Rodinné kostky Rubiks všech velikostí - Rubiks family cubes of all sizes - Wikipedia

Originál Rubikova kostka byla mechanická hrací kostka 3 × 3 × 3, kterou vynalezl v roce 1974 maďarský sochař a profesor architektury Ernő Rubik. Rozšíření Rubikovy kostky existují již dlouhou dobu a přicházejí v hardwarové i softwarové podobě. Hlavním rozšířením byla dostupnost kostek větší velikosti a dostupnost složitějších kostek s vyznačenými středy. Hlavním zaměřením tohoto článku jsou vlastnosti Rubikových rodinných kostek jakékoli velikosti a zvláštní pozornost věnovaná softwarovým kostkám. Mnoho vlastností je matematické povahy a je funkcí proměnné velikosti krychle.

Definice

Zde použitá terminologie je v zásadě v souladu s obecně používanou terminologií. Jinde se některé termíny používají s různými významy. Aby se předešlo mylným představám, je význam většiny termínů používaných v tomto článku definován níže.

Velikost krychle	Standardní Rubikova kostka se často označuje jako kostka 3 × 3 × 3. Tato kostka bude označována jako kostka velikosti 3 a obecně jako ${ Displaystyle n krát n krát n}$ kostka bude označována jako velikost ${ displaystyle n}$ krychle.
Rodina Rubikových kostek	Kostky, které mají podobné rotační vlastnosti jako standardní Rubikova kostka velikosti 3 a dodržují obecná pravidla pro velikost ${ displaystyle n}$ kostky jsou považovány za členy rodiny Rubikových kostek. K dispozici jsou kostky velikosti 2 a vyšší, které splňují tuto podmínku.
Cubie	Jednotlivé prvky krychle budou označovány jako kostky (jiné je někdy označují jako „krychle“). Existují tři typy kostek: rohové kostky (tři barevné povrchy), hranové kostky (dvě barevné plochy) a střední kostky (jedna barevná plocha). Absolutní středové kostky pro kostky liché velikosti sedí na středových osách šesti tváří a jejich relativní polohy se nikdy nezmění.
Kóje	Skříň je oddíl, ve kterém je umístěna kostka. Pro permutaci (definovanou níže) se kóje považují za obsazení pevných pozic v prostoru obsazeném objektem krychle, ale jejich obsah (kostky) se může posunout.
Facelet	Facelet je viditelný barevný povrch kostky (rohové kostky mají tři čelenky, hranové kostky dvě a střední kostky jednu).
Styl krychle	Jsou zde označovány dva styly krychle: za prvé standardní krychle s neoznačenými středy a za druhé krychle s vyznačenými středy.
Stav krychle	Konkrétní uspořádání kostek bude označováno jako stav krychle. To, co vypadá stejně, je považováno za stejné (pokud není výslovně uvedeno jinak). Každý stát má stejnou pravděpodobnost, že bude vytvořen po skutečné náhodné kódovací sekvenci. Otáčení celé krychle nemění stav uvažovaný v tomto dokumentu. V jiných textech jsou různé státy často označovány jako obměny nebo ujednání.
Krychlová vrstva	Vrstva krychle je jeden krychlový plátek krychle kolmý k její ose otáčení. Vnější vrstvy (plochy) obsahují více kostek než vnitřní vrstvy. Pro kostku velikosti ${ displaystyle n}$, bude ${ displaystyle n}$ vrstvy podél kterékoli dané osy.
Krychlový obličej	Význam tváře krychle závisí na kontextu, ve kterém je použita. Obvykle to znamená jednu ze šesti trojrozměrných vnějších vrstev, ale může také odkazovat pouze na povrch vnější vrstvy, který je kolmý k její ose otáčení. Tváře jsou obvykle označeny jako nahoru (U), dolů (D), přední (F), zadní (B), levý (L) a pravý (R).
Nastavit stav	Nastavený (nebo vyřešený) stav krychle je takový, pro který se na každé ze šesti tváří objeví jednotná barva. U kostek s vyznačenými středy je stav sady charakterizován jedinečným uspořádáním všech středových krychlí a označení těchto krychlí to musí odrážet.
Míchaný stav	Zakódovaný stav je výchozím bodem pro dešifrování krychle. Vzniká, když je krychle v sadě nebo v jakémkoli jiném stavu vystavena velkému počtu náhodně vybraných rotací vrstev.
Osy rotace „Fixed-in-space“	Existují tři vzájemně kolmé osy rotace pro krychli. Za jednu sadu os definovaných v pojmech D, U, B, F, L a R lze považovat pevnou orientaci v prostoru. Představte si tyto osy, které patří do kontejneru ve tvaru krychle, do kterého lze umístit objekt krychle v kterékoli z 24 orientací. Jedna osa může být nakreslena středy ploch D a U (osa DU). Ostatní jsou osy BF a LR.
Osy rotace „krychlového objektu“	Pro samotný objekt krychle lze definovat další sadu os. Tyto osy se vztahují k barvám obličeje, nejčastější jsou bílá, červená, oranžová, žlutá, zelená a modrá. Osy jsou obvykle bílo-modré, červeno-oranžové a žlutozelené. U lichých kostek jsou tyto osy vždy fixovány vzhledem k vnitřnímu rámu objektu krychle. U kostek sudé velikosti zůstávají tyto osy vzhledem k vnitřnímu rámečku objektu krychle po počátečním výběru pevné. Počátek pro osy je střed objektu krychle.
Otočení vrstvy	Jediný způsob, jak lze změnit stav krychle, je rotace vrstev krychle kolem jejich os rotace. Všechny změny stavu zahrnují kroky rotace, které lze považovat za posloupnost čtvrtotáčků jedné vrstvy.
Obíhat	Pro základní čtvrtotoček vrstvy krychle pro kostky všech velikostí se sady čtyř kostek pohybují v samostatných trajektoriích čtyř skříní. Když jsou uvažovány všechny možné trajektorie pro daný typ kostky pro celou krychli, označíme všechny možné polohy pohybu jako na dané oběžné dráze. Domníváme se, že krychle velikosti 3 má dvě oběžné dráhy, jednu, na které je omezeno pohybování osmi rohových kostek, a druhou, na které je omezeno pohyb hran 12 okrajových kostek. Přenos kostek mezi těmito drahami není možný. Pro kostky o velikosti 4 a vyšší definujeme také oběžnou dráhu hrany, která obsahuje 12 kostek, ale termín doplňková oběžná dráha použijeme k popisu dvojice oběžných drah, mezi kterými se mohou pohybovat hranové kostky. Dvojice doplňkových oběžných drah hran obsahuje celkem 24 kostek. Krychle velikosti 4 a vyšší zahrnují středové oběžné dráhy, které obsahují 24 kostek. Přenos kostek mezi jednou takovou oběžnou dráhou a druhou není možný (platí pro kostky o velikosti 5 a vyšší).
Hýbat se	Tah je rotace vrstvy o čtvrt otáčky nebo sekvence takových čtvrt otáček, které by člověk použil jako jediný krok.
Přesuňte notaci	Pootočení vnější vrstvy ve směru hodinových ručiček je obvykle vyjádřeno jako U, D, F, B, L nebo R. V jiných ohledech se použitá notace mezi autory liší. Například čtvrt otáčky vnější vrstvy proti směru hodinových ručiček lze vyjádřit jako U ', D', F ', B', L 'nebo R'.
Algoritmus	Algoritmus definuje posloupnost rotací vrstev k transformaci daného stavu do jiného (obvykle méně zakódovaného) stavu. Algoritmus je obvykle vyjádřen jako tisknutelná posloupnost znaků podle nějaké notace tahu. Algoritmus lze považovat za „chytrý“ tah. Všechny algoritmy jsou pohyby, ale jen málo tahů je považováno za algoritmy.
Permutace	Permutace krychle, jak se zde používá, znamená akt permutace (tj. Přeskupení) pozic kostek. Permutace je komplexní výraz, který zahrnuje posloupnost čtvrtotáčků libovolné délky. Dokonce i řešení krychle ze zakódovaného stavu představuje permutaci. Termín „permutace“ používají matematici, kteří jej používají Skupinová teorie kvantifikovat proces podílející se na přeskupení kostek. Termín „permutace“ se také často používá k označení stavu krychle, který je výsledkem po jejím přeskupení, ale tento význam zde nebude použit. V takových případech bude použit termín „stav krychle“. To umožňuje použít výraz „permutace“, pokud permutace nemá za následek žádnou změnu stavu - oblast zvláštního zájmu pro Rubikovy rodinné kostkové permutace.
Parita	Kostkovou permutaci lze představovat řadou swapů dvou kostek. Pokud je toto číslo sudé, má permutace sudou paritu a pokud je číslo liché, má permutace lichou paritu.

