Tekutý roztok - Fluid solution

Část série článků o
Obecná relativita
${ displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$
Úvod Dějiny Matematická formulace Testy
Základní koncepty Princip relativity Teorie relativity Referenční rámec Inerciální referenční rámec Odpočinek Rámeček středu hybnosti Světelný kužel Princip ekvivalence Ekvivalence hmoty a energie Speciální relativita Dvojnásobně speciální relativita de Sitterova invariantní speciální relativita Měřítko relativity Světová linie Správný čas Riemannova geometrie Energetický stav
Jevy Gravitoelektromagnetismus Keplerův problém Gravitace Gravitační pole Gravitace dobře Gravitační čočky Gravitační vlny Gravitační rudý posuv Rudý posuv Blueshift Dilatace času Gravitační dilatace času Shapiro časové zpoždění Gravitační potenciál Gravitační komprese Gravitační kolaps Přetažení rámu Geodetický účinek Zdánlivý horizont Horizont událostí Gravitační singularita Nahá singularita Černá díra Bílá díra Vesmírný čas Prostor Čas Časoprostorové diagramy Minkowského časoprostor Uzavřená časová křivka (CTC) Červí díra Ellis červí díra
Rovnice Formalismy Rovnice Linearizovaná gravitace Einsteinovy ​​rovnice pole Friedmann Geodetika Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Zakřivení neměnné (obecná relativita) Lorentzian potrubí Formalismy ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtonian Pokročilá teorie Teorie Kaluza – Klein Kvantová gravitace Supergravitace
Řešení Schwarzschild (interiér ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-vlna van Stockum prach Weyl – Lewis – Papapetrou Vakuové řešení
Věty Birkhoffova věta Gerochova věta o rozdělení Goldberg – Sachsova věta Lovelockova věta Věta bez vlasů Věty o singularitě Penrose – Hawking Věta o pozitivní energii
Vědci Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kolář Robertson Bardeen chodec Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nový muž Yau Thorne ostatní

v obecná relativita, a tekutý roztok je přesné řešení z Einsteinova rovnice pole ve kterém je gravitační pole vytvořeno výhradně hmotou, hybností a hustotou napětí a tekutina.

v astrofyzika, tekutá řešení se často používají jako hvězdné modely. (Mohlo by pomoci pomyslet na dokonalý plyn jako na speciální případ dokonalé tekutiny.) V kosmologie, tekutá řešení se často používají jako kosmologické modely.

Matematická definice

The tenzor napětí a energie relativistické tekutiny lze napsat ve formě^[1]

${ displaystyle T ^ {ab} = mu , u ^ {a} , u ^ {b} + p , h ^ {ab} + doleva (u ^ {a} , q ^ {b} + q ^ {a} , u ^ {b} vpravo) + pi ^ {ab}}$

Tady

• světové linie fluidních prvků jsou integrální křivky rychlostní vektor ${ displaystyle u ^ {a}}$,
• the tenzor projekce ${ displaystyle h_ {ab} = g_ {ab} + u_ {a} , u_ {b}}$ promítá další tenzory na prvky nadroviny kolmo na ${ displaystyle u ^ {a}}$,
• the hustota hmoty je dána skalární funkcí ${ displaystyle mu}$,
• the tlak je dána skalární funkcí ${ displaystyle p}$,
• the vektor tepelného toku darováno ${ displaystyle q ^ {a}}$,
• the viskózní smykový tenzor darováno ${ displaystyle pi ^ {ab}}$.

Vektor tepelného toku a viskózní smykový tenzor jsou příčný k světovým liniím v tom smyslu

${ displaystyle q_ {a} , u ^ {a} = 0, ; ; pi _ {ab} , u ^ {b} = 0}$

To znamená, že jsou ve skutečnosti trojrozměrné veličiny, a protože tenzor viskózního napětí je symetrický a bez stopy, mají respektive tři a pět lineárně nezávislé komponenty. Spolu s hustotou a tlakem to činí celkem 10 lineárně nezávislých složek, což je počet lineárně nezávislých složek ve čtyřrozměrném symetrickém tenzoru druhé řady.

Speciální případy

Za zmínku stojí několik speciálních případů tekutých roztoků (zde rychlost světla C = 1):

• A perfektní tekutina má mizející viskózní střih a mizející tepelný tok:

${ displaystyle T ^ {ab} = ( mu + p) , u ^ {a} , u ^ {b} + p , g ^ {ab},}$

• A prach je beztlaká dokonalá kapalina:

${ displaystyle T ^ {ab} = mu , u ^ {a} , u ^ {b},}$

• A radiační tekutina je perfektní tekutina s ${ displaystyle mu = 3p}$:

${ displaystyle T ^ {ab} = p , left (4 , u ^ {a} , u ^ {b} + , g ^ {ab} right).}$

Poslední dva jsou často používány jako kosmologické modely pro (respektive) hmotou dominuje a záření dominuje epochy. Všimněte si, že zatímco ke specifikaci tekutiny obecně vyžaduje deset funkcí, dokonalá tekutina vyžaduje pouze dvě a prachové a radiační kapaliny vyžadují pouze jednu funkci. Je mnohem snazší najít taková řešení, než je najít obecné tekuté řešení.

