy které vkládají konečné metrické prostory do nízkodimenzionálních Euklidovské prostory s nízkým "zkreslením" (v Gromov terminologie pro Lipschitz kategorie; srov. Vzdálenost Banach – Mazur ). Nízkodimenzionální problémy mají nižší výpočetní složitost, samozřejmě. Ještě důležitější je, pokud se problémy dobře projeví buď v Euklidovské letadlo nebo trojrozměrný Euklidovský prostor, pak geometrické algoritmy stát se výjimečně rychlý.
Avšak takové vkládání techniky mají omezení, jak ukazuje věta Enflo (1969):[5]
- Pro každého , Hammingova kostka nelze vložit s "zkreslením" „(nebo méně) do -dimenzionální euklidovský prostor, pokud . Optimálním zapuštěním je tedy přirozené zapuštění, které se realizuje jako podprostor -rozměrný euklidovský prostor.[6]
Tato věta, „nalezená Enflem [1969], je pravděpodobně prvním výsledkem ukazujícím neomezené zkreslení pro vložení do Euklidovské prostory. Enflo považoval za problém jednotný vložitelnost mezi Banachovy prostory a zkreslení bylo v jeho důkazu pomocným zařízením. “[7]
Geometrie Banachových prostorů
A rovnoměrně konvexní prostor je Banachův prostor tak, že pro každého tam jsou nějaké takže pro libovolné dva vektory s a
to naznačuje
Intuitivně střed úsečky uvnitř jednotková koule musí ležet hluboko uvnitř jednotkové koule, pokud není segment krátký.
V roce 1972 Enflo dokázal, že „každý super reflexivní Banachův prostor připouští ekvivalent rovnoměrně konvexní norma".[8][9]
Základní problém a Mazurova husa
S jedním příspěvkem, který byl publikován v roce 1973, Per Enflo vyřešil tři problémy, které přetrvávaly funkční analytiky po celá desetiletí: základní problém z Stefan Banach „Husí problém „z Stanislaw Mazur a problém aproximace z Alexander Grothendieck. Grothendieck ukázal, že jeho problém s aproximací byl ústředním problémem v teorie z Banachovy prostory a spojité lineární operátory.
Základní problém Banacha
Základní problém položil Stefan Banach ve své knize, Teorie lineárních operátorů. Banach se zeptal, zda je každý oddělitelný Banachův prostor má Schauderův základ.
A Schauderův základ nebo spočetný základ je podobný obvyklému (Hamel) základ a vektorový prostor; rozdíl je v tom, že pro základny Hamel, které používáme lineární kombinace to jsou konečný částky, zatímco u základů Schauder mohou být nekonečný částky. Díky tomu jsou Schauderovy základy vhodnější pro analýzu nekonečně rozměrných topologické vektorové prostory počítaje v to Banachovy prostory.
Schauderovy báze popsal Juliusz Schauder v roce 1927.[10][11] Nechat PROTI označit a Banachův prostor přes pole F. A Schauderův základ je sekvence (bn) prvků z PROTI tak, že pro každý prvek proti ∈ PROTI existuje a unikátní sekvence (αn) prvků v F aby
Kde konvergence je chápán s ohledem na norma topologie. Schauderovy báze lze také obecně definovat analogicky topologický vektorový prostor.
Problém 153 ve skotské knize: Mazurova husa

Banach a další polští matematici by pracovali na matematických problémech na Skotská kavárna. Když byl problém obzvláště zajímavý a jeho řešení se zdálo obtížné, zapíše se do knihy problémů, která se brzy stala známou jako Skotská kniha. U problémů, které se zdály obzvláště důležité nebo obtížné nebo obojí, by se navrhovatel problému často zavázal udělit cenu za jeho řešení.
Dne 6. listopadu 1936, Stanislaw Mazur představuje problém při reprezentaci spojitých funkcí. Formálně odepsat problém 153 v Skotská kniha, Mazur slíbil jako odměnu „živou husu“, což je během roku obzvláště bohatá cena Velká deprese a v předvečer druhá světová válka.
Poměrně brzy poté bylo zjištěno, že Mazurův problém úzce souvisí s Banachovým problémem ohledně existence Schauderových základen v oddělitelných Banachových prostorech. Většina ostatních problémů v Skotská kniha byly pravidelně řešeny. Nicméně došlo k malému pokroku v Mazurově problému a několika dalších problémech, které se proslavily otevřené problémy matematikům z celého světa.[12]
Grothendieckova formulace problému aproximace
Grothendieckova práce na teorie Banachových prostor a spojité lineární operátory představil aproximační vlastnost. A Banachův prostor se říká, že má aproximační vlastnost, pokud každý kompaktní operátor je limit operátory s konečnou hodností. Opak je vždy pravdivý.[13]
V dlouhé monografii Grothendieck dokázal, že pokud by měl každý Banachův prostor aproximační vlastnost, měl by každý Banachův prostor Schauderův základ. Grothendieck tak zaměřil pozornost funkčních analytiků na rozhodnutí, zda má každý Banachův prostor aproximační vlastnost.[13]
Řešení Enflo
V roce 1972 zkonstruoval Per Enflo oddělitelný Banachův prostor, který postrádá aproximační vlastnost a Schauderův základ.[14] V roce 1972 získal Mazur a živá husa do Enflo při slavnostním ceremoniálu v Centrum Stefana Banacha v Varšava; po celou dobu byl vysílán obřad „odměna husí“ Polsko.[15]
Invariantní problém podprostoru a polynomy
v funkční analýza, jedním z nejvýznamnějších problémů byl invariantní podprostorový problém, který vyžadoval vyhodnocení pravdivosti následujícího tvrzení:
- Vzhledem ke komplexu Banachův prostor H z dimenze > 1 a ohraničený lineární operátor T : H → H, pak H má netriviální Zavřeno T-invariantní podprostor, tj. existuje uzavřený lineární podprostor Ž z H který se liší od {0} a H takhle T(Ž) ⊆ Ž.
Pro Banachovy prostory, první příklad operátoru bez neměnného podprostoru zkonstruoval Enflo. (Pro Hilbertovy prostory, invariantní podprostorový problém Zůstává otevřeno.)
Enflo navrhlo řešení invariantního podprostorového problému v roce 1975, zveřejnění osnovy v roce 1976. Enflo předložil celý článek v roce 1981 a jeho složitost a délka odložily jeho vydání do roku 1987[16] Enfloův dlouhý „rukopis měl celosvětový oběh mezi matematiky“[17] a některé z jeho myšlenek byly popsány v publikacích kromě Enflo (1976).[18][19] Enfloova díla inspirovala podobnou konstrukci operátora bez neměnného podprostoru, například Beauzamy, který uznal Enflovy nápady.[16]
V 90. letech vyvinula společnost Enflo "konstruktivní" přístup k invariantní podprostorový problém na Hilbertově prostoru.[20]
Multiplikativní nerovnosti pro homogenní polynomy
Základní myšlenkou při stavbě Enflo bylo „koncentrace polynomů při nízkých stupních": Pro všechna kladná celá čísla a , tady existuje takové, že pro všechny homogenní polynomy a stupňů a (v proměnné)
kde označuje součet absolutních hodnot koeficientů . Enflo to dokázal nezávisí na počtu proměnných . Enflo původní důkaz byl zjednodušen o Montgomery.[21]
Tento výsledek byl zobecněn na jiné normy na vektorovém prostoru homogenní polynomy. Z těchto norem byla nejpoužívanější Norma Bombieri.
Norma Bombieri
The Norma Bombieri je definován z hlediska následujícího skalární součin:Pro všechny my máme
- -li
- Pro každého definujeme
kde používáme následující zápis: if , píšeme a a
Nejpozoruhodnější vlastností této normy je Bombieriho nerovnost:
Nechat být dva homogenní polynomy stupně a s proměnné, pak platí následující nerovnost:
Ve výše uvedeném prohlášení je Bombieriho nerovnost levou nerovností; nerovnost na pravé straně znamená, že Norma Bombieri je norma z algebra polynomů při násobení.
Bombieriho nerovnost znamená, že součin dvou polynomů nemůže být libovolně malý a tato dolní mez je v aplikacích jako polynomiální faktorizace (nebo v konstrukci Enflo operátora bez neměnného podprostoru).
Aplikace
Myšlenka Enflo „koncentrace polynomů na nízkých stupních“ vedla k důležitým publikacím v teorie čísel[22] algebraický a diofantická geometrie,[23] a polynomiální faktorizace.[24]
Matematická biologie: Populační dynamika
v aplikovaná matematika, Per Enflo publikoval několik článků v matematická biologie, konkrétně v populační dynamika.
Lidská evoluce
Enflo také publikoval v populační genetika a paleoantropologie.[25]
Dnes všichni lidé patří do jedné populace Homo sapiens sapiens, která se liší druhovou bariérou. Podle modelu „Mimo Afriku“ však nejde o první druh hominidů: první druh rodu Homo, Homo habilis, se ve východní Africe vyvinuly nejméně 2 Ma a členové tohoto druhu osídlili v relativně krátké době různé části Afriky. Homo erectus se vyvinuly více než 1,8 Ma a o 1,5 Ma se rozšířily po celé Evropě Starý svět.
Antropologové byli rozděleni ohledně toho, zda se současná lidská populace vyvinula jako jedna vzájemně propojená populace (jak předpokládá Multiregionální evoluce hypotéza), nebo se vyvinula pouze ve východní Africe, speciální a poté migrovali z Afriky a nahradili lidské populace v Eurasie (nazývaný model „mimo Afriku“ nebo „model s úplnou výměnou“).
Neandertálci a moderní lidé koexistovali v Evropě několik tisíc let, ale trvání tohoto období je nejisté.[26] Moderní lidé možná poprvé migrovali do Evropy před 40–43 000 lety.[27] Neandertálci mohli žít až před 24 000 lety v refugia na jižním pobřeží Pyrenejského poloostrova jako např Gorhamova jeskyně.[28][29] Bylo navrženo inter-stratifikace neandertálských a moderních lidských ostatků,[30] ale je sporný.[31]
S Jestřábi a Wolpoff „Enflo zveřejnila vysvětlení fosilních důkazů na internetu DNA z neandrtálec a moderní lidé. Tento článek se pokouší vyřešit debatu v EU vývoj moderních lidí mezi teoriemi naznačujícími buď multiregionální a svobodný Afričan původ. Zejména zánik neandertálců se mohlo stát kvůli vlnám moderních lidí, kteří vstoupili do Evropy - z technického hlediska kvůli „neustálému přílivu moderní lidské DNA do neandertálského genofondu“.[32][33][34]
Enflo také psal o populační dynamice zebra slávky v Lake Erie.[35]

Klavír
Per Enflo je také a koncertní pianista.
A malý génius v hudbě i matematice zvítězil Enflo ve švédské soutěži mladých klavíristů ve věku 11 let v roce 1956 a stejnou soutěž vyhrál v roce 1961.[37] Ve věku 12 let se Enflo objevil jako sólista ve Švédském orchestru královské opery. Debutoval v Stockholmská koncertní síň v roce 1963. Mezi učitele Enflo patřil Bruno Seidlhofer, Géza Anda a Gottfried Boon (který sám byl studentem Arthura Schnabela).[36]
V roce 1999 Enflo soutěžil v prvním ročníku Van Cliburn Foundation je Mezinárodní klavírní soutěž pro Vynikající amatéři.[38]
Enflo pravidelně vystupuje Kent a v Mozart série v Columbus, Ohio (s Triune Festival Orchestra). Jeho sólové klavírní recitály se objevily v rozhlasové stanici Classics Network WOSU, kterou sponzoruje Ohio State University.[36]
Reference
Poznámky
- ^ Stránka 586 v Halmosu 1990.
- ^ Per Enflo: Protiklad problému aproximace v Banachových prostorech. Acta Mathematica sv. 130, č. 1, Juli 1973
- ^ *Enflo, Per (1976). Msgstr "K problému invariantního podprostoru v Banachových prostorech". Séminaire Maurey - Schwartz (1975-1976) Espaces Lp, aplikace radonifiantes et géométrie des espaces de Banach, Exp. Č. 14-15. Center Math., École Polytech., Palaiseau. p. 7. PAN 0473871.