Typy kostek

Hardware kostky

Hardwarové (fyzické) kostky vycházejí z kostky původní velikosti 3, kterou vynalezl Erno Rubik v roce 1974. Tyto kostky obvykle používají barevné štítky na čelenkách pro identifikaci kostky. The velikost 3 standardní Rubikova kostka získala nejvyšší zájem v 80. letech a byla těsně následována velikost 4 (Rubikova pomsta) kostka. Další, obvykle více nedávno dostupné, hardwarové formy krychle přicházejí velikost 2 (Kapesní kostka), velikost 5 (Profesorova kostka), velikost 6 (V-Cube 6) a velikost 7 (V-Cube 7). Byly také vyrobeny méně známé hardwarové kostky větších velikostí. V současné době je největší vyrobenou hardwarovou kostkou velikost 33 a největší sériově vyráběnou kostkou velikost 17^[1].

Softwarové kostky

Souběžně s hardwarovou formou krychle je k dispozici mnoho softwarových forem, které se řídí stejnými pravidly jako hardwarové formy. Softwarová kostka emulátory nepodléhají fyzickým omezením, která ukládají omezení velikosti pro hardwarové formuláře. Proto jsou k dispozici pouze opravdu velké kostky v softwarové formě. Na rozdíl od hardwarových forem může jeden program snadno přizpůsobit celou řadu velikostí krychlí. Konstrukční vlastnosti programů, které umožňují uživatelům dešifrovat kostky, se značně liší od funkcí, jako je často dostupná schopnost umožnit uživateli uložit částečně dešifrovaný stav.

Softwarové kostky se používaly v 80. letech, kdy se běžně používaly černobílé monitory. Nedostatek barvy znamenal jiný způsob identifikace obličeje. A program která si zachovala monochromatickou schopnost z 80. let (používající číslice 1 až 6 k identifikaci faceletů) pro kostky v rozmezí velikostí 2 až 11 byla vyrobena v roce 1991 (spolu s barevnou schopností v rozsahu velikostí 2 až 15). Nověji vyvinuté softwarové kostky používají barevné čelenky jako u hardwarových kostek.

Nejběžnějším, ale v žádném případě ne univerzálním přístupem, je emulace krychle poskytnutím „trojrozměrného“ zobrazení krychle, díky němuž vypadá jako skutečná hardwarová krychle. Nevýhodou "trojrozměrného" zobrazení je, že bez některých dalších vylepšení je stav částí krychle pro daný pohled skryt.

Někteří programátoři používají i jiné interaktivní softwarové přístupy, které neimulují trojrozměrnou krychli. Obecně je cílem takových přístupů umožnit, aby byl stav všech kostek neustále viditelný, ale má tu nevýhodu (pro některé diváky), že displej nevypadá jako krychle reálného světa. Konvenční dvourozměrný (rozložený) displej se všemi prvky krychle, které vypadají stejně velké, je jedním přístupem. Používá se také jiná forma zobrazení, kde se všechny prvky krychle nezdají stejné velikosti. Horní limit velikosti krychle pro softwarové kostky je omezen dostupnými pixely monitoru a tím, co diváci považují za přijatelné, což je zase funkcí jejich zrakové ostrosti. U kostek velké velikosti může být výhodné umožnit rolování části krychle mimo dohled.

Všechny emulátory poskytují uživateli prostředek ke změně stavu krychle krok za krokem a dešifrování krychle. Většina emulátorů používá pohyby myši k ovládání rotace prvků krychle, jiné používají klávesové příkazy a některé používají kombinaci obou.

Softwarové kostky představují některé hlavní funkce, které u hardwarových kostek nejsou možné. Okamžitý návrat do nastaveného stavu je vždy k dispozici. Pokud program umožňuje uložit částečně nešifrovaný stav, pak uživatelé pravidelnou aktualizací uloženého stavu nemusí zoufat, pokud udělají něco, co zanechá jejich krychli v nepořádku. Mohou se vrátit do dříve zaznamenaného stavu a pokračovat odtud. Čím větší je kostka, tím užitečnější je tato schopnost.

