Locus (matematika) - Locus (mathematics) - Wikipedia

Každá křivka v tomto příkladu je a místo definován jako konchoidní bodu P a čára l. V tomto příkladu P je 8 cm od l.

v geometrie, a místo (množný: loci) (Latinské slovo pro „místo“, „umístění“) je a soubor všech bodů (běžně a čára, a úsečka, a křivka nebo a povrch ), jehož poloha splňuje nebo je určena jednou nebo více specifikovanými podmínkami.^[1][2]

Jinými slovy, množina bodů, které splňují určitou vlastnost, se často nazývá místo bodu uspokojení této vlastnosti. Použití jednotného čísla v této formulaci svědčí o tom, že až do konce 19. století matematici neuvažovali o nekonečných množinách. Místo toho, aby viděli čáry a křivky jako sady bodů, zobrazovaly je jako místa, kde může být bod nachází se nebo se může pohybovat.

Historie a filozofie

Až do začátku 20. století nebyl geometrický tvar (například křivka) považován za nekonečnou množinu bodů; spíše to bylo považováno za entitu, na které může být bod umístěn nebo na které se pohybuje. Tak a kruh v Euklidovské letadlo byl definován jako místo bodu, který je v dané vzdálenosti pevného bodu, středu kružnice. V moderní matematice jsou podobné koncepty častěji přeformulovány popisem tvarů jako množin; jeden například říká, že kružnice je množina bodů, které jsou v dané vzdálenosti od středu.^[3]

Na rozdíl od teoreticko-teoretického pohledu se stará formulace vyhýbá zvažování nekonečných sbírek, protože se vyhýbá skutečné nekonečno byla důležitá filozofická pozice dřívějších matematiků.^[4][5]

Jednou teorie množin se stal univerzálním základem, na kterém je postavena celá matematika,^[6] termín lokus se stal poněkud staromódním.^[7] Přesto je toto slovo stále široce používáno, zejména pro stručnou formulaci, například:

• Kritické místo, soubor kritické body a diferencovatelná funkce.
• Nulové místo nebo mizející místo, množina bodů, kde funkce zmizí, tím, že vezme hodnota nula.
• Singulární lokus, soubor singulární body z algebraická rozmanitost.
• Lokalita propojenosti, podmnožina sady parametrů rodiny racionální funkce pro které Julia set funkce je připojena.

Více nedávno, techniky takový jako teorie schémata a použití teorie kategorií namísto teorie množin dát základ matematice, se vrátili k pojmům spíše jako původní definice lokusu jako objekt sám o sobě, spíše než jako soubor bodů.^[5]

Příklady v rovinné geometrii

Mezi příklady z rovinné geometrie patří:

• Sada bodů ve stejné vzdálenosti od dvou bodů je a kolmá osa do úsečka spojení dvou bodů.^[8]
• Sada bodů ve stejné vzdálenosti od dvou přímek, které se protínají, je úhlová osa.
• Všechno kuželovité úseky jsou loci:^[9]
  • Kruh: množina bodů, pro které je vzdálenost od jednoho bodu konstantní ( poloměr ).
  • Parabola: sada bodů ve stejné vzdálenosti od pevného bodu ( soustředit se ) a řádek ( directrix ).
  • Hyperbola: množina bodů, pro které je absolutní hodnota rozdílu mezi vzdálenostmi ke dvěma daným ohniskám konstantní.
  • Elipsa: množina bodů, pro které je součet vzdáleností ke dvěma daným ohniskám konstantní

Další příklady lokusů se objevují v různých oblastech matematiky. Například v komplexní dynamika, Mandelbrotova sada je podmnožinou souboru složité letadlo které lze charakterizovat jako lokace propojenosti rodiny polynomiálních map.

Důkaz místa

Chcete-li dokázat, že geometrický tvar je správným místem pro danou sadu podmínek, jeden obvykle rozdělí důkaz do dvou fází:^[10]

• Důkaz, že všechny body, které splňují podmínky, jsou na daném tvaru.
• Důkaz, že všechny body na daném tvaru splňují podmínky.

Příklady

(vzdálenost PA) = 3. (vzdálenost PB)

První příklad

Najděte místo bodu P který má daný poměr vzdáleností k = d₁/d₂ na dva dané body.

V tomto příkladu k = 3, A(-1, 0) a B(0, 2) jsou vybrány jako pevné body.

P(X, y) je bodem místa

${ displaystyle Leftrightarrow | PA | = 3 | PB |}$

${ displaystyle Leftrightarrow | PA | ^ {2} = 9 | PB | ^ {2}}$

${ displaystyle Leftrightarrow (x + 1) ^ {2} + (y-0) ^ {2} = 9 (x-0) ^ {2} +9 (y-2) ^ {2}}$

${ displaystyle Leftrightarrow 8 (x ^ {2} + y ^ {2}) - 2x-36y + 35 = 0}$

${ displaystyle Leftrightarrow left (x - { frac {1} {8}} right) ^ {2} + left (y - { frac {9} {4}} right) ^ {2} = { frac {45} {64}}.}$

Tato rovnice představuje a kruh se středem (1/8, 9/4) a poloměrem ${ displaystyle { tfrac {3} {8}} { sqrt {5}}}$. To je kruh Apollonia definované těmito hodnotami k, A, a B.

Druhý příklad

Zaměření bodu C.

Trojúhelník ABC má pevnou stranu [AB] s délkou C. Určete místo třetího vrchol C takové, že mediány z A a C jsou ortogonální.

Vyberte si ortonormální souřadnicový systém takhle A(−C/2, 0), B(C/2, 0). C(X, y) je proměnná třetí vrchol. Centrum [před naším letopočtem] je M((2X + C)/4, y/ 2). Medián z C má sklon y/X. Medián DOPOLEDNE má sklon 2y/(2X + 3C).

Místem je kruh

C(X, y) je bodem místa

${ displaystyle Leftrightarrow}$ mediány z A a C jsou kolmé

${ displaystyle Leftrightarrow { frac {y} {x}} cdot { frac {2y} {2x + 3c}} = - 1}$

${ displaystyle Leftrightarrow 2y ^ {2} + 2x ^ {2} + 3cx = 0}$

${ displaystyle Leftrightarrow x ^ {2} + y ^ {2} + (3c / 2) x = 0}$

${ displaystyle Leftrightarrow (x + 3c / 4) ^ {2} + y ^ {2} = 9c ^ {2} / 16.}$

Místo vrcholu C je kruh se středem (−3C/ 4, 0) a poloměr 3C/4.

Třetí příklad

Průsečík příslušných čar k a l popisuje kruh

Místo může být také definováno dvěma přidruženými křivkami v závislosti na jedné společné parametr. Pokud se parametr mění, popisují průsečík přidružených křivek místo.

Na obrázku body K. a L jsou pevné body na dané linii m. Linie k je variabilní řádek skrz K.. Linie l přes L je kolmý na k. Úhel ${ displaystyle alpha}$ mezi k a m je parametr.k a l jsou přidružené řádky v závislosti na společném parametru. Proměnný průsečík S z k a l popisuje kruh. Tato kružnice je místem průsečíku dvou přidružených čar.

Čtvrtý příklad

Místo bodů nemusí být jednorozměrné (jako kruh, čára atd.). Například,^[1] místo nerovnosti 2X + 3y – 6 < 0 je část roviny, která je pod přímkou ​​rovnice 2X + 3y – 6 = 0.

Viz také

• Algebraická rozmanitost
• Křivka
• Čára (geometrie)
• Region (geometrie)
• Tvar (geometrie)

Reference