Vrchol (křivka) - Vertex (curve)

V geometrii rovinných křivky, a vrchol je bod, kde první derivace zakřivení je nula.[1] Toto je obvykle místní maximální nebo minimální zakřivení,[2] a někteří autoři definují vrchol jako lokálnější krajní bod zakřivení.[3] Mohou však nastat další speciální případy, například když je druhá derivace také nulová, nebo když je zakřivení konstantní. Pro prostorové křivky naproti tomu a vrchol je bod, kde kroucení zmizí.
Příklady
Hyperbola má dva vrcholy, jeden na každé větvi; jsou nejbližší ze dvou bodů ležících na protilehlých větvích hyperboly a leží na hlavní ose. Na parabole leží jediný vrchol na ose symetrie a v kvadratickém tvaru:
lze ji najít dokončení náměstí nebo diferenciace.[2] Na elipsě leží dva ze čtyř vrcholů na hlavní ose a dva na vedlejší ose.[4]
Pro kruh, který má konstantní zakřivení, každý bod je vrchol.
Cusps a oscilace
Vrcholy jsou body, kde má křivka 4bodový kontakt s oscilační kruh v tom bodě.[5][6] Naproti tomu obecné body na křivce mají obvykle pouze tříbodový kontakt se svou oscilační kružnicí. The evoluce křivky bude obecně mít a hrot když má křivka vrchol;[6] jiné, více zdegenerované a nestabilní singularity se mohou vyskytovat u vrcholů vyšších řádů, u nichž má oscilační kruh kontakt vyššího řádu než čtyři.[5] Ačkoli jedna obecná křivka nebude mít žádné vrcholy vyššího řádu, bude se obecně vyskytovat v rámci jedné parametrické rodiny křivek, na křivce v rodině, pro kterou se dva obyčejné vrcholy spojí, aby vytvořily vyšší vrchol a poté zničily.
The sada symetrie křivky má koncové body na vrcholcích odpovídajících vrcholům a mediální osa, podmnožina sada symetrie, má také své koncové body v hrbolcích.
Další vlastnosti
Podle klasiky věta o čtyřech vrcholech, každá jednoduchá uzavřená rovinná hladká křivka musí mít alespoň čtyři vrcholy.[7] Obecnějším faktem je, že každá jednoduchá křivka uzavřeného prostoru, která leží na hranici konvexního těla nebo dokonce ohraničuje lokálně konvexní disk, musí mít čtyři vrcholy.[8] Každý křivka konstantní šířky musí mít alespoň šest vrcholů.[9]
Pokud je rovinná křivka oboustranně symetrické, bude mít vrchol v bodě nebo bodech, kde osa symetrie protíná křivku. Pojem vrchol pro křivku tedy úzce souvisí s pojmem optický vrchol, bod, kde protíná optická osa a objektiv povrch.
Poznámky
- ^ Agoston (2005), str. 570; Gibson (2001), str. 126.
- ^ A b Gibson (2001), str. 127.
- ^ Fuchs a Tabachnikov (2007), str. 141.
- ^ Agoston (2005), str. 570; Gibson (2001), str. 127.
- ^ A b Gibson (2001), str. 126.
- ^ A b Fuchs a Tabachnikov (2007), str. 142.
- ^ Agoston (2005), Věta 9.3.9, str. 570; Gibson (2001), Sekce 9.3, „The Four Vertex Theorem“, s. 133–136; Fuchs a Tabachnikov (2007), Věta 10.3, s. 149.
- ^ Sedykh (1994); Ghomi (2015)
- ^ Martinez-Maure (1996); Craizer, Teixeira & Balestro (2018)
Reference
- Agoston, Max K. (2005), Počítačová grafika a geometrické modelování: MatematikaSpringer, ISBN 9781852338176.
- Craizer, Marcos; Teixeira, Ralph; Balestro, Vitor (2018), „Closed cykloids in a normed plane“, Monatshefte für Mathematik, 185 (1): 43–60, doi:10.1007 / s00605-017-1030-5, PAN 3745700.
- Fuchs, D. B.; Tabachnikov, Serge (2007), Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic MathematicsAmerická matematická společnost, ISBN 9780821843161
- Ghomi, Mohammad (2015), Hraniční torze a konvexní čepice lokálně konvexních povrchů, arXiv:1501.07626, Bibcode:2015arXiv150107626G
- Gibson, C. G. (2001), Elementární geometrie diferencovatelných křivek: vysokoškolský úvod, Cambridge University Press, ISBN 9780521011075.
- Martinez-Maure, Yves (1996), „Poznámka k teorému o tenisovém míčku“, Americký matematický měsíčník, 103 (4): 338–340, doi:10.2307/2975192, JSTOR 2975192, PAN 1383672.
- Sedykh, V.D. (1994), „Čtyři vrcholy konvexní prostorové křivky“, Býk. London Math. Soc., 26 (2): 177–180