Věta o reprezentaci kamenů pro booleovské algebry - Stones representation theorem for Boolean algebras - Wikipedia

v matematika, Stoneova věta o reprezentaci pro booleovské algebry uvádí, že každý Booleova algebra je izomorfní do jisté míry pole množin. Věta je zásadní pro hlubší pochopení Booleova algebra která se objevila v první polovině 20. století. Věta byla poprvé prokázána Marshall H. Stone^[1]. Kámen k tomu vedlo studium studie spektrální teorie z operátory na Hilbertův prostor.

Kamenné prostory

Každý Booleova algebra B má přidružený topologický prostor, zde označený S(B), nazvaný jeho Kamenný prostor. Body v S(B) jsou ultrafiltry na B, nebo ekvivalentně homomorfismy z B do dvouprvková booleovská algebra. Topologie zapnuta S(B) je generován (uzavřeno) základ skládající se ze všech sad formuláře

{ displaystyle {x v S (B) střední b v x },}

kde b je prvek B. Toto je topologie bodové konvergence sítí homomorfismů do dvouprvkové booleovské algebry.

Pro každou booleovskou algebru B, S(B) je kompaktní úplně odpojen Hausdorffův prostor; takové prostory se nazývají Kamenné prostory (taky nekonečné prostory). Naopak vzhledem k jakémukoli topologickému prostoru X, sbírka podskupin X to jsou clopen (uzavřená i otevřená) je booleovská algebra.

Věta o reprezentaci

Jednoduchá verze Stoneova věta o reprezentaci uvádí, že každá booleovská algebra B je izomorfní s algebrou uzavřených podmnožin svého kamenného prostoru S(B). Izomorfismus vysílá prvek b∈B do sady všech ultrafiltrů, které obsahují b. Toto je sada clopen z důvodu volby zapnuté topologie S(B) a protože B je booleovská algebra.

Přepracování věty pomocí jazyka teorie kategorií; věta říká, že existuje a dualita mezi kategorie z Booleovy algebry a kategorie kamenných prostor. Tato dualita znamená, že kromě korespondence mezi booleovskými algebrami a jejich kamennými prostory, každý homomorfismus z booleovské algebry A k booleovské algebře B odpovídá přirozeným způsobem spojité funkci z S(B) až S(A). Jinými slovy, existuje kontravariantní funktor který dává rovnocennost mezi kategoriemi. Toto byl časný příklad netriviální duality kategorií.

Věta je zvláštní případ Kamenná dualita, obecnější rámec pro dualitu mezi topologické prostory a částečně objednané sady.

Důkaz vyžaduje buď axiom volby nebo jeho oslabená forma. Věta je konkrétně ekvivalentní s Booleova primární věta o ideálu, princip oslabené volby, který říká, že každá booleovská algebra má prvotřídní ideál.

Rozšíření klasické kamenné duality do kategorie booleovských prostorů (= nulové dimenzionální lokálně kompaktní Hausdorffovy prostory) a kontinuálních map (respektive dokonalých map) získal G. D. Dimov (respektive H. P. Doctor).^[2]^[3]

Viz také

Reference

^ Kámen, Marshall H. (1936). „Teorie zastoupení booleovských algeber“. Transakce Americké matematické společnosti. 40: 37–111.
^ Dimov, G. D. (2012). „Některá zevšeobecnění věty o kamenné dualitě“. Publ. Matematika. Debrecín. 80: 255–293.
^ Doktor, H. P. (1964). Msgstr "Kategorie booleovských mřížek, booleovských prstenů a booleovských mezer". Canad. Matematika. Bulletin. 7: 245–252.

Další reference

Paul Halmos a Givant, Steven (1998) Logika jako algebra. Dolciani Mathematical Expositions No. 21. Matematická asociace Ameriky.
Johnstone, Peter T. (1982) Kamenné prostory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5.
Burris, Stanley N. a H. P. Sankappanavar, H. P. (1981) Kurz univerzální algebry. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.

[1] Kámen, Marshall H. (1936). „Teorie zastoupení booleovských algeber“. Transakce Americké matematické společnosti. 40: 37–111.

[2] Dimov, G. D. (2012). „Některá zevšeobecnění věty o kamenné dualitě“. Publ. Matematika. Debrecín. 80: 255–293.

[3] Doktor, H. P. (1964). Msgstr "Kategorie booleovských mřížek, booleovských prstenů a booleovských mezer". Canad. Matematika. Bulletin. 7: 245–252.

[1]

[2]

[3]