Rod multiplikativní sekvence - Genus of a multiplicative sequence

Cobordism (Ž; M, N).

v matematika, a rod multiplikativní sekvence je kruhový homomorfismus z prsten hladké kompaktní rozdělovače až do ekvivalence ohraničení hladkého potrubí s hranicí (tj. až do vhodné cobordism ) do jiného kruhu, obvykle racionální čísla, které mají vlastnost, ze které jsou postaveny z a sekvence polynomů v charakteristických třídách, které vznikají jako koeficienty ve formálních výkonových řadách s dobrými multiplikativními vlastnostmi.

Definice

A rod ${displaystyle varphi}$ přiřadí číslo ${displaystyle Phi (X)}$ do každého potrubí X takhle

1. ${displaystyle Phi (Xsqcup Y) = Phi (X) + Phi (Y)}$ (kde ${displaystyle sqcup}$ je disjunktní unie);
2. ${displaystyle Phi (X je Y) = Phi (X) Phi (Y)}$;
3. ${displaystyle Phi (X) = 0}$ -li X je hranice potrubí s hranicí.

Může být požadováno, aby rozdělovače a rozdělovače s ohraničením měly další strukturu; například mohou být orientované, rotující, stabilně složité atd. (viz seznam teorií cobordismu pro mnoho dalších příkladů). Hodnota ${displaystyle Phi (X)}$ je v nějakém kruhu, často v kruhu racionálních čísel, i když to mohou být jiné kruhy jako např ${displaystyle mathbb {Z} / 2mathbb {Z}}$ nebo kruh modulárních forem.

Podmínky na ${displaystyle Phi}$ lze přeformulovat tak, že to říká ${displaystyle varphi}$ je kruhový homomorfismus z kruhubordismu potrubí v potrubí (s další strukturou) do jiného kruhu.

Příklad: Pokud ${displaystyle Phi (X)}$ je podpis orientovaného potrubí X, pak ${displaystyle Phi}$ je rod z orientovaných variet do kruhu celých čísel.

Rod spojený s formální mocenskou řadou

Posloupnost polynomů K.₁, K.₂, ... v proměnných p₁, p₂, ... je nazýván multiplikativní -li

${displaystyle 1 + p_ {1} z + p_ {2} z ^ {2} + tečky = (1 + q_ {1} z + q_ {2} z ^ {2} + cdots) (1 + r_ {1} z + r_ {2} z ^ {2} + cdots)}$

to naznačuje

${displaystyle sum _ {j} K_ {j} (p_ {1}, p_ {2}, ldots) z ^ {j} = součet _ {j} K_ {j} (q_ {1}, q_ {2}, ldots) z ^ {j} součet _ {k} K_ {k} (r_ {1}, r_ {2}, ldots) z ^ {k}}$

Li Q(z) je formální mocenské řady v z s konstantním členem 1 můžeme definovat multiplikativní sekvenci

${displaystyle K = 1 + K_ {1} + K_ {2} + cdots}$

podle

${displaystyle K (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, ldots) = Q (z_ {1}) Q (z_ {2}) Q (z_ {3}) cdots}$

kde p_k je kth elementární symetrická funkce neurčitých z_i. (Proměnné p_k v praxi často bude Třídy Pontryagin.)

Rod φ orientovaných potrubí odpovídá Q je dána

${displaystyle Phi (X) = K (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, ldots)}$

Kde p_k jsou Třídy Pontryagin z X. Silová řada Q se nazývá charakteristická výkonová řada rodu φ. Thomova věta, která uvádí, že racionály tenzorizované prstencem cobordismu je polynomiální algebra v generátorech stupně 4k pro kladná celá čísla k, znamená, že to dává rozpor mezi formální mocenskou řadou Q s racionálními koeficienty a vedoucím koeficientem 1 a rody od orientovaných variet do racionálních čísel.

Rod L.

The Rod L. je rod formální mocenské řady

${displaystyle {{sqrt {z}} přes anh ({sqrt {z}})} = součet _ {kgeq 0} {frac {2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {k}} {(2k)! }} = 1+ {z nad 3} - {z ^ {2} nad 45} + cdots}$

kde jsou čísla ${displaystyle B_ {2k}}$ jsou Bernoulliho čísla. Prvních několik hodnot je:

${displaystyle L_ {0} = 1}$

${displaystyle L_ {1} = {frac {1} {3}} p_ {1}}$

${displaystyle L_ {2} = {frac {1} {45}} (7p_ {2} -p_ {1} ^ {2})}$

${displaystyle L_ {3} = {frac {1} {945}} (62p_ {3} -13p_ {1} p_ {2} + 2p_ {1} ^ {3})}$

${displaystyle L_ {4} = {frac {1} {14175}} (381p_ {4} -71p_ {1} p_ {3} -19p_ {2} ^ {2} + 22p_ {1} ^ {2} p_ { 2} -3p_ {1} ^ {4})}$

(pro další L-polynomials vidět ^[1] nebo OEIS: A237111). Tak teď M být uzavřeným plynulým orientovaným potrubím dimenze 4n s Třídy Pontrjagin ${displaystyle p_ {i} = p_ {i} (M).}$ Friedrich Hirzebruch ukázal, že L rod M v dimenzi 4n hodnoceno na základní třída z ${displaystyle M, [M],}$ je rovný ${displaystyle sigma (M),}$ the podpis z M (tj. podpis křižovatkového formuláře na 2nkohomologická skupina M):

${displaystyle sigma (M) = langle L_ {n} (p_ {1} (M), ldots, p_ {n} (M)), [M] úhel.}$

Toto je nyní známé jako Hirzebruchova věta o podpisu (nebo někdy Věta o Hirzebruchově indexu).

Skutečnost, že L₂ je vždy nedílnou součástí hladkého potrubí bylo použito John Milnor uvést příklad 8-dimenzionálního PL rozdělovač bez č hladká struktura. Počty Pontryagin lze definovat také pro PL potrubí a Milnor ukázal, že jeho potrubí PL mělo neintegrální hodnotu p₂, a tak to nebylo možné vyhladit.

Aplikace na povrchy K3

Protože projektivní K3 povrchy jsou plynulé složité variety dimenze dva, jejich jediné netriviální Třída Pontryagin je ${displaystyle p_ {1}}$ v ${displaystyle H ^ {4} (X)}$. Lze jej vypočítat jako -48 pomocí tangenciální sekvence a srovnání se složitými třídami chern. Od té doby ${displaystyle L_ {1} = - 16}$, máme jeho podpis. To lze použít k výpočtu jeho průnikové formy jako unimodulární mřížky, protože má ${displaystyle {ext {dim}} (H ^ {2} (X)) = 22}$a klasifikaci unimodulárních svazů.^[2]

Rod Todd

The Rod Todd je rod formální mocenské řady

${displaystyle {frac {z} {1-exp (-z)}} = 1+ {frac {1} {2}} z + součet _ {i = 1} ^ {infty} (- 1) ^ {i + 1} {frac {B_ {2i}} {(2i)!}} Z ^ {2i}}$

s ${displaystyle B_ {2k}}$ stejně jako dříve, Bernoulliho čísla. Prvních několik hodnot je

${displaystyle Td_ {0} = 1}$

${displaystyle Td_ {1} = {frac {1} {2}} c_ {1}}$

${displaystyle Td_ {2} = {frac {1} {12}} vlevo (c_ {2} + c_ {1} ^ {2} vpravo)}$

${displaystyle Td_ {3} = {frac {1} {24}} c_ {1} c_ {2}}$

${displaystyle Td_ {4} = {frac {1} {720}} vlevo (-c_ {1} ^ {4} + 4c_ {2} c_ {1} ^ {2} + 3c_ {2} ^ {2} + c_ {3} c_ {1} -c_ {4} přesně)}$

Rod Todd má zvláštní vlastnost, že přiřazuje hodnotu 1 všem komplexním projektivním prostorům (tj. ${displaystyle mathrm {Td} _ {n} (mathbb {CP} ^ {n}) = 1}$), a to stačí k prokázání, že rod Todd souhlasí s aritmetickým rodem pro algebraické odrůdy jako aritmetický rod je také 1 pro složité projektivní prostory. Toto pozorování je důsledkem Věta Hirzebruch – Riemann – Roch, a ve skutečnosti je jedním z klíčových vývojů, které vedly k formulaci této věty.

Rod

The Rod je rod spojený s charakteristickou výkonovou řadou

${displaystyle Q (z) = {{sqrt {z}} / 2 nad sinh ({sqrt {z}} / 2)} = 1- {frac {z} {24}} + {frac {7z ^ {2} } {5760}} - cdots}$

(Existuje také rod Â, který se používá méně často a je spojen s charakteristickou řadou ${displaystyle Q (16z)}$.) Prvních několik hodnot je

${displaystyle {hat {A}} _ {0} = 1}$

${displaystyle {hat {A}} _ {1} = - {frac {1} {24}} p_ {1}}$

${displaystyle {hat {A}} _ {2} = {frac {1} {5760}} (- 4p_ {2} + 7p_ {1} ^ {2})}$

${displaystyle {hat {A}} _ {3} = {frac {1} {967680}} (- 16p_ {3} + 44p_ {2} p_ {1} -31p_ {1} ^ {3})}$

${displaystyle {hat {A}} _ {4} = {frac {1} {464486400}} (- 192p_ {4} + 512p_ {3} p_ {1} + 208p_ {2} ^ {2} -904p_ {2 } p_ {1} ^ {2} + 381p_ {1} ^ {4})}$

Rod a roztočit potrubí je celé číslo a sudé celé číslo, pokud je dimenze 4 mod 8 (což v dimenzi 4 znamená Rochlinova věta ) - pro obecná potrubí není rod  vždy celé číslo. To bylo prokázáno Hirzebruch a Armand Borel; tento výsledek byl motivován a později byl vysvětlen Atiyah – Singerova věta o indexu, který ukázal, že rod rotačního potrubí se rovná indexu jeho Dirac operátor.

Kombinací tohoto výsledku indexu s a Weitzenbockův vzorec pro Diraca Laplaciana, André Lichnerowicz lze odvodit, že pokud kompaktní spinové potrubí připouští metriku s pozitivním skalárním zakřivením, musí jeho rod zmizet. To dává překážku kladnému skalárnímu zakřivení, pouze když je kóta násobkem 4, ale Nigel Hitchin později objevil analogický ${displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$- hodnocená překážka v rozměrech 1 nebo 2 mod 8. Tyto výsledky jsou v zásadě ostré. Vskutku, Michail Gromov, H. Blaine Lawson a Stephan Stolz později dokázali, že rod  a Hitchin ${displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$-hodnotový analog jsou jediné překážky v existenci metrik pozitivního skalárního zakřivení na jednoduše připojených spinových potrubích dimenze větší nebo rovné 5.

Eliptický rod

Rod se nazývá an eliptický rod pokud je výkonová řada Q(z) = z/F(z) splňuje podmínku

${displaystyle {f '} ^ {2} = 1-2delta f ^ {2} + epsilon f ^ {4}}$

pro konstanty δ a ε. (Jako obvykle, Q je charakteristická výkonová řada rodu.)

Jeden explicitní výraz pro F(z) je

${displaystyle f (z) = {frac {{m {sn}} vlevo (az, {frac {sqrt {epsilon}} {{a} ^ {2}}} ight)} {a}}}$

kde

${displaystyle a = {sqrt {delta + {sqrt {{delta} ^ {2} -epsilon}}}}}$

a sn je Jacobiho eliptická funkce.

Příklady:

• ${displaystyle delta = epsilon = 1, f (z) = anh (z)}$. Toto je rod L.
• ${displaystyle delta = -1 / 8, epsilon = 0, f (z) = 2 sinh (z / 2)}$. Toto je rod Â.
• ${displaystyle epsilon = delta ^ {2}, f (z) = {frac {anh ({sqrt {delta}} z)} {sqrt {delta}}}}$. Toto je zevšeobecnění rodu L.

