Trochoid - Trochoid

A cykloidní (obyčejný trochoid) generovaný valivým kruhem

v geometrie, a trochoid (z řecký slovo pro kolo, „trochos“) je a ruleta tvořený a kruh válcování podél a čára. Jinými slovy, je to křivka vysledovat bodem fixovaným na kružnici (kde může být bod na, uvnitř nebo vně kruhu), jak se valí po přímce.^[1] Pokud je bod na kružnici, volá se trochoid běžný (také známý jako cykloidní ); pokud je bod uvnitř kruhu, trochoid je curtate; a pokud je bod mimo kruh, je trochoid prolovat. Slovo „trochoid“ vytvořil Gilles de Roberval.^{[Citace je zapotřebí ]}

Základní popis

Prolát trochoid s b/A = 5/4

Curtate trochoid s b/A = 4/5

Jako kruh o poloměru A rohlíky, aniž by klouzaly po linii L, střed C se pohybuje rovnoběžně s L, a každý další bod P v rotující rovině pevně spojené s kružnicí sleduje křivku zvanou trochoid. Nechat CP = b. Parametrické rovnice trochoidu, pro který L jsou osa x jsou

${ displaystyle x = a theta -b sin ( theta) ,}$

${ displaystyle y = a-b cos ( theta) ,}$

kde θ je proměnný úhel, kterým se kruh kroutí.

Curtate, common, prolate

Li P leží uvnitř kruhu (b < A), na jeho obvodu (b = A) nebo venku (b > A), trochoid je popsán jako curtate („smluvně“), obyčejný nebo prolát („rozšířen“).^[2] Curtate trochoid je sledován pedálem, když je běžně ozubené kolo šlapáno podél přímky.^[3] A prolovat trochoid je sledován špičkou pádla, když je loď poháněna konstantní rychlostí lopatkovými koly; tato křivka obsahuje smyčky. Běžný trochoid, nazývaný také a cykloidní, má vrcholy v místech, kde P se dotýká L.

Obecný popis

Obecnější přístup by definoval trochoid jako místo bodu ${ displaystyle (x, y)}$ obíhající konstantní rychlostí kolem osy umístěné v ${ displaystyle (x ', y')}$,

${ displaystyle x = x '+ r_ {1} cos ( omega _ {1} t + phi _ {1}), y = y' + r_ {1} sin ( omega _ {1} t + phi _ {1}), r_ {1}> 0,}$

která osa se překládá v x-y- letadlo konstantní rychlostí v buď přímka,

${ displaystyle { begin {array} {lcl} x '= x_ {0} + v_ {2x} t, y' = y_ {0} + v_ {2y} t tedy x = x_ {0} + r_ {1} cos ( omega _ {1} t + phi _ {1}) + v_ {2x} t, y = y_ {0} + r_ {1} sin ( omega _ {1} t + phi _ {1}) + v_ {2y} t, end {array}}}$

nebo kruhovou cestu (jinou oběžnou dráhu) kolem ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ (dále jen hypotrochoid /epitrochoid případ),

${ displaystyle { begin {array} {lcl} x '= x_ {0} + r_ {2} cos ( omega _ {2} t + phi _ {2}), y' = y_ {0} + r_ {2} sin ( omega _ {2} t + phi _ {2}), r_ {2} geq 0 tedy x = x_ {0} + r_ {1} cos ( omega _ {1} t + phi _ {1}) + r_ {2} cos ( omega _ {2} t + phi _ {2}), y = y_ {0} + r_ {1} sin ( omega _ {1} t + phi _ {1}) + r_ {2} sin ( omega _ {2} t + phi _ {2}), end {pole}}}$

Poměr rychlostí pohybu a toho, zda se pohyblivá osa překládá v přímé nebo kruhové dráze, určuje tvar trochoidu. V případě přímé dráhy se jedna úplná rotace shoduje s jednou periodou a periodicky (opakující se) lokus. V případě kruhové dráhy pro osu pohybu je lokus periodický, pouze pokud poměr těchto úhlových pohybů, ${ displaystyle omega _ {1} / omega _ {2}}$, je racionální číslo, řekněme ${ displaystyle p / q}$, kde ${ displaystyle p}$ & ${ displaystyle q}$ jsou coprime, v takovém případě se jedno období skládá z ${ displaystyle p}$ oběžné dráhy kolem pohyblivé osy a ${ displaystyle q}$ oběžné dráhy pohyblivé osy kolem bodu ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$. Zvláštní případy epicykloid a hypocykloid, generované trasováním lokusu bodu na obvodu kruhu o poloměru ${ displaystyle r_ {1}}$ zatímco je válcováno na obvodu stacionárního kruhu o poloměru ${ displaystyle R}$, mají následující vlastnosti:

${ displaystyle { begin {array} {lcl} { text {epicycloid:}} & omega _ {1} / omega _ {2} & = p / q = r_ {2} / r_ {1} = R / r_ {1} +1, | pq | { text {cusps}} { text {hypocycloid:}} & omega _ {1} / omega _ {2} & = p / q = -r_ {2} / r_ {1} = - (R / r_ {1} -1), | pq | = | p | + | q | { text {cusps}} end {pole}}}$

kde ${ displaystyle r_ {2}}$ je poloměr oběžné dráhy pohyblivé osy. Počet hrbolků uvedených výše také platí pro všechny epitrochoidy a hypotrochoidy, přičemž „hrbolky“ jsou nahrazeny „radiálními maximy“ nebo „radiálními minimy“.

Viz také

• Brachistochrone
• Cyklogon
• Cykloidní
• Epitrochoid
• Hypotrochoid
• Seznam periodických funkcí
• Ruleta (křivka)
• Spirograf
• Trochoidní vlna

Reference

externí odkazy

• Online experimenty s Trochoidy pomocí JSXGraph