Závorka (matematika) - Bracket (mathematics)

v matematika, závorky různých typografických forem, jako např závorky ( ), hranaté závorky [], složené závorky {} a úhelníky ⟨⟩, Jsou často používány v matematická notace.^[1] Obecně takový bracketing označuje nějakou formu seskupení: při hodnocení výrazu obsahujícího bracketingový podvýraz mají operátory v podvýrazu přednost před těmi, které jej obklopují. Kromě toho existuje několik použití a významů pro různé závorky.^[2]

Historicky jiné notace, například vinculum, byly podobně použity pro seskupení. V dnešní době mají všechny tyto zápisy specifické významy. Nejčasnější použití závorek k označení agregace (tj. Seskupení) navrhlo v roce 1608 Christopher Clavius, a v roce 1629 by Albert Girard.^[3]

Symboly pro reprezentaci lomených závorek

K reprezentaci úhlových závorek se používá celá řada různých symbolů. V e-mailu a další ASCII text, je běžné používat méně než (<) a větší než (>) podepíše, aby reprezentovala lomené závorky, protože ASCII nezahrnuje lomené závorky.^[4]

Unicode má dvojice vyhrazených postav; jiné než menší než a větší než symboly, mezi ně patří:

U + 27E8 ⟨ MATEMATICKÁ DRŽÁK LEVÉHO ÚHLU a U + 27E9 ⟩ MATEMATICKÁ SPOJKA S PRAVÝM ÚHLEM
U + 29FC ⧼ LEFT-POINTING CURVED ANGLE BRACKET a U + 29FD ⧽ SPRÁVNĚ VYROVNÁVANÝ ÚHLOVÝ DRŽÁK ÚHLU
U + 2991 ⦑ DRŽÁK LEVÉHO ÚHLU S BODKOU a U + 2992 ⦒ SPRÁVNÝ ÚHLOVÝ DRŽÁK S BODKOU
U + 27EA ⟪ MATEMATICKÁ LEVÁ DVOJÚHELNÁ DRŽÁK ÚHLU a U + 27EB ⟫ MATEMATICKÁ PRAVÁ DRŽÁK DVOJITÉHO ÚHLU
U + 2329 〈 DRŽÁK ÚHLU VLEVO a U + 232A 〉 SPRÁVNĚ UHLÍKOVÁ ÚCHOVKA, které jsou zastaralé^[5]

v Latex označení je langle a úhel: ${displaystyle langle angle}$ .

Nematematické lomené závorky zahrnují:

U + 3008 〈 DRŽÁK LEVÉHO ÚHLU a U + 3009 〉 SPRÁVNÝ ÚHLOVÝ DRŽÁK, který se používá ve východoasijské citaci textu
U + 276C ❬ STŘEDNÍ ORNAMENT ÚHELNÍKU ÚHLU VLEVO a U + 276D ❭ STŘEDNÍ NÁPRAVA ÚHLU ÚHLU ORNAMENTU, což jsou obrázky

K dispozici jsou další rybářské lodě se zvýšenou tloušťkou čáry,^[6] a některé uvozovky a zastaralé znaky.

Algebra

v elementární algebra, závorky () se používají k určení pořadí operací.^[2] Nejprve se vyhodnotí termíny uvnitř závorky; tedy 2 × (3 + 4) je 14, 20 ÷ (5(1 + 1)) je 2 a (2 × 3) + 4 je 10. Tento zápis je rozšířen, aby zahrnoval obecnější algebra zahrnující proměnné: například $(X + y) \times (X - y)$ . Hranaté závorky se také často používají místo druhé sady závorek, když jsou vnořené - aby se zajistilo vizuální rozlišení.

v matematické výrazy Obecně se závorky také používají k označení seskupení (tj. které části patří k sobě), když je to nutné, aby se zabránilo nejednoznačnosti a zlepšila se jasnost. Například ve vzorci ${displaystyle (varepsilon eta) _ {X} = varepsilon _ {Cod, eta _ {X}} eta _ {X}}$ , který se používá při definici složení dvou přirozené transformace, kulaté závorky ${displaystyle varepsilon eta}$ slouží k označení, že indexování podle ${displaystyle X}$ se aplikuje na kompozici ${displaystyle varepsilon eta}$ , a nejen jeho poslední součást ${displaystyle eta}$ .

