Cissoid of Diocles - Cissoid of Diocles

Cissoid Diocles sledován body M s OM = M₁M₂.

Animace vizualizující cissoid Diocles

v geometrie, cissoid Diocles je křivka kubické roviny pozoruhodný vlastností, kterou lze použít ke konstrukci dvou znamenají proporcionální k danému poměr. Zejména to lze použít k zdvojnásobit kostku. Lze jej definovat jako cissoid a kruh a řádek tečna k tomu vzhledem k bodu na kružnici opačné k bodu tečnosti. Ve skutečnosti rodina křivek cissoidů je pro tento příklad pojmenován a někteří autoři jej označují jednoduše jako the cissoid. Má jediný hrot u pólu a je symetrický kolem průměru kružnice, která je přímkou ​​tečnosti hrotu. Linka je asymptota. Je členem konchoid de Sluze rodina křivek a ve formě se podobá a traktrix.

Slovo "cissoid" pochází z řecký κισσοειδής kissoeidēs "břečťan ve tvaru „od κισσός Kissos „břečťan“ a -οειδής -oeidēs "mít podobu". Křivka je pojmenována pro Diocles který ji studoval ve 2. století př. n. l.

Konstrukce a rovnice

Nechte poloměr C být A. Překladem a rotací můžeme vzít Ó být počátkem a středem kruhu, který má být (A, 0), takže A je (2A, 0). Pak polární rovnice L a C jsou:

${ displaystyle r = 2a sec theta}$

${ displaystyle r = 2a cos theta}$.

Konstrukčně se vzdálenost od počátku do bodu na cissoidu rovná rozdílu mezi vzdálenostmi mezi počátkem a odpovídajícími body na L a C. Jinými slovy, polární rovnice cissoidu je

${ displaystyle r = 2a sec theta -2a cos theta = 2a ( sec theta - cos theta)}$.

Použitím některých trigonometrických identit je to ekvivalentní s

${ displaystyle r = 2a sin ^ {2} ! theta / cos theta = 2a sin theta tan theta}$.

Nechat ${ displaystyle t = tan theta}$ ve výše uvedené rovnici. Pak

${ displaystyle x = r cos theta = 2a sin ^ {2} ! theta = { frac {2a tan ^ {2} ! theta} { sec ^ {2} ! theta }} = { frac {2at ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}}$

${ displaystyle y = tx = { frac {2at ^ {3}} {1 + t ^ {2}}}}$

jsou parametrické rovnice pro cissoid.

Převedením polárního tvaru na kartézské souřadnice vznikne

${ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) x = 2ay ^ {2}}$

Konstrukce dvojitým promítáním

Mechanismus generování cissoidu

A kompas a pravítko konstrukce různých bodů na cissoidu probíhá následovně. Vzhledem k linii L a bod Ó ne na L, postavte linku L ' přes Ó paralela k L. Vyberte variabilní bod P na La konstrukt Q, ortogonální projekce P na L ', pak R, ortogonální projekce Q na OP. Pak je cissoid lokusem bodů R.

Chcete-li to vidět, nechte Ó být původem a L linie X = 2a jak je uvedeno výše. Nechat P být bod (2A, 2na); pak Q je (0, 2na) a rovnici přímky OP je y=tx. Linka prošla Q kolmo na OP je

${ displaystyle t (y-2at) + x = 0}$.

Najít průsečík R, nastavit y = tx v této rovnici získat

${ displaystyle t (tx-2at) + x = 0, x (t ^ {2} +1) = 2at ^ {2}, x = { frac {2at ^ {2}} {t ^ {2 } +1}}}$

${ displaystyle y = tx = { frac {2at ^ {3}} {t ^ {2} +1}}}$

což jsou výše uvedené parametrické rovnice.

I když tato konstrukce produkuje libovolně mnoho bodů na cissoidu, nemůže vystopovat žádný spojitý segment křivky.

Newtonova konstrukce

Newtonova konstrukce

Následující konstrukci zadal Isaac Newton. Nechat J být řádek a B bod není zapnutý J. Nechat BST být pravý úhel, který se pohybuje tak, že SVATÝ rovná se vzdálenosti od B na J a T zůstává zapnutý J, zatímco druhá noha BS klouže B. Pak střed P z SVATÝ popisuje křivku.

Chcete-li to vidět,^[1] nechť vzdálenost mezi B a J být 2A. Překladem a rotací vezměte B = (- a, 0) a J linie X=A. Nechat P = (X, y) a nechť ψ je úhel mezi SB a X-osa; to se rovná úhlu mezi SVATÝ a J. Podle konstrukce PT = A, takže vzdálenost od P na J je A hřích ψ. Jinými slovy A-X = A hřích ψ. Taky, SP = A je y souřadnice (X, y) pokud je otočen o úhel ψ, tak A = (X+A) hřích ψ +y cos ψ. Po zjednodušení se vytvoří parametrické rovnice

${ displaystyle x = a (1- sin psi), , y = a { frac {(1- sin psi) ^ {2}} { cos psi}}.}$

Chcete-li změnit parametry, nahraďte ψ jeho doplňkem

${ displaystyle x = a (1- cos psi), , y = a { frac {(1- cos psi) ^ {2}} { sin psi}}}$

nebo použitím vzorců dvojitého úhlu,

${ displaystyle x = 2a sin ^ {2} { psi nad 2}, , y = a { frac {4 sin ^ {4} { psi nad 2}} {2 sin { psi nad 2} cos { psi nad 2}}} = 2a { frac { sin ^ {3} { psi nad 2}} { cos { psi nad 2}}}.}$

Ale toto je polární rovnice

${ displaystyle r = 2a sin ^ {2} theta / cos theta}$

uvedené výše s θ = Ψ / 2.

Všimněte si, že stejně jako u konstrukce s dvojitým výstupkem může být toto přizpůsobeno k výrobě mechanického zařízení, které generuje křivku.

Delianův problém

Řecký geometr Diocles použil cissoid k získání dvou středních úměrných k danému poměr. To znamená, že dané délky A a b, křivku lze použít k vyhledání u a proti aby A je u tak jako u je proti tak jako proti je b tj. A/u=u/proti=proti/b, jak objevil Hippokrates z Chiosu. Jako zvláštní případ to lze použít k vyřešení problému Delian: kolik musí být délka a krychle být zvýšena, aby dvojnásobek své objem ? Konkrétně pokud A je strana krychle a b=2A, pak objem krychle strany u je

${ displaystyle u ^ {3} = a ^ {3} ({ tfrac {u} {a}}) ^ {3} = a ^ {3} ({ tfrac {u} {a}}) ({ tfrac {v} {u}}) ({ tfrac {b} {v}}) = a ^ {3} ({ tfrac {b} {a}}) = 2a ^ {3}}$

tak u je strana krychle s dvojnásobným objemem oproti původní krychli. Všimněte si však, že toto řešení nespadá pod pravidla konstrukce kompasu a pravítka protože se spoléhá na existenci cissoidu.

Nechat A a b být dán. Je nutné najít u aby u³=A²bdávat u a proti=u²/A jako střední proporcionál. Nechť cissoid

${ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) x = 2ay ^ {2}}$

být konstruovány tak, jak je uvedeno výše, s Ó původ, A bod (2A, 0) a J linie X=A, také jak je uvedeno výše. Nechat C být průsečíkem J s OA. Z dané délky b, označit B na J aby CB=b. Kreslit BA a nechte P = (X, y) je bod, kde protíná cissoid. Kreslit OP a necháme to protnout se J na U. Pak u=UK je požadovaná délka.

Chcete-li to vidět,^[2] přepište rovnici křivky na

${ displaystyle y ^ {2} = { frac {x ^ {3}} {2a-x}}}$

a nechte N = (X, 0), takže PN je kolmá na OA přes PZ rovnice křivky

${ displaystyle PN ^ {2} = { frac {ON ^ {3}} {NA}}.}$

Z tohoto,

${ displaystyle { frac {PN ^ {3}} {ON ^ {3}}} = { frac {PN} {NA}}.}$

Podobnými trojúhelníky PN/NA=VIDÍŠ/OC a PN/NA=před naším letopočtem/CA. Rovnice se tedy stává

${ displaystyle { frac {UC ^ {3}} {OC ^ {3}}} = { frac {BC} {CA}},}$

tak

${ displaystyle { frac {u ^ {3}} {a ^ {3}}} = { frac {b} {a}}, , u ^ {3} = a ^ {2} b}$

podle potřeby.

Diocles opravdu nevyřešil delianský problém. Důvodem je, že Diokleův cissoid nemůže být sestrojen dokonale, alespoň ne kompasem a pravítkem. Chcete-li sestrojit Dioklovu cissoid, vytvořte konečný počet jejích jednotlivých bodů a potom všechny tyto body spojte a vytvořte křivku. Problém je v tom, že neexistuje žádný přesně definovaný způsob propojení bodů. Pokud jsou spojeny úsečkami, pak bude konstrukce dobře definovaná, ale nebude to přesný cissoid Diocles, ale pouze aproximace. Podobně, pokud jsou tečky spojeny kruhovými oblouky, bude konstrukce dobře definovaná, ale nesprávná. Nebo lze jednoduše nakreslit křivku přímo a pokusit se okouzlit tvar křivky, ale výsledkem by byly jen nepřesné dohady.

Jakmile je nakreslena konečná množina bodů na cissoidu, pak čára PC pravděpodobně nebude přesně protínat jeden z těchto bodů, ale bude mezi nimi procházet, protínající cissoid Diocles v určitém bodě, jehož přesné umístění nebylo zkonstruováno, ale bylo pouze aproximováno. Alternativou je stále přidávat konstruované body k cissoidu, které se přibližují a přibližují k průsečíku s přímkou PC, ale počet kroků může být velmi dobře nekonečný a Řekové neuznávali aproximace jako limity nekonečných kroků (takže byli velmi zmateni Zenonovy paradoxy ).

Dalo by se také postavit cissoid Diocles pomocí mechanického nástroje speciálně navrženého pro tento účel, ale to porušuje pravidlo pouze používání kompasu a pravítka. Toto pravidlo bylo stanoveno z důvodu logické - axiomatické - konzistence. Povolení konstrukce novými nástroji by bylo jako přidání nového axiomy, ale axiomy mají být jednoduché a samozřejmé, ale takové nástroje nejsou. Podle pravidel klasické, syntetická geometrie „Diocles nevyřešil delianský problém, který ve skutečnosti nelze takovými prostředky vyřešit.

Na druhou stranu, pokud přijmeme, že cissoidy Diocles ano existovat, pak musí existovat alespoň jeden příklad takového cissoidu. Tento cissoid by pak mohl být přeložen, otočen a rozšířen nebo zmenšen ve velikosti (beze změny jeho úměrný tvar) dle libosti, aby se vešly do jakékoli polohy. Pak by člověk snadno připustil, že takový cissoid lze použít ke správnému vyřešení delianského problému.

Jako křivka pedálu

The křivka pedálu paraboly vzhledem k jejímu vrcholu je cissoid Diocles.^[3] Geometrické vlastnosti pedálových křivek obecně produkují několik alternativních metod konstrukce cissoidu. Jsou to obálky kruhů, jejichž střed leží na parabole a které procházejí vrcholem paraboly. Také pokud jsou shodné paraboly jsou nastaveny vrchol od vrcholu a jeden je válcován podél druhého; vrchol válcování paraboly vystopuje cissoid.

Dvojice paraboly stojí proti sobě symetricky: jedna nahoře a druhá dole. Potom se vrchní parabola převalí bez sklouznutí po spodní a její po sobě jdoucí pozice se zobrazí v animaci. Cesta, kterou sleduje vrchol vrchní paraboly, jak se valí, je ruleta zobrazená červeně, což je cissoid Diocles.

Inverze

Cissoid Diocles lze také definovat jako inverzní křivka paraboly se středem inverze na vrcholu. Chcete-li to vidět, vezměte si parabolu X = y², v polárních souřadnicích ${ displaystyle r cos theta = (r sin theta) ^ {2}}$ nebo:

${ displaystyle r = { frac { cos theta} { sin ^ {2} ! theta}} ,.}$

Inverzní křivka je tedy:

${ displaystyle r = { frac { sin ^ {2} ! theta} { cos theta}} = sin theta tan theta,}$

což souhlasí s polární rovnicí cissoidu výše.

Reference

• J. Dennis Lawrence (1972). Katalog speciálních rovinných křivek. Dover Publications. str.95, 98–100. ISBN  0-486-60288-5.
• Weisstein, Eric W. „Cissoid of Diocles“. MathWorld.
• „Cissoid of Diocles“ ve Vizuálním slovníku zvláštních rovinných křivek
• „Cissoid of Diocles“ v seznamu známých křivek MacTutoru
• „Cissoid“ na 2dcurves.com
• „Cissoïde de Dioclès ou Cissoïde Droite“ at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (francouzsky)
• „Cissoid“ Základní pojednání o kubických a kvartických křivkách Alfred Barnard Basset (1901) Cambridge, str. 85 a násl