Problém se zkreslením - Distortion problem

v funkční analýza, obor matematiky, problém se zkreslením je určit, kolik toho člověk může zkreslit jednotková koule v daném Banachův prostor pomocí ekvivalentní normy. Konkrétně Banachův prostor X se nazývá λ-deformovatelný, pokud existuje ekvivalentní norma |X| na X takové, že pro všechny nekonečně dimenzionální podprostory Y v X,

${ displaystyle sup _ {y_ {1}, y_ {2} v Y, | y_ {i} | = 1} { frac {| y_ {1} |} {| y_ {2} |} } geq lambda}$

(vidět zkreslení (matematika) ). Všimněte si, že každý Banachův prostor je triviálně 1-deformovatelný. Banachův prostor se nazývá deformovatelný, pokud je pro některé λ> 1 deformovatelný λ a nazývá se libovolně deformovatelný, pokud je pro libovolné λ deformovatelný λ. Distortabilita se poprvé objevila jako důležitá vlastnost Banachových prostor v 60. letech, kde ji studoval James (1964) a Milman (1971).

James to dokázal C₀ a ℓ¹ nejsou deformovatelné. Milman ukázal, že pokud X je Banachův prostor, který neobsahuje izomorfní kopii C₀ nebo ℓ^p pro některé 1 ≤ p < ∞ (vidět sekvenční prostor ), pak nějaký nekonečně dimenzionální podprostor X je deformovatelný. Takže problém se zkreslením je nyní primárně zajímavý pro prostory ℓ^p, z nichž všechny jsou oddělitelný a uniformní konvexní, pro 1 < p < ∞.

V oddělitelných a rovnoměrných konvexních prostorech lze snadno považovat deformovatelnost za ekvivalent zdánlivě obecnější otázky, zda každá skutečná hodnota je či není Funkce Lipschitz ƒ definované na kouli v X stabilizuje na kouli nekonečného dimenzionálního podprostoru, tj. zda existuje reálné číslo a ∈ R takže pro každý δ> 0 existuje nekonečný dimenzionální podprostor Y z X, takže | a -ƒ(y) | <δ, pro všechny y ∈ Y, s ||y|| = 1. Ale vyplývá to z výsledku Odell & Schlumprecht (1994) že na ℓ¹ existují Lipschitzovy funkce, které se nestabilizují, i když tento prostor není zdeformovatelný James (1964). V oddělitelném Hilbertův prostor, problém se zkreslením odpovídá otázce, zda existují podmnožiny jednotkové koule oddělené kladnou vzdáleností a přesto protínají každý nekonečně dimenzionální uzavřený podprostor. Na rozdíl od mnoha vlastností Banachových prostorů se problém zkreslení jeví jako stejně obtížný v Hilbertových prostorech jako v jiných Banachových prostorech. Na oddělitelném Hilbertově prostoru a na druhém ℓ^p-prostory, 1

Odell & Schlumprecht (1994), který to ukázal ℓ² je libovolně deformovatelný pomocí prvního známého libovolně deformovatelného prostoru vytvořeného pomocí Schlumprecht (1991).

Viz také

• Tsirelsonův prostor
• Banachův prostor

Reference

• James, R.C. (1964), "Uniformly nonsquare Banach spaces", Annals of Mathematics, 80 (2): 542–550, doi:10.2307/1970663.
• Milman (1971), „Geometrie Banachových prostorů II, geometrie jednotkové koule“, Ruské matematické průzkumy, 26: 79–163, Bibcode:1971RuMaS..26 ... 79M, doi:10.1070 / RM1971v026n06ABEH001273.
• Odell, E; Schlumprecht, Th. (2003), "Distortion and asymptotic structure", in Johnson; Lindenstrauss (eds.), Příručka geometrie Banachových prostorů, svazek 2, Elsevier, ISBN  978-0-444-51305-2.
• Odell, E .; Schlumprecht, Th. (1993), "Problém zkreslení Hilbertovho prostoru", Geom. Funct. Anální., 3: 201–207, doi:10.1007 / BF01896023, ISSN  1016-443X, PAN  1209302.
• Odell, E .; Schlumprecht, Th. (1994), "Problém zkreslení", Acta Mathematica, 173: 259–281, doi:10.1007 / BF02398436, ISSN  0001-5962, PAN  1301394.
• Schlumprecht, Th. (1991), „Libovolně deformovatelný Banachův prostor“, Israel Journal of Mathematics, 76: 81–95, arXiv:matematika / 9201225, doi:10.1007 / bf02782845, ISSN  0021-2172, PAN  1177333.