- Enflo, Per (1987). „K problému invariantního podprostoru pro Banachovy prostory“. Acta Mathematica. 158 (3): 213–313. doi:10.1007 / BF02392260. ISSN 0001-5962. PAN 0892591.
- ^ Rådström nechal publikovat několik článků o Hilbertův pátý problém z pohledu poloskupina theory.Rådström byl také (počátečním) poradcem Martina Ribeho, který napsal práci o metrických lineárních prostorech, které nemusí být lokálně konvexní; Ribe také použil několik nápadů Enflo metrická geometrie, zejména "kulatost", při získávání nezávislých výsledků na jednotný a Lipschitz vložení (Benyamini a Lindenstrauss). Tento odkaz také popisuje výsledky Enfla a jeho studentů o takových vloženích.
- ^ Věta 15.4.1 v Matouškovi.
- ^ Matoušek 370.
- ^ Matoušek 372.
- ^ Beauzamy 1985, strana 298.
- ^ Pisier.
- ^ Schauder J (1927). „Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen“ (PDF). Mathematische Zeitschrift. 26: 47–65. doi:10.1007 / BF01475440. hdl:10338.dmlcz / 104881.
- ^ Schauder J (1928). „Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems“. Mathematische Zeitschrift. 28: 317–320. doi:10.1007 / BF01181164.
- ^ Mauldin
- ^ A b Joram Lindenstrauss a L. Tzafriri.
- ^ „Senzací“ Enflo se zabývá strana 287 v Pietsch, Albrecht (2007). Historie Banachových prostorů a lineárních operátorů. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. str. Xxiv + 855 str. ISBN 978-0-8176-4367-6. PAN 2300779. Úvod k řešení Enflo napsali Halmos, Johnson, Kwapień, Lindenstrauss a Tzafriri, Nedevski a Trojanski a Singer.
- ^ Kałuża, Saxe, Eggleton, Mauldin.
- ^ A b Beauzamy 1988; Yadav.
- ^ Yadav, strana 292.
- ^ Například Radjavi a Rosenthal (1982).
- ^ Heydar Radjavi a Peter Rosenthal (březen 1982). „Problém neměnného podprostoru“. Matematický zpravodaj. 4 (1): 33–37. doi:10.1007 / BF03022994.
- ^ Stránka 401 v Foias, Ciprian; Jung, Il Bong; Ko, Eungil; Pearcy, Carl (2005). „Na kvazinilentní operátory. III“. Časopis teorie operátorů. 54 (2): 401–414.. Metodu Enflo („vpřed“) „minimálních vektorů“ zaznamenala také recenze tohoto výzkumného článku Gillese Cassiera v Matematické recenze: PAN2186363 Metoda minimálního vektoru Enflo je podrobněji popsána v článku průzkumu na webu invariantní podprostorový problém od Enflo a Victor Lomonosov, který se objeví v Příručka geometrie Banachových prostorů (2001).
- ^ Schmidt, strana 257.
- ^ Montgomery. Schmidt. Beauzamy a Enflo. Beauzamy, Bombieri, Enflo a Montgomery
- ^ Bombieri a Gubler
- ^ Knuth. Beauzamy, Enflo a Wang.
- ^ Model evoluce genetiky lidské populace (vyvinutý Enflem a jeho spoluautoři) byl uveden na titulní stránce významných švédských novin.Jensfelt, Annika (14. ledna 2001). Svenska Dagbladet: 1. Chybějící nebo prázdný
| název =
(Pomoc) - ^ Mellars, P. (2006). „Nová radiokarbonová revoluce a šíření moderních lidí v Eurasii“. Příroda. 439 (7079): 931–935. Bibcode:2006 Natur.439..931M. doi:10.1038 / nature04521. PMID 16495989.
- ^ Banks, William E .; Francesco d'Errico; A. Townsend Peterson; Masa Kageyama; Adriana Sima; Maria-Fernanda Sánchez-Goñi (24. prosince 2008). Harpending, Henry (ed.). „Vyhynutí neandertálců konkurenčním vyloučením“. PLOS ONE. Veřejná knihovna vědy. 3 (12): e3972. Bibcode:2008PLoSO ... 3.3972B. doi:10.1371 / journal.pone.0003972. ISSN 1932-6203. PMC 2600607. PMID 19107186.
- ^ Rincon, Paul (13. září 2006). „Neandertálci“ poslední skalní útočiště'". BBC novinky. Citováno 2009-10-11.
- ^ Finlayson, C., FG Pacheco, J. Rodriguez-Vidal, DA Fa, JMG Lopez, AS Perez, G. Finlayson, E. Allue, JB Preysler, I. Caceres, JS Carrion, YF Jalvo, CP Gleed-Owen, FJJ Espejo, P. Lopez, JAL Saez, JAR Cantal, AS Marco, FG Guzman, K. Brown, N. Fuentes, CA Valarino, A. Villalpando, CB Stringer, FM Ruiz a T. Sakamoto. 2006. Pozdní přežití neandertálců v nejjižnějším extrému Evropy. Příroda pokročilá online publikace.
- ^ Gravina, B .; Mellars, P .; Ramsey, C. B. (2005). „Radiokarbonové datování interstratifikovaných neandertálských a raně novověkých lidských povolání na chatelperroniánském typu“. Příroda. 438 (7064): 51–56. Bibcode:2005 Natur.438 ... 51G. doi:10.1038 / nature04006. PMID 16136079.
- ^ Zilhão, João; Francesco d'Errico; Jean-Guillaume Bordes; Arnaud Lenoble; Jean-Pierre Texier; Jean-Philippe Rigaud (2006). „Analýza aurignaciánské interstratifikace na místě typu Châtelperronian a důsledky pro modernu chování neandertálců“. PNAS. 103 (33): 12643–12648. Bibcode:2006PNAS..10312643Z. doi:10.1073 / pnas.0605128103. PMC 1567932. PMID 16894152.
- ^ Stránka 665:
- Pääbo, Svante atd. „Genetické analýzy ze starověké DNA.“ Annu. Genet. 38, 645–679 (2004).
- ^ Jensfelt, Annika (14. ledna 2001). Svenska Dagbladet: 1. Chybějící nebo prázdný
| název =
(Pomoc) - ^ „„ Per Enflova teorie je mimořádně dobře promyšlená a má nejvyšší význam “... řekl americký antropolog Milford Wolpoff, profesor na University of Michigan. “(Strana 14 v Jensfelt, Annika (14. ledna 2001). „Ny brandfackla tänder debatten om manniskans ursprung (švédsky)“. Svenska Dagbladet: 14–15.)
- ^ Saxe
- ^ A b C * Chagrin Valley Chamber Music Concert Series 2009-2010 Archivováno 11. 11. 2012 v Wayback Machine.
- ^ Saxe.
- ^ Michael Kimmelman (8. srpna 1999). "Prodigy's Return". The New York Times Magazine. Oddíl 6, s. 30.
- "Vyhlášeni příjemci ceny Distinguished Scholar 2005 na Kent State University ", eInside, 4. 4. 2005. Citováno dne 4. února 2007.
Bibliografie
- Enflo, Per. (1970) Investigations on Hilbert's pátý problém pro non locally compact groups (Stockholm University). Diplomová práce Enflo obsahuje dotisky přesně pěti článků:
- Enflo, Per (1969a). "Topologické skupiny, ve kterých je násobení na jedné straně diferencovatelné nebo lineární". Matematika. Scand. 24: 195–197. doi:10,7146 / math.scand.a-10930.
- Per Enflo (1969). „O neexistenci jednotných homeomorfismů mezi Lp mezery ". Ark. Mat. 8 (2): 103–5. Bibcode:1970 ARM ..... 8..103E. doi:10.1007 / BF02589549.
- Enflo, Per (1969b). „Na problém Smirnova“. Ark. Matematika. 8 (2): 107–109. Bibcode:1970 ARM ..... 8..107E. doi:10.1007 / bf02589550.
- Enflo, Per (1970a). "Jednotné struktury a odmocniny v topologických skupinách Já". Israel J. Math. 8 (3): 230–252. doi:10.1007 / BF02771560.
- Enflo, Per (1970b). "Jednotné struktury a odmocniny v topologických skupinách II". Israel J. Math. 8 (3): 253–272. doi:10.1007 / BF02771561.
- Enflo, Per. 1976. Jednotné homeomorfismy mezi Banachovými prostory. Séminaire Maurey-Schwartz (1975-1976), Espaces, , aplikace radonifiantes et géométrie des espaces de Banach, Exp. No. 18, 7 pp. Center Math., École Polytech., Palaiseau. PAN0477709 (57 # 17222) [Highlights of papers on Hilbertův pátý problém a na nezávislých výsledcích Martina Ribe, dalšího studenta Hanse Rådströma]
- Enflo, Per (1972). "Banachovy prostory, kterým lze dát ekvivalentní jednotně konvexní normu". Israel Journal of Mathematics. 13 (3–4): 281–288. doi:10.1007 / BF02762802. PAN 0336297.
- Enflo, Per (1973). „Protiklad problému aproximace v Banachových prostorech“. Acta Mathematica. 130: 309–317. doi:10.1007 / BF02392270. PAN 0402468.
- Enflo, Per (1976). „K problému invariantního podprostoru v Banachových prostorech“ (PDF). Séminaire Maurey - Schwartz (1975-1976) Espaces Lp, aplikace radonifiantes et géométrie des espaces de Banach, Exp. Č. 14–15. Center Math., École Polytech., Palaiseau. s. 1–7. PAN 0473871.
- Enflo, Per (1987). „K problému invariantního podprostoru pro Banachovy prostory“. Acta Mathematica. 158 (3): 213–313. doi:10.1007 / BF02392260. ISSN 0001-5962. PAN 0892591.
- Beauzamy, Bernard; Bombieri, Enrico; Enflo, Per; Montgomery, Hugh L. (1990). "Produkty polynomů v mnoha proměnných". Žurnál teorie čísel. 36 (2): 219–245. doi:10.1016 / 0022-314X (90) 90075-3. hdl:2027.42/28840. PAN 1072467.
- Beauzamy, Bernard; Enflo, Per; Wang, Paul (říjen 1994). "Kvantitativní odhady pro polynomy v jedné nebo více proměnných: od analýzy a teorie čísel k symbolickému a masivně paralelnímu výpočtu". Matematický časopis. 67 (4): 243–257. JSTOR 2690843. (přístupné čtenářům s vysokoškolskou matematikou)
- P. Enflo, John D. Hawks, M. Wolpoff. „Jednoduchý důvod, proč neandertálský původ může být v souladu se současnými informacemi o DNA“. American Journal Physical Anthropology, 2001
- Enflo, Per; Lomonosov, Victor (2001). "Některé aspekty problému neměnného podprostoru". Příručka geometrie Banachových prostorů. Já. Amsterdam: Severní Holandsko. 533–559.
- Bartle, R. G. (1977). „Recenze Per Enflo„ Protiklad problému aproximace v Banachových prostorech “ Acta Mathematica 130 (1973), 309–317". Matematické recenze. 130: 309–317. doi:10.1007 / BF02392270. PAN 0402468.
- Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Úvod do Banachových prostorů a jejich geometrie (Druhé přepracované vydání). Severní Holandsko. ISBN 0-444-86416-4. PAN 0889253.
- Beauzamy, Bernard (1988). Úvod do teorie operátorů a neměnných podprostorů. Severní Holandsko. ISBN 0-444-70521-X. PAN 0967989.
- Enrico Bombieri a Walter Gubler (2006). Výšky v diofantické geometrii. Cambridge U. P. ISBN 0-521-84615-3.
- Roger B. Eggleton (1984). „Recenze Mauldinů Skotská kniha: Matematika ze skotské kavárny". Matematické recenze. PAN 0666400.
- Grothendieck, A.: Produkuje tensoriels topologiques et espaces nucleaires. Memo. Amer. Matematika. Soc. 16 (1955).
- Halmos, Paul R. (1978). "Schauderovy základny". Americký matematický měsíčník. 85 (4): 256–257. doi:10.2307/2321165. JSTOR 2321165. PAN 0488901.
- Paul R. Halmos „Zpomalil se pokrok v matematice?“ Amer. Matematika. Měsíční 97 (1990), č. 1. 7, 561—588. PAN1066321
- William B. Johnson "Doplňkově univerzální oddělitelné Banachovy prostory" v Robert G. Bartle (ed.), 1980 Studie funkční analýzy, Mathematical Association of America.
- Kałuża, Roman (1996). Ann Kostant a Wojbor Woyczyński (ed.). Očima reportéra: Život Stefana Banacha. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3772-9. PAN 1392949.
- Knuth, Donald E. (1997). "4.6.2 Faktorizace polynomů". Seminumerické algoritmy. Umění počítačového programování. 2 (Třetí vydání.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 439–461, 678–691. ISBN 0-201-89684-2.
- Kwapień, S. „Na Enflově příkladu Banachova prostoru bez vlastnosti přiblížení“. Séminaire Goulaouic-Schwartz 1972—1973: Équations aux dérivées partielles et analyze fonctionnelle, Exp. No. 8, 9 pp. Center de Math., École Polytech., Paříž, 1973. PAN407569
- Lindenstrauss, Joram a Benyamini, Yoav. Geometrická nelineární funkční analýza Publikace kolokvia, 48. Americká matematická společnost.
- Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L .: Klasické Banachovy prostory I, Sekvenční prostory, 1977. Springer-Verlag.
- Matoušek, Jiří (2002). Přednášky o diskrétní geometrii. Postgraduální texty z matematiky. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95373-1..
- R. Daniel Mauldin, vyd. (1981). Skotská kniha: Matematika ze skotské kavárny (Včetně vybraných příspěvků prezentovaných na Skotská kniha Konference konaná na North Texas State University, Denton, Tex., Květen 1979). Boston, Massachusetts: Birkhäuser. str. xiii + 268 str. (2 talíře). ISBN 3-7643-3045-7. PAN 0666400.
- Nedevski, P .; Trojanski, S. (1973). „P. Enflo vyřešil v negativním Banachově problému existenci základny pro každý oddělitelný Banachův prostor“. Fiz.-Mat. Spiš. Bulgar. Akad. Nauk. 16 (49): 134–138. PAN 0458132.
- Pietsch, Albrecht (2007). Historie Banachových prostorů a lineárních operátorů]. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. str. Xxiv + 855 str. ISBN 978-0-8176-4367-6. PAN 2300779.
- Pisier, Gilles (1975). "Martingales s hodnotami v rovnoměrně konvexních prostorech". Israel J. Math. 20 (3–4): 326–350. doi:10.1007 / BF02760337. PAN 0394135.
- Heydar Radjavi a Peter Rosenthal (březen 1982). „Problém neměnného podprostoru“. Matematický zpravodaj. 4 (1): 33–37. doi:10.1007 / BF03022994.
- Karen Saxe, Zahájení funkční analýzy, Pregraduální texty z matematiky 2002 Springer-Verlag, New York. (Stránky 122–123 načrtávají biografii Per Enflo.)
- Schmidt, Wolfgang M. (1980 [1996 s drobnými opravami]) Diophantine aproximace. Přednášky z matematiky 785. Springer.
- Zpěvák, Ivan. Základny v Banachových prostorech. II. Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bukurešť; Springer-Verlag, Berlín-New York, 1981. viii + 880 stranISBN 3-540-10394-5. PAN610799
- Yadav, B. S. (2005). "Současný stav a dědictví invariantního podprostorového problému". Milan Journal of Mathematics. 73: 289–316. doi:10.1007 / s00032-005-0048-7. ISSN 1424-9286. PAN 2175046.
Externí zdroje
- Životopis Per Enflo v Canisius College
- Domovská stránka Per Enflo v Kent State University
- Enflo, Per (25. dubna 2011). „Osobní poznámky, podle mých vlastních slov“. perenflo.com. Archivovány od originál dne 26. dubna 2012. Citováno 13. prosince 2011.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Databáze
- Per Enflo na Matematický genealogický projekt
- Google Scholar. „Per Enflo“. Citováno 2010-05-15.
- Matematické recenze. „Per Enflo“. Citováno 2010-05-14.