Nějaký Freeware implementace velké krychle (velikost větší než 10) jsou dostupný.

Varianty designu krychle

I když se používá více variant, budou zde uvažovány pouze dvě:

• Standardní kostky s neoznačenými středy.
• Kostky s vyznačenými středy.

Standardní kostky s neoznačenými středy

Dvouvrstvá kostka (velikost 2) má pouze rohové kostky.

Kostky velikosti 2 a velikosti 3 mají jednotlivá řešení, což znamená, že všechny prvky krychle mohou mít pouze jednu správnou polohu pro vyřešenou krychli.

Středové krychle se liší od rohových a hranových krychlí v tom, že jejich orientace nebo poloha má několik možností. U kostek liché velikosti bude středová kostka, která je centrálně umístěna na obličeji krychle a tato kostka má pouze jedno správné umístění pro vyřešenou kostku. Pro vyřešenou krychli však platí více umístění všech ostatních středových krychlí. Středové kostky (jiné než jedna centrální pro kostky liché velikosti) tvoří na každé ploše sady čtyř a sady 24 pro celou kostku pro různé oběžné dráhy. Tyto středové kostky mají čtyři možné konečné polohy (jejich orientace se mění s pozicí, ale nelze je měnit nezávisle), které by uspokojily řešený stav.

Kostky s vyznačenými středy

Hardwarové kostky s označenými středy obvykle používají obrázky nebo loga na tvářích k určení, jaká orientace středových krychlí je pro vyřešenou krychli požadována. Takové kostky se také nazývají „superkrychle“ a použití označení tohoto typu je obecně omezeno pouze na kostky velmi malé velikosti.

Řešení kostky s vyznačenými středy je podstatně složitější než řešení pro standardní kostky. Použití značení obrázků ve tvaru přímočaré pily na velké kostky by ještě více ztížilo obtížný úkol. Dvě možnosti současného použití na softwarových kostkách jsou použití číselné grafiky v rozsahu „1“ až „4“ a použití grafiky pro označení rohů.

Mezi číselným a rohovým značením existuje přímá korespondence. Značení kvadrantu v levém horním rohu je ekvivalentní s číselným značením 1, druhý kvadrant na 2, třetí kvadrant na 3 a čtvrtý kvadrant na 4. Následující obrázek ilustruje tyto různé formy značení.

Protože přenos kostek mezi oběžnými drahami není možný, lze pro každou oběžnou dráhu použít stejné značky 1-2-3-4. S výjimkou absolutních středových kostek pro kostky liché velikosti je na každé oběžné dráze 24 středových kostek (4 na obličej). Li ${ displaystyle n}$ je velikost krychle, bude ${ displaystyle { frac { vlevo (n-2 vpravo) ^ {2} -a} {4}}}$ oběžné dráhy kde ${ displaystyle a}$ je nula, pokud ${ displaystyle n}$ je sudý nebo ${ displaystyle a}$ je jeden, pokud ${ displaystyle n}$ je zvláštní.

Číselné značení je typicky použitelné pro kostky do velikosti přibližně 32. Rohové značení, zatímco méně uživatelsky přívětivé, může umožnit, aby se rozsah označených středů rozšířil nad limit číselného značení.

S výjimkou absolutního středového značení pro kostky liché velikosti by číselné značení poskytlo nejlepší způsob označení středové kostky pro hardwarové kostky, protože jejich rozsah velikostí je omezený. Otočení čísel by znamenalo malou nepříjemnost v porovnání s neotočenými čísly, která lze použít pro softwarové kostky. Velkou výhodou čísel je, že snižují složitost řešení posledního povrchu krychle, když se používají značení (např. Je-li posloupnost čtyř je 1-3-4-2 (i parita, potřebuje dva swapy, aby se stala požadované 1-2-3-4), pak je požadavek na algoritmus jasný. Algoritmy byly definovány v^[2] a jsou samozřejmě stejně použitelné i pro hardwarové kostky.

Pravidla pro Rubikovy rodinné kostky

Kostka je řešitelná, pokud nastavený stav existoval nějaký čas v minulosti a pokud nedocházelo k žádné nedovolené manipulaci s kostkou (např. Přeskupením štítků na hardwarových krychlích nebo provedením ekvivalentu na softwarových krychlích). Pravidla pro Rubikovu kostku standardní velikosti 3^[3][4] a pro celou rodinu Rubikových kostek^[5] byly zdokumentovány. Tato pravidla omezují, jaká ujednání jsou možná, a znamenají, že z možných neomezených ujednání o kostce převyšuje počet nedosažitelných počet dosažitelných.

Kostky všech velikostí mají tři vzájemně na sebe kolmé osy, kolem kterých lze otáčet jednu nebo více vrstev. Všechny pohyby kostky lze považovat za posloupnost čtvrtotáčkových rotací kolem těchto os. Možnosti pohybu vedou k souboru pravidel (nebo zákonů), které lze ve většině případů vyjádřit analyticky.

Pro kostku velikosti ${ displaystyle n}$:

Počet rohových kostek	${ displaystyle 8}$
Počet hranových kostek	${ displaystyle 12 left (n-2 right)}$
Počet středových kostek	${ displaystyle 6 left (n-2 right) ^ {2}}$
Počet faceletů	${ displaystyle 6n ^ {2}}$
Celkový počet kostek	${ displaystyle 6 left (n-1 right) ^ {2} +2}$
Zvýšení celkového počtu kostek za jednotku zvětšení velikosti krychle od ${ displaystyle n}$ na ${ displaystyle left (n + 1 right)}$	${ displaystyle 12n-6}$

Každý pohyb krychle lze považovat za obměnu. Vztah mezi stavem krychle po tahu s tím před tahem lze matematicky vyjádřit pomocí teorie skupin^[6][7][8] kvantifikovat permutace. Protože každý pohyb lze považovat za sekvenci čtvrtotáčkových rotací, je vhodné prozkoumat, co je součástí čtvrtotáčkové rotace. S výjimkou absolutního středového krychle pro kostky liché velikosti se během otočení čtvrtiny pohybují kostky v samostatných trajektoriích ve čtyřech skříních (také označované jako pohyb ve čtyřech cyklech, protože čtyři čtvrtiny otáček obnoví kostky ve stanovené trajektorii do jejich původních pozic) ). Čtvrté otočení sady se 4 krychli může být reprezentováno třemi výměnami, jak je uvedeno níže, kde výměna 1-2 znamená, že obsah skříně 1 je zaměněn za obsah skříně 2 atd.

