Válcování - Rolling

Animace ilustruje valivý pohyb kola jako a superpozice dvou pohybů: translace vzhledem k povrchu a rotace kolem vlastní osy.

Válcování je typ pohybu který kombinuje otáčení (běžně z osově symetrický objekt) a překlad tohoto objektu vzhledem k povrchu (jeden nebo druhý se pohybuje), takže pokud existují ideální podmínky, jsou dva v kontaktu navzájem bez posuvné.

Válcování tam, kde nedochází k posouvání, se označuje jako čisté válcování. Podle definice nedochází k posunu, když existuje referenční rámec ve kterém všechny kontaktní body na válcovacím objektu mají stejnou rychlost jako jejich protějšky na povrchu, na kterém se předmět valí; zejména pro referenční rámec, ve kterém je valivá rovina v klidu (viz animace), je okamžitá rychlost všech kontaktních bodů (např. generující úsečka válce) valivého objektu nulová.

V praxi dochází v důsledku malých deformací v blízkosti kontaktní oblasti k určitému sklouznutí a ztrátě energie. Výsledek je nicméně valivý odpor je mnohem nižší než kluzné tření, a tedy rolovací objekty obvykle vyžadují mnohem méně energie být přesunuty než posuvné. Výsledkem je, že se takové objekty budou snadněji pohybovat, pokud pocítí sílu s komponentou podél povrchu, například gravitaci na nakloněném povrchu, vítr, tlačení, tažení nebo točivý moment z motoru. Na rozdíl od válcových osově symetrických objektů je valivý pohyb kužele je takový, že při válcování na rovném povrchu, jeho centrum gravitace provádí a kruhový pohyb, spíše než a lineární pohyb. Válcování objektů nemusí být nutně osově symetrické. Dva známé neosově symetrické válečky jsou Reuleauxův trojúhelník a Meissnerova těla. The oloid a sféikon jsou členy speciální rodiny rozvinovatelné válečky že rozvíjet jejich celý povrch, když se valí po rovině. Objekty s rohy, jako např kostky, rolovat postupnými rotacemi kolem hrany nebo rohu, který je v kontaktu s povrchem. Konstrukce specifického povrchu umožňuje i dokonalý čtvercové kolo valit se svým těžištěm v konstantní výšce nad referenční rovinou.

Aplikace

Většina pozemní vozidla používat kola, a proto válcování pro. Uklouznutí by měla být omezena na minimum (přibližná čistá valivost), jinak by mohlo dojít ke ztrátě kontroly a nehodě. K tomu může dojít, když je silnice pokryta sněhem, pískem nebo olejem, při zatáčení vysokou rychlostí nebo při pokusu o náhlé brzdění nebo zrychlení.

Jednou z nejpraktičtějších aplikací pohybujících se objektů je použití valivá ložiska, jako kuličková ložiska, v rotujících zařízeních. Valivé prvky jsou vyrobeny z kovu a jsou obvykle uzavřeny mezi dvěma kroužky, které se mohou otáčet nezávisle na sobě. Ve většině mechanismů je vnitřní kroužek připevněn ke stacionární hřídeli (nebo nápravě). Zatímco je tedy vnitřní prstenec stacionární, vnější prstenec se může pohybovat velmi málo tření. To je základ, pro který téměř všechny motory (například ty, které se nacházejí ve stropních ventilátorech, automobilech, vrtačkách atd.) se spoléhají na provoz. Velikost tření na částech mechanismu závisí na kvalitě kuličkových ložisek a na tom, kolik maziva je v mechanismu.

Rolovací objekty se také často používají jako nástroje pro přeprava. Jedním z nejzákladnějších způsobů je umístění (obvykle plochého) předmětu na řadu seřazených válečků, nebo kola. Předmět na kolech lze podél nich pohybovat v přímém směru, pokud jsou kola vpředu průběžně vyměňována (viz historie ložisek ). Tento způsob primitivní přepravy je efektivní, když není k dispozici žádný jiný stroj. Dnes je nejpraktičtější aplikace předmětů na kolech auta, vlaky a další dopravní prostředky pro přepravu lidí.

Fyzika jednoduchého válcování

Rychlosti bodů valivého objektu jsou stejné jako rychlosti otáčení kolem bodu dotyku.

Nejjednodušším případem válcování je válcování bez sklouznutí po rovném povrchu s osou rovnoběžnou s povrchem (nebo ekvivalentně: kolmo k povrchu normální ).