Funkce

Argumenty pro a funkce jsou často obklopeny závorkami: ${displaystyle f (x)}$ . Pokud je malá pravděpodobnost dvojznačnosti, je běžné vynechat závorky kolem argumentu úplně (např. ${displaystyle sin x}$ ).

Souřadnice a vektory

V Kartézský souřadnicový systém, závorky se používají k určení souřadnic bodu. Například (2,3) označuje bod s X- souřadnice 2 a y- koordinovaný 3.

The vnitřní produkt dvou vektorů se běžně píše jako ${displaystyle langle a, bangle}$ ,^[1] ale notace (A, b) se také používá.

Intervaly

K označení závorky lze použít obě závorky () a hranaté závorky [] interval.^[1] Zápis ${displaystyle [a, c)}$ se používá k označení intervalu od a do c včetně ${displaystyle a}$ —Ale bez ${displaystyle c}$ . To znamená ${displaystyle [5,12)}$ by byla množina všech reálných čísel mezi 5 a 12, včetně 5, ale ne 12. Zde se čísla mohou přiblížit tak blízko, jak se jim líbí, na 12, včetně 11 999 a tak dále (s jakýmkoli konečný počet 9s), ale 12.0 není zahrnuto.

V některých evropských zemích notace ${displaystyle [5,12 [}$ se také používá k tomu a všude tam, kde se používá čárka oddělovač desetinných míst, středník může být použit jako oddělovač, aby se zabránilo nejednoznačnosti (např. ${displaystyle (0; 1)}$ ).^[7]

Koncový bod sousedící s hranatou závorkou je znám jako Zavřeno, zatímco koncový bod sousedící se závorkou je znám jako otevřeno. Pokud jsou oba typy závorek stejné, lze celý interval označovat jako Zavřeno nebo otevřeno podle potřeby. Kdykoli nekonečno nebo záporné nekonečno se používá jako koncový bod (v případě intervalů na řádek skutečných čísel ), je vždy brána v úvahu otevřeno a navázal na závorku. Koncový bod lze uzavřít při zvažování intervalů na prodloužená řada reálných čísel.

Sady a skupiny

Závorky {} se používají k identifikaci prvků a soubor. Například, {A,b,C} označuje sadu tří prvků A, b a C.

Úhlové závorky se používají v teorie skupin a komutativní algebra specifikovat skupinové prezentace a označit podskupina^[8] nebo ideál generované kolekcí prvků.

Matice

Výslovně dané matice se běžně píše mezi velkými kulatými nebo hranatými závorkami:

{displaystyle {egin {pmatrix} 1 & -1 2 & 3end {pmatrix}} quad quad {egin {bmatrix} c & dend {bmatrix}}}

Deriváty

Zápis

{displaystyle f ^ {(n)} (x)}

znamená n-tá derivace funkce F, aplikováno na argument X. Například, pokud ${displaystyle f (x) = exp (lambda x)}$ , pak ${displaystyle f ^ {(n)} (x) = lambda ^ {n} exp (lambda x)}$ . To je třeba porovnat s ${displaystyle f ^ {n} (x) = f (f (ldots (f (x)) ldots))}$ , n- složená aplikace F argumentovat X.

Klesající a stoupající faktoriál

Zápis ${displaystyle (x) _ {n}}$ se používá k označení klesající faktoriál, an n-th stupeň polynomiální definován

{displaystyle (x) _ {n} = x (x-1) (x-2) cdots (x-n + 1) = {frac {x!} {(x-n)!}}.}

Alternativně lze narazit na stejnou notaci jako na reprezentaci rostoucí faktoriál, také zvaný "Pochhammer symbol "Další notace pro totéž je ${displaystyle x ^ {(n)}}$ . To může být definováno

{displaystyle x ^ {(n)} = x (x + 1) (x + 2) cdots (x + n-1) = {frac {(x + n-1)!} {(x-1)!} }.}

Kvantová mechanika

v kvantová mechanika, úhelníky jsou také použity jako součást Dirac formalismus, braketová notace, k označení vektorů z duální mezery podprsenky ${displaystyle leftlangle Aight |}$ a ket ${displaystyle left | Bightangle}$ .

v statistická mechanika, úhlové závorky označují soubor nebo časový průměr.