Parita^[9] permutace označuje, zda je tato permutace sudá nebo lichá. Sudá permutace je taková, která může být reprezentována sudým počtem swapů, zatímco lichá permutace je taková, která může být reprezentována lichým počtem swapů. Lichá permutace následovaná lichou permutací bude představovat celkovou sudou permutaci (přidání dvou lichých čísel vždy vrátí sudé číslo). Vzhledem k tomu, že čtvrtotočka je tvořena počtem 4 cyklů, z nichž každý zahrnuje tři swapy, je-li počet 4 cyklů lichý, bude celková parita permutace čtvrtotáčku lichá a naopak.

Paritační permutační čtvrtina pro velikost ${ displaystyle n}$ kostka je uvedena v následující tabulce.

Velikost krychle (lichý nebo sudý)	Typ vrstvy	Počet 4 cyklů	Celková parita
zvláštní	vnitřní	${ displaystyle n-1}$	dokonce
zvláštní	vnější	${ displaystyle { frac { doleva (n-2 doprava) ^ {2} -1} {4}} + doleva (n-1 doprava)}$	dokonce[A]
dokonce	vnitřní	${ displaystyle n-1}$	zvláštní
dokonce	vnější	${ displaystyle left ({ frac {n} {2}} - 1 right) ^ {2} + left (n-1 right)}$	i kdyby ${ displaystyle { frac {n} {2}}}$ je sudý [b] zvláštní, pokud ${ displaystyle { frac {n} {2}}}$ je zvláštní
^ Od té doby ${ displaystyle left (n-2 right) ^ {2} -1}$ rovná se ${ Displaystyle left (n-1 right) left (n-3 right)}$, součin dvou po sobě jdoucích sudých čísel, která musí být vždy rovnoměrně dělitelná 8. ^ Od té doby ${ displaystyle left ({ frac {n} {2}} - 1 right) ^ {2}}$ bude zvláštní, pokud ${ displaystyle left ({ frac {n} {2}} - 1 right)}$ je liché (tj. pokud ${ displaystyle { frac {n} {2}}}$ je dokonce) dávat celkově i od té doby ${ displaystyle (n-1)}$ je zvláštní. Opak platí, pokud ${ displaystyle { frac {n} {2}}}$ je zvláštní.

Shrnutím výše uvedených výsledků parity dochází k závěru:

• Všechny permutace pro liché kostky mají rovnoměrnou celkovou paritu.
• Všechny jednotlivé čtvrtinové tahy pro kostky sudé velikosti, kde poloviční velikost kostky je liché číslo, mají lichou celkovou paritu.
• U kostek sudé velikosti, kde poloviční velikost krychle je sudé číslo, mají čtvrtinové otáčky vnitřní vrstvy lichou celkovou paritu a čtvrté otáčky vnější vrstvy mají sudou celkovou paritu.

Výše uvedená analýza zohledňovala paritu rohových (případně), hranových a středových krychlí dohromady. Je možné je zvažovat izolovaně, a když je to hotové, bude i parní kombinace čtvrtiny otočení zahrnovat řadu lichých paritních prvků.

Standardní kostky (tj. Kostky s neoznačenými středy) jakékoli velikosti větší než 3 se chovají přesně jako kostka velikosti 3, pokud jsou povoleny pouze rotace vnější vrstvy. Pravidla parity diktují, že pro kostky liché velikosti vyžaduje výměna dvou kostek v jedné hraně sadu změnu polohy středových kostek. Může se to ukázat^[5] že u krychle velikosti 4 lze dosáhnout výměny a převrácení dvou doplňkových kostek v jedné hranové sadě bez jakékoli změny polohy jiných kostek. Lze také ukázat, že pro kostky sudé velikosti 6 a vyšší vyžaduje výměna dvou kostek v jedné hranové sadě změnu polohy středových kostek.

Permutace, jak se zde používá, bere v úvahu změnu poloh kostek, nikoli změnu jejich orientace. Pro sady hran 24 cubie (tvořených 12 doplňkovými páry) neexistuje žádné omezení polohy. Orientace se nastavuje podle polohy a nelze ji měnit nezávisle na poloze.

Rohové kostky se chovají stejně pro kostky všech velikostí. Mají tři možné orientace vytvořené kombinací ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$ zvraty, kde plný zvrat (kolem osy nakreslené z rohu krychle do vnitřního rohu krychle) vrátí rohovou krychli do původní orientace. Pokud označíme jednotku ve směru hodinových ručiček, otočíme o ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$ a jednotka otočená proti směru hodinových ručiček ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, pak možnosti zkroucení pro rohovou kostku vzhledem k danému počátečnímu stavu (například nastavený stav) jsou 0, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$ a ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$. Součet přírůstků zkroucení ve všech rohových krychlích musí být vždy celé číslo (0, 1 nebo 2).

Pokud jsou pro kostky o velikosti větší než 3 zahrnuty rotace vnitřní vrstvy, některá z výše uvedených omezení pohybu hrany kostky již neplatí. Ty jsou dále rozšířeny v Problémy s finální vrstvou sekce.

Poloha a orientace krychle jsou při dešifrování konečné vrstvy obzvláště důležité. Okrajové kostky musí vždy skončit na přesně stejných pozicích, které obsadily v počátečním nastaveném stavu, než se začnou míchat. Pokud má kterákoli hranová kostka v dané hraně nastavené ve finální vrstvě nesprávnou orientaci (platí pouze pro kostky o velikosti větší než 3), musí být ve špatné poloze a bude nutné ji vyměnit za doplňkovou hranovou kostku, která má také nesprávnou polohu orientace. Když je vše ostatní na svém místě, rohové kostky mohou být ve správné poloze, ale dvě nebo více mohou mít nesprávnou orientaci. U standardních kostek o velikosti větší než 3 existuje zanedbatelná možnost, že středové kostky (jiné než absolutní středové kostky pro kostky liché velikosti) budou zaujímat stejné pozice, jaké měly v počátečním nastaveném stavu (za předpokladu, že středové kostky nejsou označeny).

