Schwartzova věta o jádře - Schwartz kernel theorem
v matematika, Schwartzova věta o jádře je základním výsledkem v teorii zobecněné funkce, publikováno Laurent Schwartz v roce 1952. Obecně uvádí, že zobecněné funkce zavedené Schwartzem (Schwartzovy distribuce ) mají teorii dvou proměnných, která zahrnuje všechny rozumné bilineární formy v prostoru z testovací funkce. Prostor sám o sobě se skládá z plynulé funkce z kompaktní podpora.
Výrok věty
Nechat a být otevřenými soubory .Každá distribuce definuje souvislou lineární mapu takhle
(1)
pro každého Naopak pro každou takovou spojitou lineární mapu existuje jedna a pouze jedna distribuce takový, že (1) platí. Distribuce je jádro mapy .
Poznámka
Vzhledem k distribuci jeden může vždy psát lineární mapu K neformálně jako
aby
- .
Integrovaná jádra
Tradiční funkce jádra K.(X, y) dvou proměnných teorie integrální operátory poté, co byl rozšířen rozsah, aby zahrnoval jejich zobecněné funkční analogy, které mohou mít vážnější singulární význam, velkou třídu operátorů z D k jeho dvojí prostor D ′ distribucí lze sestavit. Smyslem věty je tvrdit, že rozšířenou třídu operátorů lze charakterizovat abstraktně, protože obsahuje všechny operátory podléhající podmínce minimální kontinuity. Bilineární forma na D vzniká spárováním distribuce obrazu s testovací funkcí.
Jednoduchým příkladem je, že přirozené vložení [.] Prostoru testovacích funkcí D do D ‘- odeslání každé testovací funkce f do odpovídajícího rozdělení [f] - odpovídá rozdělení delta
δ (X − y)
koncentrovaný na úhlopříčce podtrženého euklidovského prostoru, pokud jde o Diracova delta funkce δ. I když se jedná maximálně o pozorování, ukazuje, jak teorie distribuce rozšiřuje rozsah. Integrované operátory nejsou tak „singulární“; dalším způsobem, jak to vyjádřit, je to pro K. pouze souvislé jádro kompaktní operátory jsou vytvořeny v prostoru, jako jsou spojité funkce v [0,1]. Operátor Já není zdaleka kompaktní a jeho jádro je intuitivně řečeno aproximováno funkcemi na [0,1] × [0,1] s hrotem podél úhlopříčky X = y a mizí jinde.
Tento výsledek naznačuje, že tvorba distribucí má hlavní vlastnost „uzavření“ v tradiční doméně funkční analýza. Bylo to tlumočeno (komentář Jean Dieudonné ) jako silné ověření vhodnosti Schwartzovy teorie distribucí k matematické analýze. V jeho Éléments d'analyse svazek 7, str. 3 poznamenává, že věta zahrnuje diferenciální operátory na stejné úrovni jako integrální operátory a dochází k závěru, že jde pravděpodobně o nejdůležitější moderní výsledek funkční analýzy. Okamžitě pokračuje v kvalifikaci tohoto tvrzení a říká, že nastavení je pro diferenciální operátory příliš „obrovské“ kvůli vlastnosti monotónnosti s ohledem na podpora funkce, což je evidentní pro diferenciaci. Dokonce monotónnost s ohledem na singulární podpora není charakteristický pro obecný případ; jeho úvaha vede ve směru současné teorie pseudo-diferenciální operátory.
Hladké potrubí
Dieudonné dokazuje verzi výsledku Schwartz platnou pro hladké potrubí a další podpůrné výsledky v oddílech 23.9 až 23.12 této knihy.
Zobecnění na jaderné prostory
Hodně z teorie jaderné prostory byl vyvinut společností Alexander Grothendieck při zkoumání Schwartzovy věty o jádru a publikované v Grothendieck 1955. Máme následující zobecnění věty.
Schwartzova věta o jádře:[1] Předpokládejme to X je jaderný, Y je místně konvexní a proti je spojitá bilineární forma na . Pak proti pochází z prostoru formuláře kde a jsou vhodné ekvivalentní podmnožiny a . Ekvivalentně proti je ve formě,
- pro všechny
kde a každý z a jsou rovnocenné. Dále lze tyto sekvence považovat za nulové sekvence (tj. Konvergující k 0) v a , resp.
Viz také
- Fredholmské jádro
- Injekční tenzorový produkt
- Provozovatel jaderné energie
- Jaderný prostor
- Projektivní tenzorový produkt
- Pevný Hilbertův prostor
- Sledovací třída
Reference
- ^ Schaefer & Wolff 1999, str. 172.
Bibliografie
- Grothendieck, Alexander (1955). „Produkuje Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires“ [Topologické tenzorové produkty a jaderné prostory]. Monografie série americké matematické společnosti (francouzsky). Providence: Americká matematická společnost. 16. ISBN 978-0-8218-1216-7. PAN 0075539. OCLC 1315788.
- Hörmander, L. (1983). Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů I. Grundl. Matematika. Wissenschaft. 256. Springer. doi:10.1007/978-3-642-96750-4. ISBN 3-540-12104-8. PAN 0717035..
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
- Wong (1979). Schwartzovy prostory, jaderné prostory a tenzorové produkty. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158.
externí odkazy
- G. L. Litvinov (2001) [1994], „Nukleární bilineární forma“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS