Epicykloid - Epicycloid

v geometrie, an epicykloid nebo hypercykloidní je rovinná křivka vzniklý sledováním dráhy zvoleného bodu na obvodu a kruh —Volal epicykl —Který se otáčí, aniž by klouzal kolem pevného kruhu. Je to zvláštní druh ruleta.
Rovnice
Pokud má menší kruh poloměr ra větší kruh má poloměr R = kr, pakparametrické rovnice pro křivku lze zadat buď:
nebo:
(Za předpokladu, že počáteční bod leží na větší kružnici.)
Li k je kladné celé číslo, pak je křivka uzavřena a má k vrcholy (tj. ostré rohy).
Li k je racionální číslo, řekněme k = p / q vyjádřeno jako neredukovatelná frakce, pak křivka má p vrcholy.
Pro uzavření křivky a |
dokončete 1. opakující se vzorec: |
θ = 0 až q rotace |
α = 0 až p rotace |
celkový počet otáček vnějšího kružnice = p + q otáček |
Spočítejte rotace animace, abyste viděli p a q.
Li k je iracionální číslo, pak se křivka nikdy nezavře a vytvoří a hustá podmnožina prostoru mezi větším kruhem a kruhem o poloměru R + 2r.
Vzdálenost OP od (x = 0, y = 0) do (bod na malém kruhu) se mění nahoru a dolů jako
R <= OP <= (R + 2r)
R = poloměr velké kružnice a
2r = průměr malého kruhu
- Příklady epicykloidů
k = 1 a kardioidní
k = 2 a nefroidní
k = 3 - připomíná a jetel
k = 4 - připomíná a čtyřlístek
k = 2.1 = 21/10
k = 3.8 = 19/5
k = 5.5 = 11/2
k = 7.2 = 36/5
Epicykloid je zvláštní druh epitrochoid.
Epicykl s jedním hrotem je a kardioidní, dva hrbolky jsou a nefroidní.
Epicykloid a jeho evoluce jsou podobný.[1]
Důkaz

Předpokládáme, že pozice je to, co chceme vyřešit, je radián od tangenciálního bodu k bodu pohybu , a je radián od počátečního bodu k tangenciálnímu bodu.
Jelikož mezi těmito dvěma cykly nedochází k prokluzu, máme to
Podle definice radiánu (což je rychlostní oblouk přes poloměr) to máme
Z těchto dvou podmínek získáme identitu
Výpočtem získáme vztah mezi a , který je
Z obrázku vidíme polohu bodu na malém kruhu jasně.
Viz také
- Seznam periodických funkcí
- Cykloidní
- Cyklogon
- Deferent a epicycle
- Epicyklické převody
- Epitrochoid
- Hypocykloid
- Hypotrochoid
- Sada Multibrot
- Ruleta (křivka)
- Spirograf
Reference
- J. Dennis Lawrence (1972). Katalog speciálních rovinných křivek. Dover Publications. str.161, 168–170, 175. ISBN 978-0-486-60288-2.
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. "Epicykloid". MathWorld.
- "Epicykloid „od Michaela Forda, Demonstrační projekt Wolfram, 2007
- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Epicykloid", MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.
- Animace epicykloidů, pericykloidů a hypocykloidů
- Spirograph - GeoFun
- Historická poznámka o aplikaci epicykloidu na formu ozubených kol