Kostky sudé i liché velikosti s vyznačenými nebo neoznačenými středy se řídí pravidlem: „Jakákoli obměna, která má za následek pouze přeskupení středových kostek na oběžné dráze 24 kubíků, musí mít sudou paritu.“

Pokud se uvažuje o permutacích faceletů spíše než o krychlích, bude brána v úvahu jak poloha, tak orientace krychlí. U softwarových kostek jsou stavy (šest barevných možností) ${ displaystyle 6n ^ {2}}$ čelenky (v ${ displaystyle 6 krát n krát n}$ například pole) by umožnilo uložit úplné informace o stavu krychle pro pozdější použití.

Kostka jakékoli velikosti, která podléhá opakování stejné permutace, se nakonec vrátí do stavu (např. Nastaveného stavu), který obsadila před první aplikací permutace.^[6][7] Počet případů, kdy je nutné použít permutaci k prvnímu vrácení krychle do původního stavu, se označuje jako pořadí nebo délka cyklu permutace a je použitelná pro krychle všech velikostí. Celková permutace, která nemá za následek žádnou změnu stavu, se označuje jako Permutace identity. K dispozici je program, který umožňuje určit délku permutačního cyklu libovolné velikosti krychle^[10] a byly zdokumentovány výsledky délky cyklu vzorku.^[5] U dané permutace se délka cyklu může lišit podle:

• Velikost krychle.
• Počáteční stav krychle (pro standardní kostky s neoznačenými středy).
• Styl krychle (ať už se používají standardní nebo označené středy).
• Prostorová orientace (kontrola všech 24 z nich, nikoli pouze jednoho, může dát jiný výsledek).

Parita permutace identity je vždy rovnoměrná. Tento výsledek pro kostky liché velikosti je zjevně pravdivý, protože každé čtvrtinové kolo má rovnoměrnou paritu. Výsledek je méně zřejmý pro kostky rovnoměrné velikosti. U kostek sudé velikosti, pokud je míchaná permutace vzhledem k předchozímu nastavenému stavu lichá, pak každá permutace k řešení krychle musí mít také lichou paritu a naopak.

Zobecněný počet možných stavů pro velikost ${ displaystyle n}$ kostka je považována za Dosažitelné stavy pro kostky všech velikostí sekce.

Řešení krychle

Řešení lidmi

Řešení krychle zahrnuje počínaje míchanou krychlí a aplikaci postupných rotací vrstev, které nakonec skončí vyřešenou krychlí. U kostek s neoznačenými středy to znamená, že by všechny tváře musely vypadat jednotně. U kostek s vyznačenými středy by kromě požadavku na jednotnou barvu muselo platit jedinečné uspořádání všech středových kostek. Vzhledem k tomu, že výchozí bod je vždy jiný, nikdy nemůže existovat jedinečná sada rotací, kterou lze použít k řešení krychle. Lidé obvykle pracují na řešení s možným využitím algoritmy, hlavně v druhé fázi dešifrování. Teoreticky je možné, aby člověk napsal počítačový program, který „myslí“ jako člověk a řeší kostku bez lidského zásahu (viz Řešení počítačovým programem sekce).

Cílem většiny emulátorů softwarové krychle je poskytnout uživateli prostředek k interakci s programem k řešení (dešifrování) krychle podobným způsobem, jakým by dešifroval hardwarovou krychli.

Efektivní rotační sekvence (algoritmy) lze vyvinout pomocí permutační matematiky skupinové teorie. Existuje však mnoho odkazů na příslušné sekvence rotace potřebné k řešení kostek malé velikosti (u některých kostky velikosti 3, 4 a 5 viz některé^{[11][12][13][14]}) a existuje několik přístupů k tomu, jaké kroky lze použít. Neexistuje špatný způsob řešení kostky. Kroky při řešení jakékoli krychle o velikosti větší než 4 jsou poměrně přímým rozšířením těch, které jsou nutné k řešení kostek velikosti 3 a velikosti 4. Existuje však omezená dostupnost zobecněných pokynů, které lze použít pro řešení kostek jakékoli velikosti (zejména velkých). Zobecněné pokyny k jednomu způsobu řešení standardních kostek^[15] a kostky s vyznačenými středy^[2] všech velikostí je k dispozici.

Kdokoli, kdo dokáže vyřešit kostku velikosti 4, by měl být schopen vyřešit kostky větší velikosti za předpokladu, že přijme zvýšenou penalizaci času do vyřešení. Funkce softwarového designu, které nejsou k dispozici v hardwarových kostkách, mohou zjednodušit proces řešení krychle. U dané sady konstrukčních prvků krychle se složitost (obtížnost) řešení Rubikovy rodinné krychle zvyšuje, pokud se zvyšuje počet dosažitelných stavů. Toto číslo ovlivňují tři hlavní vlastnosti:

1. Velikost krychle: Počet umístěných kostek je a kvadratická funkce (polynom druhého řádu) velikosti krychle, a proto má zásadní vliv na složitost řešení krychle.
2. Lichá nebo sudá velikost: Kostky sudé velikosti mají další účinek pouze na velikost krychle, která zvyšuje složitost vzhledem k lichým kostkám. Tento efekt je relativně malý a nezávisí na velikosti krychle (přidaný příspěvek při změně velikosti krychle z ${ displaystyle n}$ na ${ displaystyle left (n + 1 right)}$ pro ${ displaystyle n}$ lichá je konstantní). Tento efekt bude rozšířen, až bude později zvážen počet dosažitelných stavů.
3. Neoznačené nebo označené středové krychle: Značení středové krychle zvyšuje složitost řešení krychle.

Další algoritmy, které uživatelům pomohou vyřešit velikost 3^[16] a vyřešit jakoukoli velikost^[2] byla definována kostka s vyznačenými středy.

Problémy s velkou krychlí

K dispozici jsou velké krychlové emulátory, o nichž se tvrdí, že zajišťují kostky do velikosti 100 a více. Bez ohledu na to, jaký horní limit velikosti je požadován, dostupné pixely (které se liší podle používaného monitoru) a zraková ostrost uživatele zavedou praktická omezení maximální velikosti krychle, kterou člověk zvládne.

