Hustá objednávka - Dense order

v matematika, a částečná objednávka nebo celková objednávka soubor ${displaystyle X}$ se říká, že je hustý pokud pro všechny ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$ v ${displaystyle X}$ pro který ${displaystyle x$ , tady je ${displaystyle z}$ v ${displaystyle X}$ takhle ${displaystyle x$ . To znamená, že u jakýchkoli dvou prvků, jednoho méně než druhého, je mezi nimi další prvek. U celkových objednávek to můžeme říci jednodušeji jako „u jakýchkoli dvou odlišných prvků je mezi nimi další prvek“, protože totality znamená, že dva odlišné prvky jsou spojeny ${displaystyle <}$ , ale toto je obecně nepravdivé pro dílčí objednávky, protože mohou být odlišné prvky nesrovnatelný.

Příklad

The racionální čísla jako lineárně uspořádaná množina je v tomto smyslu hustě uspořádaná množina, stejně jako algebraická čísla, reálná čísla, dyadické racionály a desetinné zlomky. Ve skutečnosti každý Archimedean objednal prodloužení kroužku z celá čísla ${displaystyle mathbb {Z} [x]}$ je hustě uspořádaná sada.

Důkaz —

Pro prvek ${displaystyle xin mathbb {Z} [x]}$ , vzhledem k vlastnosti Archimedean, pokud ${displaystyle x> 0}$ , existuje největší celé číslo ${displaystyle n$ s ${displaystyle n$ , a pokud ${displaystyle x <0}$ , ${displaystyle -x> 0}$ a existuje největší celé číslo ${displaystyle m = -n-1 <-x}$ s ${displaystyle -n-1 <-x <-n}$ . Jako výsledek, ${displaystyle 0$ . Pro libovolné dva prvky ${displaystyle y, zin mathbb {Z} [x]}$ s ${displaystyle z$ , ${displaystyle 0 <(x-n) (y-z)$ a ${displaystyle z <(x-n) (y-z) + z$ . Proto ${displaystyle mathbb {Z} [x]}$ je hustá.

Na druhou stranu lineární uspořádání na celá čísla není hustá.

Jedinečnost pro celkem husté objednávky bez koncových bodů

Georg Cantor dokázal, že každé dvě neprázdné hustoty byly úplně objednané spočítatelné sady bez dolní nebo horní meze jsou řádově izomorfní.^[1] Díky tomu je teorie hustých lineárních řádů bez hranic příkladem ω-kategorická teorie. Například mezi. Existuje izomorfismus řádu racionální čísla a další hustě uspořádané spočetné sady včetně dyadické racionály a algebraická čísla. Důkazy těchto výsledků používají metoda tam a zpět.^[2]

Funkce Minkowského otazníku lze použít k určení pořadí izomorfismů mezi kvadratickými algebraickými čísly a racionálními čísly a mezi racionálními a dyadickými racionálními.

Zobecnění

Žádný binární relace R se říká, že je hustý pokud pro všechny R-příbuzný X a y, tady je z takhle X a z a také z a y jsou R-příbuzný. Formálně:

{displaystyle forall x forall y xRyRightarrow (existuje z xRzland zRy).}

Alternativně z hlediska složení R sám se sebou, hustý stav lze vyjádřit jako R ⊆ R R.^[3]

Dostatečné podmínky pro binární relaci R na setu X být hustý jsou:

R je reflexní;
R je coreflexive;
R je kvazireflexní;
R je vlevo nebo vpravo Euklidovský; nebo
R je symetrický a semi-konexe a X má alespoň 3 prvky.

Žádný z nich není nutné.A neprázdný a hustý vztah nemůže být antitransitivní.

Přísný dílčí řád iff tranzitivní se říká, že je idempotentní.

Viz také

Hustá sada - podmnožina topologického prostoru, jehož uzavřením je celý prostor
Hustý sám o sobě - podmnožina topologického prostoru bez izolovaných bodů
Kripkeho sémantika - hustý přístupový vztah odpovídá axiomu ${displaystyle Box Box Aightarrow Box A}$

Reference

^ Roitman, Judith (1990), „Theorem 27, s. 123“, Úvod do moderní teorie množin Čistá a aplikovaná matematika, 8John Wiley & Sons, ISBN 9780471635192.
^ Dasgupta, Abhijit (2013), Teorie množin: S úvodem do sad reálných bodů Springer-Verlag, str. 161, ISBN 9781461488545.
^ Gunter Schmidt (2011) Relační matematika, strana 212, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-76268-7

Další čtení

David Harel, Dexter Kozen, Jerzy Tiuryn, Dynamická logika, MIT Press, 2000, ISBN 0-262-08289-6, str. 6ff

[1] Roitman, Judith (1990), „Theorem 27, s. 123“, Úvod do moderní teorie množin Čistá a aplikovaná matematika, 8John Wiley & Sons, ISBN 9780471635192.

[2] Dasgupta, Abhijit (2013), Teorie množin: S úvodem do sad reálných bodů Springer-Verlag, str. 161, ISBN 9781461488545.

[3] Gunter Schmidt (2011) Relační matematika, strana 212, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-76268-7

[1]

[2]

[3]