Deltoidní křivka - Deltoid curve - Wikipedia

Červená křivka je deltoidní.

v geometrie, a deltoidní křivka, také známý jako a tricuspoidní křivka nebo Steinerova křivka, je hypocykloid ze tří vrcholy. Jinými slovy, je to ruleta vytvořený bodem na obvodu kruhu, jak se valí, aniž by klouzal po vnitřku kruhu se třikrát nebo jedenapůlnásobkem jeho poloměru. Je pojmenován podle řeckého dopisu delta kterému se podobá.

Obecněji řečeno, deltoid může odkazovat na jakoukoli uzavřenou postavu se třemi vrcholy spojenými křivkami, které jsou konkávní s vnějškem, takže vnitřní body jsou nekonvexní množinou.^[1]

Rovnice

Deltový sval může být reprezentován (až do rotace a překladu) následujícím parametrické rovnice

${ displaystyle x = (b-a) cos (t) + a cos vlevo ({ frac {b-a} {a}} t vpravo) ,}$

${ displaystyle y = (b-a) sin (t) -a sin vlevo ({ frac {b-a} {a}} t vpravo) ,,}$

kde A je poloměr valivého kruhu, b je poloměr kruhu, ve kterém se válí výše uvedený kruh. (Na obrázku výše b = 3a.)

Ve složitých souřadnicích se to stane

${ displaystyle z = 2ae ^ {it} + ae ^ {- 2it}}$.

Proměnná t lze z těchto rovnic vyloučit, čímž získáme kartézskou rovnici

${ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} + 18a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) - 27a ^ {4} = 8a (x ^ {3} -3xy ^ {2}), ,}$

deltoid je tedy rovinová algebraická křivka stupně čtyři. v polární souřadnice toto se stává

${ displaystyle r ^ {4} + 18a ^ {2} r ^ {2} -27a ^ {4} = 8ar ^ {3} cos 3 theta ,.}$

Křivka má tři singularity, vrcholy odpovídají ${ displaystyle t = 0, , pm { tfrac {2 pi} {3}}}$. Výše uvedená parametrizace znamená, že křivka je racionální, což znamená, že má rod nula.

Úsečka může klouzat s každým koncem na deltoidu a zůstat tečná k deltoidu. Bod tečnosti obíhá deltoid dvakrát, zatímco každý konec obíhá jednou.

The dvojitá křivka deltového svalu je

${ displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} - (3x + 1) y ^ {2} = 0, ,}$

který má v počátku dvojitý bod, který lze zviditelnit pro vykreslení imaginární rotací y ↦ iy, což dává křivku

${ displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} + (3x + 1) y ^ {2} = 0 ,}$

s dvojitým bodem na počátku skutečné roviny.

Plocha a obvod

Plocha deltového svalu je ${ displaystyle 2 pi a ^ {2}}$ kde zase A je poloměr valivého kruhu; tedy plocha deltoidu je dvakrát větší než plocha klouzavého kruhu.^[2]

Obvod (celková délka oblouku) deltoidu je 16A.^[2]

Dějiny

Obyčejný cykloidy byly studovány uživatelem Galileo Galilei a Marin Mersenne již v roce 1599, ale cykloidní křivky byly poprvé koncipovány pomocí Ole Rømer v roce 1674 při studiu nejlepší formy pro ozubení. Leonhard Euler nárokuje první zvážení skutečného deltoidu v roce 1745 v souvislosti s optickým problémem.

Aplikace

Deltoidy vznikají v několika oblastech matematiky. Například:

• Soubor komplexních vlastních čísel unistochastický matice řádu tři tvoří deltoid.
• Průřez množiny unistochastický matice řádu tři tvoří deltoid.
• Sada možných stop jednotných matic patřících k skupina SU (3) tvoří deltový sval.
• Průsečík dvou deltových svalů parametrizuje rodinu složité Hadamardovy matice objednávky šesté.
• Sada všech Simsonovy linie daného trojúhelníku, tvoří obálka ve tvaru deltového svalu. Toto je známé jako Steinerův deltoid nebo Steinerův hypocykloid po Jakob Steiner který popsal tvar a symetrii křivky v roce 1856.^[3]
• The obálka z plošné půlové větve a trojúhelník je deltoid (v širším smyslu definovaném výše) s vrcholy ve středních bodech mediány. Boky deltového svalu jsou oblouky hyperboly to jsou asymptotické na strany trojúhelníku.^[4] [1]
• Deltoid byl navržen jako řešení Problém s jehlou Kakeya.

Viz také

• Astroid, křivka se čtyřmi vrcholy
• Pseudotriangle
• Reuleauxův trojúhelník
• Superellipse
• Tusi pár
• Kite (geometrie), nazývaný také deltový

Reference

• E. H. Lockwood (1961). „Kapitola 8: Deltoid“. Kniha křivek. Cambridge University Press.
• J. Dennis Lawrence (1972). Katalog speciálních rovinných křivek. Dover Publications. str.131–134. ISBN  0-486-60288-5.
• Wells D (1991). Slovník tučňáků zvědavé a zajímavé geometrie. New York: Penguin Books. str.52. ISBN  0-14-011813-6.
• „Tricuspoid“ v seznamu známých křivek MacTutoru
• „Deltoid“ ve společnosti MathCurve
• Sokolov, D.D. (2001) [1994], "Steinerova křivka", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS