tento článek
potřebuje další citace pro ověření .
Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn.Najít zdroje: „Nefroid“ – zprávy · noviny · knihy · učenec · JSTOR (Květen 2018 ) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)
generace nefroidu válcovaným kruhem
v geometrie , a nefroidní (z řecký ὁ νεφρός ho nephros ) je specifický rovinná křivka jehož jméno znamená 'ledviny -shaped '(porovnej nefrologie ). Ačkoli termín nefroidní byl použit k popisu dalších křivek, byl aplikován na křivku v tomto článku Proctorem v roce 1878.[1]
Nefroid je algebraická křivka z stupeň 6. Lze jej generovat válcováním kruhu s poloměrem A { displaystyle a} na vnější straně pevného kruhu s poloměrem 2 A { displaystyle 2a} . Proto je nefroidní epicykloid .
Rovnice Nefroid: definice
Pokud má malý kruh poloměr A { displaystyle a} , pevná kružnice má střed ( 0 , 0 ) { displaystyle (0,0)} a poloměr 2 A { displaystyle 2a} , úhel natočení malého kruhu je 2 φ { displaystyle 2 varphi} a ukázat ( 2 A , 0 ) { displaystyle (2a, 0)} výchozí bod (viz schéma), pak jeden dostane
parametrická reprezentace X ( φ ) = 3 A cos φ − A cos 3 φ = 6 A cos φ − 4 A cos 3 φ , { displaystyle x ( varphi) = 3a cos varphi -a cos 3 varphi = 6a cos varphi -4a cos ^ {3} varphi ,} y ( φ ) = 3 A hřích φ − A hřích 3 φ = 4 A hřích 3 φ , 0 ≤ φ < 2 π { Displaystyle y ( varphi) = 3a sin varphi -a sin 3 varphi = 4a sin ^ {3} varphi , qquad 0 leq varphi <2 pi} Vkládání X ( φ ) { displaystyle x ( varphi)} a y ( φ ) { displaystyle y ( varphi)} do rovnice
( X 2 + y 2 − 4 A 2 ) 3 = 108 A 4 y 2 { displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = 108a ^ {4} y ^ {2}} ukazuje, že tato rovnice je implicitní reprezentace křivky.
důkaz parametrického vyjádření Důkaz parametrického vyjádření lze snadno provést pomocí komplexních čísel a jejich vyjádření jako složité letadlo . Pohyb malého kruhu lze rozdělit na dvě rotace. V komplexní rovině rotace bodu z { displaystyle z} kolem bodu 0 { displaystyle 0} (počátek) o úhel φ { displaystyle varphi} lze provést násobením bodu z { displaystyle z} (komplexní číslo) o E i φ { displaystyle e ^ {i varphi}} . Proto
otáčení Φ 3 { displaystyle Phi _ {3}} kolem bodu 3 A { displaystyle 3a} podle úhlu 2 φ { displaystyle 2 varphi} je : z ↦ 3 A + ( z − 3 A ) E i 2 φ { displaystyle: z mapsto 3a + (z-3a) e ^ {i2 varphi}} , otáčení Φ 0 { displaystyle Phi _ {0}} kolem bodu 0 { displaystyle 0} podle úhlu φ { displaystyle varphi} je : z ↦ z E i φ { displaystyle: quad z mapsto ze ^ {i varphi}} . Bod p ( φ ) { displaystyle p ( varphi)} nefroidu je generováno rotací bodu 2 A { displaystyle 2a} podle Φ 3 { displaystyle Phi _ {3}} a následná rotace s Φ 0 { displaystyle Phi _ {0}} :
p ( φ ) = Φ 0 ( Φ 3 ( 2 A ) ) = Φ 0 ( 3 A − A E i 2 φ ) = ( 3 A − A E i 2 φ ) E i φ = 3 A E i φ − A E i 3 φ { displaystyle p ( varphi) = Phi _ {0} ( Phi _ {3} (2a)) = Phi _ {0} (3a-ae ^ {i2 varphi}) = (3a-ae ^ {i2 varphi}) e ^ {i varphi} = 3ae ^ {i varphi} -ae ^ {i3 varphi}} .Z toho jeden dostane
X ( φ ) = 3 A cos φ − A cos 3 φ = 6 A cos φ − 4 A cos 3 φ , y ( φ ) = 3 A hřích φ − A hřích 3 φ = 4 A hřích 3 φ . { displaystyle { begin {pole} {cclcccc} x ( varphi) & = & 3a cos varphi -a cos 3 varphi & = & 6a cos varphi -4a cos ^ {3} varphi , && y ( varphi) & = & 3a sin varphi -a sin 3 varphi & = & 4a sin ^ {3} varphi &. & end {pole}}} (Vzorce E i φ = cos φ + i hřích φ , cos 2 φ + hřích 2 φ = 1 , cos 3 φ = 4 cos 3 φ − 3 cos φ , hřích 3 φ = 3 hřích φ − 4 hřích 3 φ { Displaystyle e ^ {i varphi} = cos varphi + i sin varphi, cos ^ {2} varphi + sin ^ {2} varphi = 1, cos 3 varphi = 4 cos ^ {3} varphi -3 cos varphi, ; sin 3 varphi = 3 sin varphi -4 sin ^ {3} varphi} byly použity. Vidět trigonometrické funkce .)