Polynomiální kroužky

Hranaté závorky se používají k označení proměnné v polynomiální kroužky. Například, ${displaystyle mathbb {R} [x]}$ je polynomický kruh s ${displaystyle x}$ variabilní a reálné číslo koeficienty.^[9]^[8]

Ležící držák a komutátor

v teorie skupin a teorie prstenů, hranaté závorky se používají k označení komutátor. V teorii skupin je komutátor [G,h] se běžně definuje jako G⁻¹h⁻¹gh. V teorii prstenů je komutátor [A,b] je definován jako ab − ba. Dále se teoreticky používají závorky k označení antikomutátor, kde {A,b} je definován jako ab + ba.

The Ležící závorka a Lež algebra je binární operace označeno ${displaystyle [cdot, cdot]: {mathfrak {g}} imes {mathfrak {g}} o {mathfrak {g}}}$ . Použitím komutátoru jako Lieova závorka může být každá asociativní algebra přeměněna na Lieovu algebru. Existuje mnoho různých forem Ležící závorka, zejména Derivát lži a Jacobi – Lie držák.

Funkce podlahy / stropu a dílčí část

Hranaté závorky, jako v $[π] = 3$ , se někdy používají k označení funkce podlahy,^[8] který kola skutečné číslo až na další celé číslo. Funkce podlahy a stropu jsou však obvykle vysázeny s levými a pravými hranatými závorkami, kde jsou zobrazeny pouze spodní (pro funkci podlahy) nebo horní (pro funkci stropu) vodorovné pruhy, jako v $⌊Π⌋ = 3$ nebo $⌈Π⌉ = 4$ .

Šle, jako v ${π} < 1 / 7$ , může označovat zlomková část reálného čísla.

Viz také

Binomický koeficient
Polynomiální závorka
Bra-ket notace
Oddělovač
Dyck jazyk
Držák Frölicher – Nijenhuis
Iverson držák
Konzola Nijenhuis – Richardson, také známý jako algebraická závorka.
Pochhammer symbol
Poissonova závorka
Držák Schouten – Nijenhuis

Poznámky

^ ^A ^b ^C „Kompendium matematických symbolů: Oddělovače“. Matematický trezor. 2020-03-01. Citováno 2020-08-09.
^ ^A ^b Russell, Deb. „Kdy a kde použít závorky, závorky a závorky v matematice“. ThoughtCo. Citováno 2020-08-09.
^ Cajori, Florian 1980. Dějiny matematiky. New York: Chelsea Publishing, str. 158
^ Raymond, Eric S. (1996), The New Hacker's Dictionary, MIT Stiskněte, str. 41, ISBN 9780262680929.
^ "Různé technické" (PDF). unicode.org.
^ „Prsteny“. unicode.org. 2020-04-25. Citováno 2020-04-25.
^ „Intervalová notace | Brilliant Math & Science Wiki“. brilliant.org. Citováno 2020-08-09.
^ ^A ^b ^C „Úplný seznam symbolů algebry“. Matematický trezor. 2020-03-25. Citováno 2020-08-09.
^ Stewart, Ian (1995). Koncepty moderní matematiky. Dover Publications. p. 90. ISBN 9780486284248.

[:0-1] A ^b ^C „Kompendium matematických symbolů: Oddělovače“. Matematický trezor. 2020-03-01. Citováno 2020-08-09.

[:1-2] A ^b Russell, Deb. „Kdy a kde použít závorky, závorky a závorky v matematice“. ThoughtCo. Citováno 2020-08-09.

[3] Cajori, Florian 1980. Dějiny matematiky. New York: Chelsea Publishing, str. 158

[4] Raymond, Eric S. (1996), The New Hacker's Dictionary, MIT Stiskněte, str. 41, ISBN 9780262680929.

[5] "Různé technické" (PDF). unicode.org.

[6] „Prsteny“. unicode.org. 2020-04-25. Citováno 2020-04-25.

[7] „Intervalová notace | Brilliant Math & Science Wiki“. brilliant.org. Citováno 2020-08-09.

[:2-8] A ^b ^C „Úplný seznam symbolů algebry“. Matematický trezor. 2020-03-25. Citováno 2020-08-09.

[9] Stewart, Ian (1995). Koncepty moderní matematiky. Dover Publications. p. 90. ISBN 9780486284248.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]