Trajektorie libovolného bodu je a trochoid; zejména trajektorie jakéhokoli bodu v ose objektu je přímka, zatímco trajektorie jakéhokoli bodu v okraji objektu je cykloidní.

Rychlost libovolného bodu v rotujícím objektu je dána vztahem ${ displaystyle mathbf {v} = { boldsymbol { omega}} krát mathbf {r}}$ , kde ${ displaystyle mathbf {r}}$ je přemístění mezi částicí a kontaktním bodem (nebo linií) valivého objektu s povrchem a ${ displaystyle { boldsymbol { omega}}}$ je vektor úhlové rychlosti. Navzdory tomu se tedy válcování liší od otáčení kolem pevné osy, okamžitá rychlost všech částic rotujícího objektu je stejné, jako kdyby se točilo kolem osy, která prochází bodem kontaktu se stejnou úhlovou rychlostí.

Jakýkoli bod ve valivém objektu dále od osy, než je kontaktní bod, se dočasně posune proti směru celkového pohybu, když je pod úrovní valivé plochy (například libovolný bod v části příruby vlakové kolo, které je pod kolejnicí).

Energie

Od té doby Kinetická energie je zcela funkcí hmotnosti a rychlosti objektu, výše uvedený výsledek lze použít s věta o paralelní ose získat kinetickou energii spojenou s jednoduchým válcováním

{ displaystyle K _ { text {rolling}} = K _ { text {překlad}} + K _ { text {rotace}}}

Derivace Další informace: Rotace kolem pevné osy Nechat ${ displaystyle r}$ je vzdálenost mezi těžištěm a bodem dotyku; když je povrch plochý, jedná se o poloměr objektu kolem jeho nejširšího průřezu. Protože těžiště má okamžitou rychlost, jako by to bylo rotující kolem bodu dotyku je jeho rychlost ${ displaystyle v _ { text {c.o.m.}} = r omega}$ . Díky symetrii je těžiště objektu bodem v jeho ose. Nechat ${ displaystyle I _ { text {rotace}}}$ být setrvačností čistá rotace kolem osy symetrie, pak podle věty o paralelní ose, rotační setrvačnost spojené s válcováním je ${ displaystyle I _ { text {rolling}} = mr ^ {2} + I _ { text {rotace}}}$ (stejné jako rotační setrvačnost čisté rotace kolem bodu dotyku). Pomocí obecného vzorce pro kinetickou energii rotace máme: ${ displaystyle { begin {aligned} K _ { text {rolling}} & = { frac {1} {2}} I _ { text {rolling}} omega ^ {2} & = { frac {1} {2}} mr ^ {2} omega ^ {2} + { frac {1} {2}} I _ { text {rotace}} omega ^ {2} & = { frac {1} {2}} m (r omega) ^ {2} + { frac {1} {2}} I _ { text {rotace}} omega ^ {2} & = { frac { 1} {2}} mv _ { text {com}} ^ {2} + { frac {1} {2}} I _ { text {rotace}} omega ^ {2} & = K _ { text {translation}} + K _ { text {rotace}} konec {zarovnáno}}}$

Síly a zrychlení

Diferenciace vztahu mezi lineárním a úhlovým rychlost, ${ displaystyle v _ { text {c.o.m.}} = r omega}$ , s ohledem na čas dává vzorec vztahující se k lineárnímu a úhlovému akcelerace ${ displaystyle a = r alpha}$ . Přihlašování Newtonův druhý zákon:

{ displaystyle a = { frac {F _ { text {net}}} {m}} = r alpha = { frac {r tau} {I}}.}

Z toho vyplývá, že pro zrychlení objektu, jak čistá síla, tak a točivý moment jsou potřeba. Když na valivý objekt-povrchový systém působí vnější síla bez krouticího momentu, bude v místě dotyku mezi povrchem a valivým předmětem působit tangenciální síla, která poskytuje požadovaný krouticí moment, pokud je pohyb čistě valivý; tato síla je obvykle statické tření například mezi silnicí a kolem nebo mezi bowlingovou dráhou a bowlingovou koulí. Když statické tření nestačí, tření se stane dynamické tření a dojde k uklouznutí. Tangenciální síla je opačná ve směru k vnější síle, a proto ji částečně ruší. Výsledný čistá síla a zrychlení jsou:

{ displaystyle { begin {aligned} F _ { text {net}} & = { frac {F _ { text {external}}} {1 + { frac {I} {mr ^ {2}}}} } = { frac {F _ { text {external}}} {1+ left ({ frac {r _ { text {gyr.}}} {r}} right) ^ {2}}} a & = { frac {F _ { text {external}}} {m + { frac {I} {r ^ {2}}}}} end {zarovnáno}}}

Derivace

Předpokládejme, že objekt zažívá vnější sílu ${ displaystyle F _ { text {externí}}}$ který nevyvíjí žádný točivý moment (má 0 moment arm ), statické tření v místě dotyku ( ${ displaystyle F _ { text {tření}}}$ ) poskytuje točivý moment a ostatní zúčastněné síly se ruší. ${ displaystyle F _ { text {tření}}}$ je tangenciální k objektu a povrchu v bodě dotyku a opačně ve směru k ${ displaystyle F _ { text {externí}}}$ . Za použití podepsat konvenci kterou je tato síla kladná, čistá síla je:

{ displaystyle F _ { text {net}} = F _ { text {externí}} - F _ { text {tření}}}

${ displaystyle (1)}$

Protože neexistuje žádný skluz, ${ displaystyle r alpha = a}$ drží. Střídání ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle a}$ pro lineární a rotační verzi Newtonův druhý zákon, pak Řešení pro ${ displaystyle F _ { text {tření}}}$ :

{ displaystyle { begin {aligned} r { frac { tau} {I}} & = { frac {F _ { text {net}}} {m}} r { frac {rF _ { text {friction}}} {I}} & = { frac {F _ { text {net}}} {m}} F _ { text {friction}} & = { frac {IF _ { text { net}}} {mr ^ {2}}} end {zarovnáno}}}

Rozšiřuje se ${ displaystyle F _ { text {tření}}}$ v ${ displaystyle (1)}$ :

{ displaystyle { begin {aligned} F _ { text {net}} & = F _ { text {external}} - { frac {IF _ { text {net}}} {mr ^ {2}}} & = F _ { text {external}} - { frac {I} {mr ^ {2}}} F _ { text {net}} & = { frac {F _ { text {externí}} } {1 + { frac {I} {mr ^ {2}}}}} end {zarovnáno}}}

Poslední rovnost je první vzorec pro ${ displaystyle F _ { text {net}}}$ ; používáme to společně s druhým Newtonovým zákonem snižování, vzorec pro ${ displaystyle a}$ získá se:

{ displaystyle { begin {aligned} a & = { frac {F _ { text {net}}} {m}} & = { frac { left ({ frac {F _ { text {external} }} {1 + { frac {I} {mr ^ {2}}}}} vpravo)} {m}} & = { frac {F _ { text {externí}}} {m vlevo (1 + { frac {I} {mr ^ {2}}} right)}} & = { frac {F _ { text {external}}} {m + { frac {I} {r ^ {2}}}}} end {zarovnáno}}}

The poloměr kroužení mohou být začleněny do prvního vzorce pro ${ displaystyle F _ { text {net}}}$ jak následuje:

{ displaystyle { begin {aligned} r _ { text {gyr.}} & = { sqrt { frac {I} {m}}} r _ { text {gyr.}} ^ {2} & = { frac {I} {m}} { frac {I} {mr ^ {2}}} & = { frac { left ({ frac {I} {m}} right)} {r ^ {2}}} & = { frac {r _ { text {gyr.}} ^ {2}} {r ^ {2}}} & = left ({ frac {r_ { text {gyr.}}} {r}} right) ^ {2} end {zarovnáno}}}

Nahrazení výše uvedené rovnosti v prvním vzorci pro ${ displaystyle F _ { text {net}}}$ druhý vzorec:

{ displaystyle F _ { text {net}} = { frac {F _ { text {external}}} {1+ left ({ frac {r _ { text {gyr.}}} {r}} vpravo) ^ {2}}}}