Prvních několik hodnot těchto rodů je:

${displaystyle {frac {1} {3}} delta p_ {1}}$

${displaystyle {frac {1} {90}} vlevo [vlevo (-4delta ^ {2} + 18epsilon ight) p_ {2} + vlevo (7delta ^ {2} -9epsilon ight) p_ {1} ^ {2} ight ]}$

${displaystyle {frac {1} {1890}} vlevo [vlevo (16delta ^ {3} + 108delta epsilon ight) p_ {3} + vlevo (-44delta ^ {3} + 18delta epsilon ight) p_ {2} p_ {1 } + vlevo (31delta ^ {3} -27delta epsilon ight) p_ {1} ^ {3} ight]}$

Příklad (eliptický rod pro kvaternionovou projektivní rovinu):

${displaystyle Phi _ {ell} (HP ^ {2}) = int _ {HP ^ {2}} {frac {1} {90}} {ig [} (- 4delta ^ {2} + 18epsilon) p_ {2 } + (7delta ^ {2} -9epsilon) p_ {1} ^ {2} {ig]}}$

${displaystyle Phi _ {ell} (HP ^ {2}) = int _ {HP ^ {2}} {frac {1} {90}} {ig [} (- 4delta ^ {2} + 18epsilon) (7u ^ {2}) + (7delta ^ {2} -9epsilon) (2u) ^ {2} {ig]}}$

${displaystyle Phi _ {ell} (HP ^ {2}) = int _ {HP ^ {2}} [u ^ {2} epsilon]}$

${displaystyle Phi _ {ell} (HP ^ {2}) = epsilon int _ {HP ^ {2}} [u ^ {2}]}$

${displaystyle Phi _ {ell} (HP ^ {2}) = epsilon * 1 = epsilon}$

Příklad (eliptický rod pro oktonionickou projektivní rovinu (Cayleyova rovina)):

${displaystyle Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = int _ {OP ^ {2}} {frac {1} {113400}} vlevo [(- - 192delta ^ {4} + 1728delta ^ {2} epsilon + 1512epsilon ^ {2}) p_ {4} + (208delta ^ {4} -1872delta ^ {2} epsilon + 1512epsilon ^ {2}) p_ {2} ^ {2} ight]}$

${displaystyle Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = int _ {OP ^ {2}} {frac {1} {113400}} {ig [} (- 192delta ^ {4} + 1728delta ^ {2} epsilon + 1512epsilon ^ {2}) (39u ^ {2}) + (208delta ^ {4} -1872delta ^ {2} epsilon + 1512epsilon ^ {2}) (6u) ^ {2} {ig]}}$

${displaystyle Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = int _ {OP ^ {2}} {ig [} epsilon ^ {2} u ^ {2} {ig]}}$

${displaystyle Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = epsilon ^ {2} int _ {OP ^ {2}} {ig [} u ^ {2} {ig]}}$

${displaystyle Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = epsilon ^ {2} * 1 = epsilon ^ {2}}$

${displaystyle Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = Phi _ {ell} (HP ^ {2}) ^ {2}}$

Rod Witten

The Rod Witten je rod spojený s charakteristickou výkonovou řadou

${displaystyle Q (z) = {frac {z} {sigma _ {L} (z)}} = exp vlevo (součet _ {kgeq 2} {2G_ {2k} (au) z ^ {2k} nad (2k) !} hned)}$

kde σ_L je Weierstrassova sigma funkce pro mříž L, a G je násobkem Eisensteinova řada.

Wittenův rod 4k rozměrné kompaktní orientované potrubí s hladkým odstřeďováním a mizející první třídou Pontryagin modulární forma hmotnosti 2k, s integrálními Fourierovými koeficienty.

Viz také

• Atiyah – Singerova věta o indexu
• Seznam kohomologických teorií

Poznámky

Reference

• Friedrich Hirzebruch Topologické metody v algebraické geometrii ISBN  3-540-58663-6 Text původní německé verze: http://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/120/6/NeueTopologischeMethoden_2.Aufl.pdf
• Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger, Rainer Jung Rozdělovače a modulární formy ISBN  3-528-06414-5
• Milnor, Stasheff, Charakteristické třídy, ISBN  0-691-08122-0
• A.F. Kharshiladze (2001) [1994], „Třída Pontryagin“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• "Eliptické rody", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]