Nerovnost pedoů - Pedoes inequality - Wikipedia

v geometrie, Pedoeova nerovnost (taky Nerovnost Neuberg – Pedoe), pojmenoval podle Daniel Pedoe (1910–1998) a Joseph Jean Baptiste Neuberg (1840–1926), uvádí, že pokud A, b, a C jsou délky po stranách a trojúhelník s oblastí ƒ, a A, B, a C jsou délky stran trojúhelníku s plochou F, pak

${ displaystyle A ^ {2} (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) + B ^ {2} (a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2 }) + C ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) geq 16Ff, ,}$

s rovností kdyby a jen kdyby dva trojúhelníky jsou podobný s páry odpovídající strany (A, a), (B, b), a (C, c).

Výraz vlevo není pouze symetrický pod žádnou ze šesti permutací množiny {(A, A), (B, b), (C, C)} párů, ale také - možná ne tak zjevně - zůstává stejný, pokud A je zaměněn s A a b s B a C sC. Jinými slovy, jedná se o symetrickou funkci dvojice trojúhelníků.

Pedoeova nerovnost je zobecněním Weitzenböckova nerovnost, což je případ, ve kterém je jeden z trojúhelníků rovnostranný.

Pedoe objevil nerovnost v roce 1941 a následně ji publikoval v několika článcích. Později se dozvěděl, že nerovnost byla známa již v 19. století Neubergovi, který však neprokázal, že rovnost implikuje podobnost obou trojúhelníků.

Viz také

• Seznam nerovností trojúhelníku

Reference

• Daniel Pedoe: Nerovnost spojující jakékoli dva trojúhelníky. Matematický věstník, sv. 25, č. 267 (prosinec 1941), str. 310 - 311 (JSTOR )
• Daniel Pedoe: Nerovnost dvou trojúhelníků. The Americký matematický měsíčník, svazek 70, číslo 9, strana 1012, listopad 1963.
• Daniel Pedoe: Nerovnost pro dva trojúhelníky. Sborník Cambridge Philosophical Society, svazek 38, část 4, strana 397, 1943.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Když je méně více: Vizualizace základních nerovností. MAA, 2009, ISBN  978-0-88385-342-9, str. 108
• D.S. Mitrinović, Josip Pečarić: O nerovnostech Neuberg-Pedoe a Oppenheim. Journal of Mathematical Analysis and Applications 129 (1): 196–210 · leden 1988 (online kopie )