důkaz implicitního vyjádření S
X 2 + y 2 − 4 A 2 = ( 3 A cos φ − A cos 3 φ ) 2 + ( 3 A hřích φ − A hřích 3 φ ) 2 − 4 A 2 = ⋯ = 6 A 2 ( 1 − cos 2 φ ) = 12 A 2 hřích 2 φ { displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2} = (3a cos varphi -a cos 3 varphi) ^ {2} + (3a sin varphi -a sin 3 varphi) ^ {2} -4a ^ {2} = cdots = 6a ^ {2} (1- cos 2 varphi) = 12a ^ {2} sin ^ {2} varphi} jeden dostane
( X 2 + y 2 − 4 A 2 ) 3 = ( 12 A 2 ) 3 hřích 6 φ = 108 A 4 ( 4 A hřích 3 φ ) 2 = 108 A 4 y 2 . { displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = (12a ^ {2}) ^ {3} sin ^ {6} varphi = 108a ^ { 4} (4a sin ^ {3} varphi) ^ {2} = 108a ^ {4} y ^ {2} .} jiná orientace Pokud jsou hrbolky na ose y, je parametrické vyjádření
X = 3 A cos φ + A cos 3 φ , y = 3 A hřích φ + A hřích 3 φ ) . { Displaystyle x = 3a cos varphi + a cos 3 varphi, quad y = 3a sin varphi + a sin 3 varphi).} a implicitní:
( X 2 + y 2 − 4 A 2 ) 3 = 108 A 4 X 2 . { displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = 108a ^ {4} x ^ {2}.} Metrické vlastnosti Pro nefroid nad
délka oblouku je L = 24 A , { displaystyle L = 24a,} plocha A = 12 π A 2 { displaystyle A = 12 pi a ^ {2} } apoloměr zakřivení je ρ = | 3 A hřích φ | . { displaystyle rho = | 3a sin varphi |.} Důkazy těchto tvrzení používají vhodné vzorce na křivkách (délka oblouku , plocha a poloměr zakřivení ) a výše parametrická reprezentace
X ( φ ) = 6 A cos φ − 4 A cos 3 φ , { displaystyle x ( varphi) = 6a cos varphi -4a cos ^ {3} varphi ,} y ( φ ) = 4 A hřích 3 φ { displaystyle y ( varphi) = 4a sin ^ {3} varphi} a jejich deriváty
X ˙ = − 6 A hřích φ ( 1 − 2 cos 2 φ ) , X ¨ = − 6 A cos φ ( 5 − 6 cos 2 φ ) , { displaystyle { dot {x}} = - 6a sin varphi (1-2 cos ^ {2} varphi) , quad { ddot {x}} = - 6a cos varphi ( 5-6 cos ^ {2} varphi) ,} y ˙ = 12 A hřích 2 φ cos φ , y ¨ = 12 A hřích φ ( 3 cos 2 φ − 1 ) . { displaystyle { dot {y}} = 12a sin ^ {2} varphi cos varphi quad, quad quad quad quad { ddot {y}} = 12a sin varphi (3 cos ^ {2} varphi -1) .} důkaz délky oblouku L = 2 ∫ 0 π X ˙ 2 + y ˙ 2 d φ = ⋯ = 12 A ∫ 0 π hřích φ d φ = 24 A { displaystyle L = 2 int _ {0} ^ { pi} { sqrt {{ dot {x}} ^ {2} + { dot {y}} ^ {2}}} ; d varphi = cdots = 12a int _ {0} ^ { pi} sin varphi ; d varphi = 24a} .důkaz pro tuto oblast A = 2 ⋅ 1 2 | ∫ 0 π [ X y ˙ − y X ˙ ] d φ | = ⋯ = 24 A 2 ∫ 0 π hřích 2 φ d φ = 12 π A 2 { displaystyle A = 2 cdot { tfrac {1} {2}} | int _ {0} ^ { pi} [x { dot {y}} - y { dot {x}}]] ; d varphi | = cdots = 24a ^ {2} int _ {0} ^ { pi} sin ^ {2} varphi ; d varphi = 12 pi a ^ {2}} .důkaz poloměru zakřivení ρ = | ( X ˙ 2 + y ˙ 2 ) 3 2 X ˙ y ¨ − y ˙ X ¨ | = ⋯ = | 3 A hřích φ | . { displaystyle rho = left | { frac { left ({{ dot {x}} ^ {2} + { dot {y}} ^ {2}} right) ^ { frac {3 } {2}}} {{ dot {x}} { ddot {y}} - { dot {y}} { ddot {x}}}} doprava | = cdots = | 3a sin varphi |.} Nefroid jako obálka tužky kruhů
Nefroid jako obálka tužky kruhů Nech být C 0 { displaystyle c_ {0}} kruh a D 1 , D 2 { displaystyle D_ {1}, D_ {2}} body průměru d 12 { displaystyle d_ {12}} , pak obálka tužky kruhů, na kterých jsou středové body C 0 { displaystyle c_ {0}} a dotýkají se d 12 { displaystyle d_ {12}} je nefroidní s hrbolky D 1 , D 2 { displaystyle D_ {1}, D_ {2}} . důkaz Nechat C 0 { displaystyle c_ {0}} být kruh ( 2 A cos φ , 2 A hřích φ ) { displaystyle (2a cos varphi, 2a sin varphi)} se středem ( 0 , 0 ) { displaystyle (0,0)} a poloměr 2 A { displaystyle 2a} . Průměr může ležet na ose x (viz obrázek). Tužka kruhů má rovnice:
F ( X , y , φ ) = ( X − 2 A cos φ ) 2 + ( y − 2 A hřích φ ) 2 − ( 2 A hřích φ ) 2 = 0 . { displaystyle f (x, y, varphi) = (x-2a cos varphi) ^ {2} + (y-2a sin varphi) ^ {2} - (2a sin varphi) ^ { 2} = 0 .} Podmínka obálky je
F φ ( X , y , φ ) = 2 A ( X hřích φ − y cos φ − 2 A cos φ hřích φ ) = 0 . { displaystyle f _ { varphi} (x, y, varphi) = 2a (x sin varphi -y cos varphi -2a cos varphi sin varphi) = 0 .} Dá se snadno zkontrolovat, zda jde o nefroid p ( φ ) = ( 6 A cos φ − 4 A cos 3 φ , 4 A hřích 3 φ ) { displaystyle p ( varphi) = (6a cos varphi -4a cos ^ {3} varphi ;, ; 4a sin ^ {3} varphi)} je řešením systému F ( X , y , φ ) = 0 , F φ ( X , y , φ ) = 0 { displaystyle f (x, y, varphi) = 0, ; f _ { varphi} (x, y, varphi) = 0} a tedy bod obálky tužky kruhů.
Nefroid jako obálka tužky čar nefroid: tangenty jako akordy kruhu, princip
nefroid: tečny jako akordy kruhu
Podobně jako generace a kardioidní jako obálka tužky čar platí následující postup:
Nakreslete kruh a rozdělte jeho obvod na stejně oddělené části pomocí 3 N { displaystyle 3N} body (viz diagram) a postupně je očíslovat. Nakreslete akordy: ( 1 , 3 ) , ( 2 , 6 ) , . . . . , ( n , 3 n ) , . . . . , ( N , 3 N ) , ( N + 1 , 3 ) , ( N + 2 , 6 ) , . . . . , { displaystyle (1,3), (2,6), ...., (n, 3n), ...., (N, 3N), (N + 1,3), (N + 2, 6), ....,} . (tj .: Druhý bod se pohybuje trojnásobnou rychlostí.) The obálka z těchto akordů je nefroidní. důkaz Následující úvaha používá trigonometrické vzorce pro cos α + cos β , hřích α + hřích β , cos ( α + β ) , cos 2 α { Displaystyle cos alpha + cos beta, sin alpha + sin beta, cos ( alpha + beta), cos 2 alfa} . Aby byly výpočty jednoduché, je poskytnut důkaz pro nefroid s hrbolky na ose y.
