Omega konstanta - Omega constant

The Omega konstanta je matematická konstanta definován jako jedinečný reálné číslo který splňuje rovnici

${ displaystyle Omega e ^ { Omega} = 1.}$

Je to hodnota Ž(1), kde Ž je Lambertova Ž funkce. Název je odvozen^{[Citace je zapotřebí ]} od alternativního jména pro Lamberta Ž funkce, funkce omega. Číselná hodnota Ω je dána

Ω = 0.567143290409783872999968662210... (sekvence A030178 v OEIS ).

1 / Ω = 1.763222834351896710225201776951... (sekvence A030797 v OEIS ).

Vlastnosti

Znázornění pevného bodu

Definující identitu lze vyjádřit například jako

${ displaystyle ln ({ tfrac {1} { Omega}}) = Omega.}$

nebo

${ displaystyle - ln ( Omega) = Omega}$

nebo

${ displaystyle e ^ {- Omega} = Omega.}$

Výpočet

Dá se spočítat Ω iterativně, počínaje počátečním odhadem Ω₀, a vzhledem k sekvence

${ displaystyle Omega _ {n + 1} = e ^ {- Omega _ {n}}.}$

Tato sekvence bude konvergovat na Ω tak jako n blíží se nekonečnu. To je proto, že Ω je atraktivní pevný bod funkce E^−X.

Je mnohem efektivnější použít iteraci

${ displaystyle Omega _ {n + 1} = { frac {1+ Omega _ {n}} {1 + e ^ { Omega _ {n}}}},}$

protože funkce

${ displaystyle f (x) = { frac {1 + x} {1 + e ^ {x}}},}$

kromě toho, že má stejný pevný bod, má také derivaci, která tam zmizí. To zaručuje kvadratickou konvergenci; to znamená, že počet správných číslic se s každou iterací zhruba zdvojnásobí.

Použitím Halleyova metoda, Ω lze aproximovat pomocí kubické konvergence (počet správných číslic se s každou iterací zhruba ztrojnásobí): (viz také Funkce Lambert W § Numerické vyhodnocení ).

${ displaystyle Omega _ {j + 1} = Omega _ {j} - { frac { Omega _ {j} e ^ { Omega _ {j}} - 1} {e ^ { Omega _ { j}} ( Omega _ {j} +1) - { frac {( Omega _ {j} +2) ( Omega _ {j} e ^ { Omega _ {j}} - 1)} { 2 Omega _ {j} +2}}}}.}$

Integrální reprezentace

Totožnost kvůli Victorovi Adamchikovi^{[Citace je zapotřebí ]} je dán vztahem

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {dt} {(e ^ {t} -t) ^ {2} + pi ^ {2}}} = { frac { 1} {1+ Omega}}.}$

Další vztah kvůli Mező je^[1]

${ displaystyle Omega = { frac {1} { pi}} operatorname {Re} int _ {0} ^ { pi} log left ({ frac {e ^ {e ^ {it} } -e ^ {- it}} {e ^ {e ^ {it}} - e ^ {it}}} vpravo) dt.}$

Druhou identitu lze rozšířit na další hodnoty Ž funkce (viz také Funkce Lambert W § Reprezentace ).

Transcendence

Konstanta Ω je transcendentální. To lze považovat za přímý důsledek Lindemann – Weierstrassova věta. Pro rozpor, předpokládejme to Ω je algebraické. Věta, E^−Ω je transcendentální, ale Ω = E^−Ω, což je rozpor. Proto musí být transcendentální.

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Omega Constant". MathWorld.
• „Omega konstanta (1 000 000 číslic)“, Darkside komunikační skupina (v Japonsku), vyvoláno 2017-12-25