${ displaystyle { tfrac {I} {r ^ {2}}}}$ má rozměr hmoty a je to hmotnost, která by měla rotační setrvačnost ${ displaystyle I}$ na dálku ${ displaystyle r}$ z osy otáčení. Proto termín ${ displaystyle { tfrac {I} {r ^ {2}}}}$ lze považovat za hmotu s lineární setrvačností ekvivalentní rotační setrvačnosti rotujícího objektu (kolem jejího středu hmoty). Působení vnější síly na objekt v jednoduché rotaci lze chápat jako zrychlení součtu skutečné hmoty a virtuální hmoty, která představuje setrvačnost rotace, což je ${ displaystyle m + { tfrac {I} {r ^ {2}}}}$ . Jelikož práce vykonaná vnější silou je rozdělena mezi překonání translační a rotační setrvačnosti, má vnější síla za následek menší čistou sílu bezrozměrný multiplikativní faktor ${ displaystyle 1 / left (1 + { tfrac {I} {mr ^ {2}}} right)}$ kde ${ displaystyle { tfrac {I} {mr ^ {2}}}}$ představuje poměr výše uvedené virtuální hmoty k skutečné hmotnosti objektu a je roven ${ displaystyle left ({ tfrac {r _ { text {gyr.}}} {r}} right) ^ {2}}$ kde ${ displaystyle r _ { text {gyr.}}}$ je poloměr kroužení odpovídá rotační setrvačnosti objektu v čisté rotaci (nikoli rotační setrvačnosti v čisté rotaci). Čtvercový výkon je způsoben skutečností, že setrvačnost rotace bodové hmoty se mění úměrně s druhou mocninou jeho vzdálenosti k ose.

Přehrát média

Čtyři objekty, které se čistě valí, letouny letadlem bez odporu vzduchu. Zezadu dopředu: kulová skořepina (červená), plná koule (oranžová), válcový prstenec (zelená) a plný válec (modrá). Čas dosažení cílové čáry je zcela funkcí rozložení hmoty objektu, sklonu a gravitačního zrychlení. Vidět podrobnosti, animovaná verze GIF.

V konkrétním případě objektu, který se valí v nakloněná rovina který zažívá pouze statické tření, normální sílu a vlastní váhu, (odpor vzduchu chybí) zrychlení ve směru sjíždění svahu je:

{ displaystyle a = { frac {g sin left ( theta right)} {1+ left ({ tfrac {r _ { text {gyr.}}} {r}} right) ^ { 2}}}}

Derivace Za předpokladu, že je předmět umístěn tak, aby se odvalil směrem dolů ve směru nakloněné roviny (a nikoli částečně do strany), lze váhu rozložit na součást ve směru válcování a součást kolmou na nakloněnou rovinu. Pouze první silová složka posouvá předmět, druhá je vyvážena přítlačnou silou, ale netvoří s ní dvojici akce a reakce (stejně jako předmět v klidu na stole). Proto se pro tuto analýzu bere v úvahu pouze první komponenta, tedy: ${ displaystyle F _ { text {externí}} = gm sin left ( theta right)}$ ${ displaystyle { begin {aligned} a & = { frac {F _ { text {net}}} {m}} & = { frac { left ({ frac {F _ { text {external} }} {1+ left ({ frac {r _ { text {gyr.}}} {R}} right) ^ {2}}} right)} {m}} & = { frac { left ({ frac {gm sin left ( theta right)} {1+ left ({ frac {r _ { text {gyr.}}} {r}} right) ^ {2 }}} right)} {m}} & = { frac {gm sin left ( theta right)} {m left (1+ left ({ frac {r _ { text { gyr.}}} {r}} right) ^ {2} right)}} & = { frac {g sin left ( theta right)} {1+ left ({ frac {r _ { text {gyr.}}} {r}} right) ^ {2}}} end {zarovnáno}}}$ V poslední rovnosti je jmenovatel stejný jako ve vzorci síly, ale faktor ${ displaystyle m}$ zmizí, protože její instance v gravitační síle se s její instancí ruší kvůli třetímu Newtonovu zákonu.

${ displaystyle { tfrac {r _ { text {gyr.}}} {r}}}$ je specifický pro tvar a rozložení hmoty objektu, nezávisí na měřítku nebo hustotě. Bude se to však lišit, pokud je objekt přiveden k rolování s různými poloměry; například se liší mezi vlakovým dvojkolím, které se normálně pohybuje (podle jeho pneumatiky), a podle jeho nápravy. Z toho vyplývá, že vzhledem k referenčnímu válcovacímu objektu se bude valit jiný objekt větší nebo s jinou hustotou se stejnou akcelerací. Toto chování je stejné jako chování objektu ve volném pádu nebo objektu klouzajícího bez tření (namísto rolování) po nakloněné rovině.

Reference

Halliday, David; Resnick, Robert (2014), Základy fyziky, Kapitola 9: WileyCS1 maint: umístění (odkaz)