Jak je uvedeno v Pravidla pro Rubikovy rodinné kostky sekce, celkový počet kostek je ${ displaystyle left {6 left (n-1 right) ^ {2} +2 right }}$a počet středových kostek je ${ displaystyle 6 left (n-2 right) ^ {2}}$, kde ${ displaystyle n}$ je velikost krychle. U velkých kostek se počet středových kostek stává velmi dominantním, jak je uvedeno níže.

Z toho vyplývá, že umístění středových kostek bude se zvětšováním velikosti krychle stále významnější než umístění jiných kostek. Čas na vyřešení krychle dramaticky vzroste s velikostí krychle. Například do kostky o velikosti 16 je asi 24krát tolik kostek, než kolik je do kostky o velikosti 4. Pokud by průměrná doba umístění kostky byla v obou případech stejná, platil by také faktor 24 v čase. Faktor 24 bude pravděpodobně podhodnocen, protože přítomnost velkého počtu kostek ztěžuje (a časově náročnou) identifikaci toho, co kam patří.

Poskytnutí softwarového programu, který umožňuje změnu stavu kostek velké velikosti, není mnohem obtížnější, než dělat totéž pro kostky malé velikosti. Řešení velkých kostek je však mnohem náročnější a časově náročnější úkol než to samé pro malé kostky. Je tedy pravděpodobné, že většina opravdu velkých softwarových kostek, které jsou k dispozici, nebyla nikdy vyřešena.

Určení přesného umístění pro hledání kostek (hlavně čtyřnásobných středových sad kostek) je velkým problémem pro velké kostky. Použití mřížky sekundárních značek^[10] může usnadnit identifikaci. Mohla by být například použita mřížka značek pro vytvoření segmentů 4 × 4 pro krychli velikosti 16 (16 takových segmentů na obličej).

Společná sada šesti barev krychle přijatá pro hardwarové i softwarové kostky zahrnuje bílou, červenou, oranžovou, žlutou, zelenou a modrou. Tato barevná sada nemusí být optimální pro softwarové kostky velké velikosti, kde je počet pixelů na kostku malý. Například rozlišení mezi bílou a žlutou může být problematické. Snížení počtu barev v červené na modrou se pohybuje v rozmezí od pěti do čtyř a přidání fialové (barva v krajníviditelné spektrum ) vytváří sadu barev, kterou lze považovat za vhodnější pro kostky velké velikosti. Některé implementace softwarové krychle umožňují uživatelům v případě potřeby změnit výchozí sadu barev. To je užitečný doplněk pro uživatele, jejichž vnímání barev je v rozporu s normou.

Řešení počítačovým programem

Řešení krychle počítačovým programem^[17] (na rozdíl od běžného způsobu, jakým lidé řeší krychli) byly vyvinuty kostky pro malé velikosti (např. velikost 3) a stejně snadné je řešit velké kostky pomocí počítače.

Problémy s finální vrstvou

„Problém konečné vrstvy“ je zde definován tak, že znamená potřebu přeskupení hranových krychlí konečné vrstvy, které nelze dosáhnout pomocí pohybů krychle standardní velikosti 3. Často se o nich mluví jako o problémech s paritou nebo o chybách, ale taková terminologie může být zavádějící. Pokud by pohyby byly omezeny na ty, které jsou k dispozici pro krychli velikosti 3, byly by takové stavy nedosažitelné (pravidla paritní porušení). Existují četné variace ve způsobu, jakým jsou prezentovány problémy s finální vrstvou, a algoritmy k jejich řešení, ale požadavek na opravu bude podobný tomu, který je popsán níže. Problémy uvažované zde platí stejně pro standardní kostky i pro ty s vyznačenými středy, ale v druhém případě nastanou další problémy s finální vrstvou pro zarovnání středových kostek. Problémy větších kostek lze považovat za přímá rozšíření těch, které se vztahují na kostku velikosti 4. V zásadě mohou nastat dva typy problémů:

• Ve finální sadě hran je potřeba otočit doplňkový pár nebo kompletní sadu hranových kostek. Tato podmínka bude označována jako požadavek OLL (orientace poslední vrstvy).
• V závěrečné vrstvě je potřeba zaměnit pozice dvou sad hranových kostek. Tato podmínka bude označována jako požadavek PLL (permutace poslední vrstvy).

OLL a PLL, jak se zde používají, lze považovat za podmnožiny souboru obvyklé definice těchto podmínek. There are many references to moves that can be used to resolve these problems. Fewer references^[5][18] demonstrate how these moves satisfy parity rules. From a parity perspective, there is a need to consider the rearrangement of centre cubies which is not readily observable in cubes with unmarked centres. Only OLL parity compliance will be illustrated here.

A typical OLL correction for a size 9 cube is shown. The cubies shown in colour are the only ones in the cube that change positions.

OLL before correction for size 9 cube

OLL after correction for size 9 cube

For the OLL correction there are ${displaystyle n-2}$ centre cubie swaps and overall there are ${displaystyle left(n-1 ight)}$ swaps when the edge pair is included. For odd size cubes ${displaystyle left(n-1 ight)}$ is always even (and conforms with the universal even parity requirement for odd size cubes). For even size cubes ${displaystyle left(n-1 ight)}$ is always odd which means in this case a parity reversal always occurs, an allowable parity condition for even size cubes.

For the complete edge set flip (a requirement that can arise only for cubes of even size), the number of swaps will be ${displaystyle left(n-1 ight)left({frac {n}{2}}-1 ight)}$. The overall number of swaps will be even if ${displaystyle left({frac {n}{2}}-1 ight)}$ is even (i.e. ${displaystyle {frac {n}{2}}}$ je liché). The overall number of swaps will be odd if ${displaystyle {frac {n}{2}}}$ je sudý. Hence overall parity will be even if ${displaystyle {frac {n}{2}}}$ is odd and odd if ${displaystyle {frac {n}{2}}}$ je sudý.

The parity of a given algorithm can, of course, also be deduced from its content using the rules detailed in the Rules for Rubik’s family cubes sekce.

For standard cubes the rearrangement of centre cubies to resolve the OLL and PLL problems is unimportant. For cubes with marked centre cubies the effect of this rearrangement of these cubies is a serious drawback. For cubes with marked centres it is not possible (except for the size 4 cube) to align all final layer centre cubies until all edge cubies have been placed in their final positions.

