Funkce Wright Omega - Wright Omega function

Wrightova omega funkce podél části skutečné osy

v matematika, Funkce Wright omega nebo Funkce Wright,^{[poznámka 1]} označený ω, je definován jako Funkce Lambert W. tak jako:

${displaystyle omega (z) = W _ {{ig lceil} {frac {mathrm {Im} (z) -pi} {2pi}} {ig ceil}} (e ^ {z}).}$

Použití

Jednou z hlavních aplikací této funkce je rozlišení rovnice z = ln (z), protože jediné řešení poskytuje z = E^{−ω (π i)}.

y = ω (z) je jedinečné řešení, když ${displaystyle zeq xpm ipi}$ pro X ≤ -1 rovnice y + ln (y) = z. Kromě těchto dvou paprsků je funkce Wrightova omega kontinuální, dokonce analytický.

Vlastnosti

Funkce Wright omega tento vztah uspokojuje ${displaystyle W_ {k} (z) = omega (ln (z) + 2pi ik)}$.

Také uspokojuje diferenciální rovnice

${displaystyle {frac {domega} {dz}} = {frac {omega} {1 + omega}}}$

kdekoli ω je analytický (jak je vidět z provedení oddělení proměnných a obnovení rovnice ${displaystyle ln (omega) + omega = z}$), a v důsledku toho jeho integrální lze vyjádřit jako:

${displaystyle int w ^ {n}, dz = {egin {cases} {frac {omega ^ {n + 1} -1} {n + 1}} + {frac {omega ^ {n}} {n}} & {mbox {if}} neq -1, ln (omega) - {frac {1} {omega}} & {mbox {if}} n = -1.end {cases}}}$

Své Taylor série kolem bodu ${displaystyle a = omega _ {a} + ln (omega _ {a})}$ má formu:

${displaystyle omega (z) = součet _ {n = 0} ^ {+ infty} {frac {q_ {n} (omega _ {a})} {(1 + omega _ {a}) ^ {2n-1} }} {frac {(za) ^ {n}} {n!}}}$

kde

${displaystyle q_ {n} (w) = součet _ {k = 0} ^ {n-1} {igg langle} !! {igg langle} {egin {matrix} n + 1 kend {matrix}} {igg úhel } !! {úhel igg} (- 1) ^ {k} w ^ {k + 1}}$

ve kterém

${displaystyle {igg langle} !! {igg langle} {egin {matrix} n kend {matrix}} {igg úhel} !! {igg úhel}}$

je druhého řádu Eulerianovo číslo.

Hodnoty

${displaystyle {egin {array} {lll} omega (0) & = W_ {0} (1) & cca 0,56714 omega (1) & = 1 & omega (13:00 ipi) & = - 1 & omega (- {frac {1} {3}} + vlevo vlevo ({frac {1} {3}} vpravo) + ipi) & = - {frac {1} {3}} & omega (- {frac {1} {3} } + ln left ({frac {1} {3}} ight) -ipi) & = W _ {- 1} left (- {frac {1} {3}} e ^ {- {frac {1} {3} }} ight) & cca -2,237147028 end {pole}}}$

Pozemky

• Pozemky Wrightovy omega funkce na komplexní rovině
• 

  z = Re (ω (X + i y))

• 

  z = Im (ω (X + i y))

• 

  ω (X + i y)

Poznámky

Reference

• „Na funkci Wright ω“, Robert Corless a David Jeffrey