Vlastnost konečné křižovatky - Finite intersection property

v obecná topologie, pobočka matematika, neprázdná rodina A z podmnožiny a soubor X se říká, že má vlastnost konečné křižovatky (FIP), pokud průsečík přes jakoukoli konečnou podkolekce A je neprázdný. Má to silná vlastnost konečné křižovatky (SFIP), je-li průnik přes jakoukoli konečnou podkolekce A je nekonečný.

A soustřeďovaný systém množin je kolekce množin s vlastností konečné křižovatky.

Definice

Nechat ${ displaystyle X}$ být set a nechat ${ displaystyle { mathcal {A}} = {A_ {i} } _ {i v I}}$ být neprázdnou rodinou podmnožin ${ displaystyle X}$ indexováno libovolnou množinou ${ displaystyle I}$ . Sbírka ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ má vlastnost konečné křižovatky (FIP) má-li jakákoli konečná podkolekce dvou nebo více množin neprázdný průnik, tj. ${ displaystyle bigcap _ {i in J} A_ {i}}$ je neprázdná množina pro každou neprázdnou konečnou ${ displaystyle J subseteq I}$ .

Li ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je neprázdná rodina sad, jsou ekvivalentní následující:

${ displaystyle { mathcal {A}}}$ má vlastnost konečné křižovatky.
The $π$ -Systém generováno uživatelem ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ nemá prázdnou sadu jako prvek.
${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je základna filtru.
${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je podmnožinou některých předfiltr.
${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je podmnožina některých správných filtr.

Diskuse

Prázdná sada nemůže patřit do žádné kolekce s vlastností konečné křižovatky. Podmínka je triviálně splněna, pokud je průnik přes celou kolekci neprázdný (zejména pokud je samotná kolekce prázdná), a je také triviálně splněna, pokud je kolekce vnořená, což znamená, že kolekce je zcela objednané zahrnutím (ekvivalentně pro jakoukoli konečnou podkolekce je konkrétní prvek podkolekce obsažen ve všech ostatních prvcích podkolekce), např. the vnořená sekvence intervalů (0, 1/n). To však nejsou jediné možnosti. Například pokud X = (0, 1) a pro každé kladné celé číslo i, X_i je sada prvků X s desítkovou expanzí s číslicí 0 v idesáté místo, pak je konečná křižovatka neprázdná (stačí vzít 0 na těch konečně mnoha místech a 1 na zbytku), ale křižovatka všech X_i pro i ≥ 1 je prázdný, protože žádný prvek (0, 1) nemá všechny nulové číslice.

Vlastnost konečných průsečíků je užitečná při formulování alternativní definice kompaktnost:

prostor je kompaktní právě tehdy, když každá rodina uzavřených podmnožin majících vlastnost konečného průniku má neprázdný průnik.^[1]^[2]

Tato formulace kompaktnosti se používá v některých důkazech Tychonoffova věta a nepočítatelnost z reálná čísla (viz další část).

Aplikace

Teorém — Nechat X být neprázdný kompaktní Hausdorffův prostor , který splňuje vlastnost, kterou žádná jednobodová množina není otevřeno. Pak X je nespočet.

Důkaz

Ukážeme, že pokud U ⊆ X není prázdný a otevřený, a pokud X je bod X, pak existuje sousedství PROTI ⊂ U jehož uzavření neobsahuje X (X může nebo nemusí být v U). Vybrat y v U odlišný od X (li X je v U, pak musí existovat takový y jinak U by byla otevřená sada jednoho bodu; -li X není v U, to je možné od U není prázdné). Poté podle Hausdorffovy podmínky vyberte nesouvislá sousedství Ž a K. z X a y resp. Pak K. ∩ U bude sousedstvím města y obsaženo v U jehož uzávěr neobsahuje X podle přání.

Nyní předpokládejme F: N → X je bijekce, a nechť {X_i : i ∈ N} označují obraz z F. Nechat X být první otevřenou sadou a vybrat sousedství U₁ ⊂ X jehož uzavření neobsahuje X₁. Zadruhé, vyberte sousedství U₂ ⊂ U₁ jehož uzavření neobsahuje X₂. Pokračujte v tomto procesu výběrem sousedství U_n+1 ⊂ U_n jehož uzavření neobsahuje X_n+1. Pak kolekce {U_i : i ∈ N} splňuje vlastnost konečné křižovatky, a proto průnik jejich uzávěrů není prázdný kompaktností X. Proto je tu bod X v této křižovatce. Ne X_i může patřit do této křižovatky, protože X_i nepatří k uzavření U_i. Tohle znamená tamto X se nerovná X_i pro všechny i a F není surjektivní; rozpor. Proto, X je nepočítatelné.

Všechny podmínky ve větě jsou nezbytné:

1. Nemůžeme vyloučit Hausdorffův stav; spočetnou sadu (s nejméně dvěma body) s neurčitá topologie je kompaktní, má více než jeden bod a splňuje vlastnost, že žádné jednobodové sady nejsou otevřené, ale není nespočetné.

2. Nemůžeme vyloučit podmínku kompaktnosti jako množinu racionální čísla ukazuje.

3. Nemůžeme vyloučit podmínku, že jedna bodová množina nemůže být otevřená, jako jakýkoli konečný prostor s diskrétní topologie ukazuje.

Důsledek — Každý uzavřený interval [A, b] s A < b je nepočítatelné. Proto, R je nepočítatelné.

Důsledek — Každý perfektní, místně kompaktní Hausdorffův prostor je nespočetný.

Důkaz

Nechat X být dokonalým a kompaktním Hausdorffovým prostorem, pak to věta okamžitě naznačuje X je nepočítatelné. Li X je perfektní, místně kompaktní Hausdorffův prostor, který není kompaktní, pak jednobodové zhutnění z X je perfektní, kompaktní Hausdorffův prostor. Proto je jednobodové zhutnění X je nepočítatelné. Protože odebrání bodu z nespočetné množiny stále ponechává nespočetnou množinu, X je také nepočítatelné.

Příklady

Správně filtr na množině má vlastnost konečný průnik. A $π$ -Systém má vlastnost konečný průnik právě tehdy, když nemá prázdnou množinu jako prvek.

Věty

Nechat X být neprázdný, F ⊆ 2^X, F s vlastností konečné křižovatky. Pak existuje U ultrafiltr (ve 2^X) takové, že F ⊆ U.

Zobrazit podrobnosti a důkaz v Csirmaz & Hajnal (1994).^[3] Tento výsledek je znám jako ultrafiltrační lemma.

Varianty

Rodina sad A má silná vlastnost konečné křižovatky (SFIP), pokud každá konečná podrodina A má nekonečný průnik.

Reference

^ Munkres, James (2004). Topologie. New Dehli: Prentice-Hall of India. p. 169. ISBN 978-81-203-2046-8.
^ "Prostor je kompaktní, pokud některá rodina uzavřených množin s fip má neprázdný průnik". PlanetMath.
^ Csirmaz, László; Hajnal, András (1994), Matematikai logika (V maďarštině), Budapešť: Univerzita Eötvöse Loránda.

„Vlastnost konečné křižovatky“. PlanetMath.

[munkres-1] Munkres, James (2004). Topologie. New Dehli: Prentice-Hall of India. p. 169. ISBN 978-81-203-2046-8.

[2] "Prostor je kompaktní, pokud některá rodina uzavřených množin s fip má neprázdný průnik". PlanetMath.

[3] Csirmaz, László; Hajnal, András (1994), Matematikai logika (V maďarštině), Budapešť: Univerzita Eötvöse Loránda.

[1]

[2]

[3]