Algoritmy

Instructions for people on how to solve Rubik's type cubes are normally conveyed either in purely graphical form or as sequences defined using a printable character notation. A character sequence that can be translated and applied to perform a sequence of layer rotations to transform a given state to another (usually less scrambled) state is often referred to as an algoritmus. Algorithms are most commonly used when unscrambling the latter portion of the cube but can be applied more extensively if desired. Algorithms can be written down as instructions that can be memorized or looked up in a document. The printable characters used (e.g. to indicate an anticlockwise quarter turn, a single layer quarter turn, or a multiple layer quarter turn) in algorithm instructions vary among authors, as does their positions in the instructions. Where people interpret instructions the way they are presented is insignificant. The only time the form of presentation has significance is when computer keyboard entry is used to change the state of software cubes, and automatic updating of the screen image occurs whenever a valid instruction is received. For example, if F′ is used to represent an anticlockwise quarter turn of the front face, then, as the user types in F, a clockwise quarter turn will occur, and a correction will be needed when the user types the ′ character. The end result will still be correct, but use of −F rather than F′ would eliminate the superfluous rotation. Any text enhancements, such as superscripts or subscripts, must be avoided in the method of presenting cube rotation sequences when users communicate with software cubes via keyboard commands. When computer keyboard entry of instructions is used, makra (which map a short input text string to a longer string) can be used^[10][15][19] as algorithm shortcuts.

Time to solve cubes

Speedcubing (or speedsolving) is the practice of solving a cube in the Rubik's cube family in the shortest time possible (which usually implies reducing the number of quarter turn moves required). It is most commonly applied to cubes of small size, and there are numerous solving methods that have been documented. An international team of researchers using computer power from Google has found every way the standard size 3 Rubik's cube can be solved and have shown that it is possible to complete the solution in 20 moves or fewer^[20] for any initial scrambled state (where a move here is defined as a quarter or a half turn of a face). Generally, speed solving methods apply more to specialist cubists than typical cubists and are more complex than simple layer-by-layer type methods used by most other people.

Reachable and unreachable states for cubes of all sizes

If a cube has at some previous time occupied the set state, then any state that can arise after legal moves is considered to be a reachable state. For small size cubes (size 2, 3, or 4), an unreachable state is one that cannot be reached by legal moves. For larger cubes, there needs to be some further qualification on what is meant by an unreachable state. In this article, notional movement between 24-cubie orbits for edge and for centre cubies is excluded.

Relationship between reachable and unreachable states

If, for a cube of any size, m represents the number of reachable states, u represents the number of unreachable states, and t equals their sum:

${displaystyle t=u+m}$

${displaystyle t=km}$ kde ${ displaystyle k}$ je kladné celé číslo

${displaystyle u=left(k-1 ight)m}$

Oba m a k are functions of cube size ${ displaystyle n}$. Hodnoty pro m a k will be considered in the following sections. In other texts, "reachable states" are often referred to as "permutations".

Reachable states for cubes of all sizes

The number of reachable states is based on:

• Standard permutations and combinations mathematics.^[21]
• Reduction factors that must be applied to above to reflect movement restrictions specific to Rubik’s family cubes.

The number of different states that are reachable for cubes of any size can be simply related to the numbers that are applicable to the size 3 and size 4 cubes. Hofstadter in his 1981 paper^[22] provided a full derivation of the number of states for the standard size 3 Rubik's cube. More recent information sources that adequately justify the figures for the size 3^[3][4][23] and size 4^[24] cubes are also available. References that indicate the number of possible states for a size ${ displaystyle n}$ cube are available.^[24][25][26] The brief material provided below presents the results in the form used in one of these references^[24] which covers the topic in far more detail.

For cubes with unmarked centre cubies the following positive integer constants (represented by P, Q, R, and S) apply. These constants are in agreement with figures frequently quoted for the size 3 and size 4 cubes.

The value of S may warrant a word of explanation as it is commonly inferred that the number of possible states for centre cubies with identifying markings for a size 4 cube is 24!. Use of that value is guaranteed to yield the wrong answer if cubes with marked centres are under consideration. The first 20 cubies can be arbitrarily placed giving rise to factor 24!/4!. However, for each possible arrangement of edge cubies, only half the 4! hypothetical arrangements for the last four are reachable.^[2][24] Hence the correct value for the cube with marked centres is 24!/2. If the markings are removed, then a "permutation with some objects identical"^[21] platí. For the standard cube the marked cube value needs to be divided by (4!)⁶/2 (the 2 divisor must also be applied here). That gives an overall S value for the size 4 cube of 24!/(4!)⁶. All states for 24-centre-cubie orbits for standard Rubik’s family cubes are reachable (if required, even parity is always achievable by swapping the positions of a couple of centre cubies of the same colour).

${displaystyle m={ extrm {P}}{ extrm {Q}}^{a}{ extrm {R}}^{b}{ extrm {S}}^{c}}$

kde ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, a ${ displaystyle c}$ are positive integer proměnné (functions of cube size ${ displaystyle n}$) as given below.

${displaystyle a=n{ extrm {mod}}2}$ (i.e. 0 if ${ displaystyle n}$ is even or 1 if ${ displaystyle n}$ je zvláštní)

${displaystyle b={frac {n-2-a}{2}}}$

${displaystyle c={frac {left(n-2 ight)^{2}-a}{4}}}$

For even size cubes ${displaystyle { extrm {Q}}^{a}=1}$ (vidět umocňování ).

For further simplification, parameter ${ displaystyle m}$ may also be expressed as ${displaystyle m=10^{y}}$ kde ${displaystyle y={ extrm {log}}_{10}m}$. Parametr ${ displaystyle y}$ může souviset s ${ displaystyle n}$ by a continuous quadraticfunction subject to the restriction that ${ displaystyle n}$ must be an integer greater than 1 when referring to possible states for cubes:

${displaystyle y={ extrm {A}}n^{2}+{ extrm {B}}n+{ extrm {C}}}$

where A, B, and C are constants. Constants A and B are the same for ${ displaystyle n}$ even and for ${ displaystyle n}$ odd, but the value of C is different.

In graphical terms, when ${ displaystyle y}$ is plotted,^[24] two parabolae of exactly the same shape are involved, with "even" cube values lying on one and "odd" cube values lying on the other. The difference is imperceptible except when plotted over a small range of ${ displaystyle n}$, as indicated in the graphs reproduced below. Only Rubik’s family values for ${ displaystyle n}$ equal to 2 and 3 are included in the second graph.