rovnice tečny pro nefroid s parametrickým znázorněním X = 3 cos φ + cos 3 φ , y = 3 hřích φ + hřích 3 φ { displaystyle x = 3 cos varphi + cos 3 varphi, ; y = 3 sin varphi + sin 3 varphi} :Z toho jeden určuje normální vektor n → = ( y ˙ , − X ˙ ) T { displaystyle { vec {n}} = ({ dot {y}}, - { dot {x}}) ^ {T}} , nejprve. Rovnice tečny y ˙ ( φ ) ⋅ ( X − X ( φ ) ) − X ˙ ( φ ) ⋅ ( y − y ( φ ) ) = 0 { displaystyle { dot {y}} ( varphi) cdot (x-x ( varphi)) - { dot {x}} ( varphi) cdot (y-y ( varphi)) = 0} je:
( cos 2 φ ⋅ X + hřích 2 φ ⋅ y ) cos φ = 4 cos 2 φ . { displaystyle ( cos 2 varphi cdot x + sin 2 varphi cdot y) cos varphi = 4 cos ^ {2} varphi .} Pro φ = π 2 , 3 π 2 { displaystyle varphi = { tfrac { pi} {2}}, { tfrac {3 pi} {2}}} jeden dostane hrbolky nefroidu, kde není tečna. Pro φ ≠ π 2 , 3 π 2 { displaystyle varphi neq { tfrac { pi} {2}}, { tfrac {3 pi} {2}}} lze rozdělit podle cos φ { displaystyle cos varphi} získat
cos 2 φ ⋅ X + hřích 2 φ ⋅ y = 4 cos φ . { displaystyle cos 2 varphi cdot x + sin 2 varphi cdot y = 4 cos varphi .} rovnice akordu do kruhu se středem ( 0 , 0 ) { displaystyle (0,0)} a poloměr 4 { displaystyle 4} : Rovnice akordu obsahující dva body ( 4 cos θ , 4 hřích θ ) , ( 4 cos 3 θ , 4 hřích 3 θ ) ) { displaystyle (4 cos theta, 4 sin theta), (4 cos { color {red} 3} theta, 4 sin { color {red} 3} theta))} je: ( cos 2 θ ⋅ X + hřích 2 θ ⋅ y ) hřích θ = 4 cos θ hřích θ . { Displaystyle ( cos 2 theta cdot x + sin 2 theta cdot y) sin theta = 4 cos theta sin theta .} Pro θ = 0 , π { displaystyle theta = 0, pi} akord degeneruje do určité míry. Pro θ ≠ 0 , π { displaystyle theta neq 0, pi} lze rozdělit podle hřích θ { displaystyle sin theta} a dostane rovnici akordu:
cos 2 θ ⋅ X + hřích 2 θ ⋅ y = 4 cos θ . { displaystyle cos 2 theta cdot x + sin 2 theta cdot y = 4 cos theta .} Dva úhly φ , θ { displaystyle varphi, theta} jsou definovány odlišně ( φ { displaystyle varphi} je polovina úhlu odvalování, θ { displaystyle theta} je parametr kružnice, jejíž akordy jsou určeny), pro φ = θ { displaystyle varphi = theta} jeden dostane stejnou linku. Proto je jakýkoli akord z kruhu nahoře tečný k nefroidu a
nefroid je obálka akordů kruhu. Nefroid jako žíravina jedné poloviny kruhu nefroid jako žíravina kruhu: princip
nefroid jako žíravina jedné poloviny kruhu
Úvahy uvedené v předchozí části dokazují, že žíravý jedné poloviny kruhu je nefroid.
Pokud se v rovině rovnoběžné světelné paprsky setkají s odrážející polovinou kruhu (viz diagram), pak jsou odražené paprsky tečny k nefroidu. důkaz Kružnice může mít počátek jako střed (jako v předchozí části) a její poloměr je 4 { displaystyle 4} . Kruh má parametrické vyjádření
k ( φ ) = 4 ( cos φ , hřích φ ) . { displaystyle k ( varphi) = 4 ( cos varphi, sin varphi) .} Tečna v bodě kruhu K. : k ( φ ) { displaystyle K: k ( varphi)} má normální vektor n → t = ( cos φ , hřích φ ) T { displaystyle { vec {n}} _ {t} = ( cos varphi, sin varphi) ^ {T}} . Odražený paprsek má normální vektor (viz diagram) n → r = ( cos 2 φ , hřích 2 φ ) T { displaystyle { vec {n}} _ {r} = ( cos { color {red} 2} varphi, sin { color {red} 2} varphi) ^ {T}} a obsahující kruhový bod K. : 4 ( cos φ , hřích φ ) { displaystyle K: 4 ( cos varphi, sin varphi)} . Odražený paprsek je tedy součástí přímky s rovnicí
cos 2 φ ⋅ X + hřích 2 φ ⋅ y = 4 cos φ , { displaystyle cos { color {red} 2} varphi cdot x + sin { color {red} 2} varphi cdot y = 4 cos varphi ,} který je tečný k nefroidu předchozí části v bodě
P : ( 3 cos φ + cos 3 φ , 3 hřích φ + hřích 3 φ ) { Displaystyle P: (3 cos varphi + cos 3 varphi, 3 sin varphi + sin 3 varphi)} (viz výše).Evoluce a evoluce nefroidu nefroid a jeho vývoj purpurová: bod s oscilační kružnicí a středem zakřivení
Evolute The evoluce křivky je místo středů zakřivení. Podrobněji: Pro křivku X → = C → ( s ) { displaystyle { vec {x}} = { vec {c}} (y)} s poloměrem zakřivení ρ ( s ) { Displaystyle rho (y)} evoluce má zastoupení
X → = C → ( s ) + ρ ( s ) n → ( s ) . { displaystyle { vec {x}} = { vec {c}} (s) + rho (s) { vec {n}} (s).} s n → ( s ) { displaystyle { vec {n}} (y)} vhodně orientovaná jednotka normální.
Za nefroid dostane:
The evoluce nefroidu je další nefroidní o polovinu větší a otočený o 90 stupňů (viz obrázek). důkaz Nefroid, jak je znázorněno na obrázku, má parametrické vyjádření
X = 3 cos φ + cos 3 φ , y = 3 hřích φ + hřích 3 φ , { displaystyle x = 3 cos varphi + cos 3 varphi, quad y = 3 sin varphi + sin 3 varphi ,} normální vektor jednotky směřující do středu zakřivení
n → ( φ ) = ( − cos 2 φ , − hřích 2 φ ) T { displaystyle { vec {n}} ( varphi) = (- cos 2 varphi, - sin 2 varphi) ^ {T}} (viz část výše)a poloměr zakřivení 3 cos φ { displaystyle 3 cos varphi} (s. část o metrických vlastnostech). Evolute má tedy zastoupení:
X = 3 cos φ + cos 3 φ − 3 cos φ ⋅ cos 2 φ = ⋯ = 3 cos φ − 2 cos 3 φ , { displaystyle x = 3 cos varphi + cos 3 varphi -3 cos varphi cdot cos 2 varphi = cdots = 3 cos varphi -2 cos ^ {3} varphi,} y = 3 hřích φ + hřích 3 φ − 3 cos φ ⋅ hřích 2 φ = ⋯ = 2 hřích 3 φ , { displaystyle y = 3 sin varphi + sin 3 varphi -3 cos varphi cdot sin 2 varphi = cdots = 2 sin ^ {3} varphi ,} což je nefroidní polovina tak velká a otočená o 90 stupňů (viz diagram a část # Rovnice výše)
Evolventní Protože vývoj nefroidu je dalším nefroidem, evolventní nefroidu je také další nefroid. Původní nefroid na obrázku je evolventní s menším nefroidem.
inverze (zelená) nefroidního (červená) přes modrý kruh
Inverze nefroidu The inverze
X ↦ 4 A 2 X X 2 + y 2 , y ↦ 4 A 2 y X 2 + y 2 { displaystyle x mapsto { frac {4a ^ {2} x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}, quad y mapsto { frac {4a ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}} přes kruh se středem ( 0 , 0 ) { displaystyle (0,0)} a poloměr 2 A { displaystyle 2a} mapuje nefroid s rovnicí
( X 2 + y 2 − 4 A 2 ) 3 = 108 A 4 y 2 { displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = 108a ^ {4} y ^ {2}} na křivku stupně 6 pomocí rovnice
( 4 A 2 − ( X 2 + y 2 ) ) 3 = 27 A 2 ( X 2 + y 2 ) y 2 { displaystyle (4a ^ {2} - (x ^ {2} + y ^ {2})) ^ {3} = 27a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) y ^ { 2}} (viz schéma). Nefroid v každodenním životě: a
žíravý odrazu světla zevnitř válce.
Reference Arganbright, D., Praktická příručka tabulkových křivek a geometrických konstrukcí , CRC Press, 1939, ISBN 0-8493-8938-0, str. 54. Borceux, F., Diferenciální přístup k geometrii: Geometrická trilogie III , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8, str. 148. Lockwood, E. H., Kniha křivek, Cambridge University Press, 1961, ISBN 978-0-521-0-5585-7, str. 7. externí odkazy