Use of the log function y provides the only practical means of plotting numbers that vary over such a huge range as that for the Rubik's cube family. The difference between the curves translates as a factor of 505.08471690483 (equal to ${displaystyle {frac {{ extrm {R}}^{0.5}{ extrm {S}}^{0.25}}{ extrm {Q}}}}$). This is the factor that defines the effect of even size, relative to odd size, on the number of reachable states for cubes with unmarked centres.

Hence, with the logarithmic presentation the number of cube states can be expressed using just four^[27] numbers (A, B, and the two C values). Furthermore, the number of cube states form a restricted set of values for a more general continuous quadratic (parabolic) function for which ${ displaystyle n}$ can have non-integer and negative values. Calculating the value of m from the corresponding value of y is a straightforward process.

Centre cubies are different from corner or edge cubies in that, unless they have indicative markings, there are multiple possibilities for their final orientation and/or locations. The number of different ways centre cubies can be arranged to yield a solved cube with unmarked centre cubies may be of interest. To calculate that, the impact of centre cubie marking needs to be assessed. Definovat ${displaystyle m_{ extrm {M}}}$, ${displaystyle { extrm {Q}}_{ extrm {M}}}$, a ${displaystyle { extrm {S}}_{ extrm {M}}}$ to be the changed parameters for marked centre cubies (P and R remain unchanged).

${displaystyle { extrm {Q}}_{ extrm {M}}={ extrm {TQ}}}$ kde ${displaystyle { extrm {T}}={frac {4^{6}}{2}}=2048}$

${displaystyle { extrm {S}}_{ extrm {M}}={ extrm {VS}}}$ kde ${displaystyle { extrm {V}}={frac {(4!)^{6}}{2}}=95551488}$

${displaystyle m_{ extrm {M}}={ extrm {P}}left({ extrm {Q}}_{ extrm {M}} ight)^{a}{ extrm {R}}^{b}left({ extrm {S}}_{ extrm {M}} ight)^{c}}$

${displaystyle m_{ extrm {M}}=m_{ extrm {D}}m}$

${displaystyle m_{ extrm {M}}={ extrm {T}}^{a}{ extrm {V}}^{c}}$

Parametr ${displaystyle m_{ extrm {M}}}$ defines the number of reachable states for cubes with marked centres. Faktor ${displaystyle m_{ extrm {D}}}$ gives the number of different arrangements of unmarked centre cubies that will provide a solved size ${ displaystyle n}$ krychle. It is also the factor by which the number of different states for a standard cube needs to be multiplied by when marked centres apply.

Unreachable states for cubes of all sizes

The number of unreachable states far exceeds the number of reachable states. There are many references to the number of unreachable states for the size 3 cube but very few for larger size cubes.

The unreachable arrangements for corner and edge cubies are the same for cubes with or without marked centres.

If a corner cubie for cubes of any size is considered, then a 1/3 twist clockwise leaving everything else unchanged will represent an unreachable state, and similarly for a 1/3 twist counter-clockwise. Hence only 1/3 of the twist possibilities are reachable.

For the central edge cubie for odd size cubes the behaviour is the same as that for the size 3 cube. Only half the conceivable positions are reachable and only half the conceivable orientations are reachable. Hence only 1/4 of the central edge cubie movement possibilities are reachable.

Edge cubies that comprise 12 complementary pairs (24 cubies total) behave as if the complementary cubies did not look the same. Any given edge cubie can move to any position in the 24-cubie orbit but for any given position there is one reachable and one unreachable orientation for that cubie. The reverse applies for the complementary edge cubie. For a given cubie (1-2) the reachable and unreachable orientations for a given face for a given orbit for a size 8 cube is illustrated below. One of the 24 reachable possibilities for a given edge cubie matches that of the set cube.

The number of unreachable states for a 24-edge-cubie set is the same as the number of reachable states (24! in each case).

In the case of the marked centre cubies only half the conceivable arrangements for each set of 24 cubies for any given orbit are reachable.^[2] The same parity rules that apply for marked centre cubies also apply for the unmarked centre cubies. A quarter turn of a set-of-four centre cubies cannot be achieved without changing the arrangement elsewhere to meet the parity requirement. Because there are 95551488 ways of arranging the individual centre cubies so that the resulting arrangement appears exactly the same, parity rules can be met without any observable indication of how the parity compliance is achieved. Hence, for the normal case (24 cubies comprising four of each of six colours) there is no restriction on the achievable states for the centre cubies.

The following table uses the values noted above to represent the k component factors for the size ${ displaystyle n}$ krychle. Exponenti A, b a C are functions of cube size ${ displaystyle n}$ jak je definováno výše.

Reduction components for factor k (for standard cube with unmarked centres) and for ${displaystyle k_{ extrm {M}}}$ (for cube with marked centres)	Unmarked centres' cube type	Marked centres' cube type
Corner cubie factor	3	3
Central edge cubie factor (such cubies exist only for cubes of odd size)	${displaystyle 2^{2a}}$	${displaystyle 2^{2a}}$
Complementary edge cubie factor for all 12-pair sets combined	${displaystyle 2^{b}}$	${displaystyle 2^{b}}$
Absolute centre cubie factor (such cubies exist only for cubes of odd size)	1	${displaystyle 2^{a}}$
Centre cubie factor for all 24-cubie sets combined	1	${displaystyle 2^{c}}$

Taking the product of these factors:

For the standard size ${ displaystyle n}$ krychle	${displaystyle k=left(3 ight)2^{2a+b}}$
For the marked centres' size ${ displaystyle n}$ krychle	${displaystyle k_{ extrm {M}}=left(3 ight)2^{3a+b+c}}$

Some values for cubes of small size are given below.

Cube size	2	3	4	5	6	7	8
Value of ${ displaystyle k}$	3	12	6	24	12	48	24
Value of ${displaystyle k_{ extrm {M}}}$	3	24	12	192	192	6144	12288

The number of unreachable states is given by ${displaystyle (k-1)m}$ for standard cubes and by ${displaystyle (k_{ extrm {M}}-1)m_{ extrm {M}}}$ for cubes with marked centre cubies.

Poznámky a odkazy