Mezi dokonalými tekutinami jinými než prachy nebo radiace jsou nejdůležitějším zvláštním případem statická sféricky symetrická dokonalá tekutina řešení. Ty lze vždy přiřadit k a Schwarzschildovo vakuum přes sférický povrch, takže je lze použít jako řešení interiéru v hvězdném modelu. V takových modelech koule ${ displaystyle r = r [0]}$ kde je vnitřek kapaliny přizpůsoben vakuovému vnějšku, je povrch hvězdy a tlak se musí snižovat v limitu, jak se blíží poloměr ${ displaystyle r_ {0}}$. Hustota však může být v limitu zespodu nenulová, zatímco v limitu seshora je samozřejmě nulová. V posledních letech bylo pro získání dáno několik překvapivě jednoduchých schémat Všechno tato řešení.

Einsteinův tenzor

Složky tenzoru vypočítané s ohledem na a rámové pole spíše než základ souřadnic jsou často nazývány fyzické komponenty, protože to jsou komponenty, které mohou (v zásadě) měřit pozorovatel.

Ve zvláštním případě a perfektní tekutina, an přizpůsobený rám

${ displaystyle { vec {e}} _ {0}, ; { vec {e}} _ {1}, ; { vec {e}} _ {2}, ; { vec {e }} _ {3}}$

(první je a podobný jednotka vektorové pole, poslední tři jsou vesmírný pole vektorových jednotek) lze vždy najít, ve kterém má Einsteinův tenzor jednoduchou formu

${ displaystyle G ^ {{ widehat {a ,}} { widehat {b ,}}} = 8 pi , doleva [{ begin {matrix} mu & 0 & 0 & 0 0 & p & 0 & 0 0 & 0 & p & 0 0 & 0 & 0 & p end {matrix}} right]}$

kde ${ displaystyle mu}$ je hustota energie a ${ displaystyle p}$ je tlak tekutiny. Tady je časové pole podobné vektorové jednotce ${ displaystyle { vec {e}} _ {0}}$ je všude tečná ke světovým liniím pozorovatelů, kteří se pohybují s tekutými prvky, takže právě zmíněná hustota a tlak jsou ty, které měří sledující pozorovatelé. Jedná se o stejná množství, která se objevují ve všeobecném základním souřadnicovém výrazu uvedeném v předchozí části; vidět to, jednoduše řečeno ${ displaystyle { vec {u}} = { vec {e}} _ {0}}$. Z formy fyzických komponent je snadno vidět, že izotropní skupina jakékoli dokonalé tekutiny je izomorfní s trojrozměrnou Lieovou skupinou SO (3), běžnou rotační skupinou.

Skutečnost, že tyto výsledky jsou přesně stejné pro zakřivené časoprostory jako pro hydrodynamiku v ploše Minkowského časoprostor je výrazem princip ekvivalence.

Vlastní čísla

The charakteristický polynom Einsteinova tenzoru v dokonalé tekutině musí mít podobu

${ displaystyle chi ( lambda) = left ( lambda -8 pi mu right) , left ( lambda -8 pi p right) ^ {3}}$

kde ${ displaystyle mu, , p}$ jsou opět hustota a tlak tekutiny měřené pozorovateli, kteří přicházejí s prvky tekutiny. (Všimněte si, že tato množství mohou lišit se v tekutině.) Vypíše to a použije Gröbnerův základ metod ke zjednodušení výsledných algebraických vztahů zjistíme, že koeficienty charakteristiky musí splňovat následující dva algebraicky nezávislý (a neměnné) podmínky:

${ displaystyle 12a_ {4} + a_ {2} ^ {2} -3a_ {1} a_ {3} = 0}$

${ displaystyle a_ {1} a_ {2} a_ {3} -9a_ {3} ^ {2} -9a_ {1} ^ {2} a_ {4} + 32a_ {2} a_ {4} = 0}$

Ale podle Newtonovy identity, stopy sil Einsteinova tenzoru souvisí s těmito koeficienty následovně:

${ displaystyle {G ^ {a}} _ {a} = t_ {1} = a_ {1}}$

${ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {a} = t_ {2} = a_ {1} ^ {2} -2a_ {2}}$

${ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {c} , {G ^ {c}} _ {a} = t_ {3} = a_ {1} ^ {3} -3a_ {1} a_ {2} + 3a_ {3}}$

${ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {c} , {G ^ {c}} _ {d} , {G ^ {d}} _ {a} = t_ {4} = a_ {1} ^ {4} -4a_ {1} ^ {2} a_ {2} + 4a_ {1} a_ {3} + 2a_ {2} ^ {2} -a_ {4}}$

takže můžeme výše uvedené dvě veličiny přepsat úplně, pokud jde o stopy sil. Jedná se zjevně o skalární invarianty a v případě dokonalého tekutého řešení musí stejně zmizet:

${ displaystyle t_ {2} ^ {3} + 4t_ {3} ^ {2} + t_ {1} ^ {2} t_ {4} -4t_ {2} t_ {4} -2t_ {1} t_ {2 } t_ {3} = 0}$

${ displaystyle t_ {1} ^ {4} + 7t_ {2} ^ {2} -8t_ {1} ^ {2} t_ {2} + 12t_ {1} t_ {3} -12t_ {4} = 0}$

Všimněte si, že to nic nepředpokládá stavová rovnice vztahující se k tlaku a hustotě kapaliny; předpokládáme pouze to, že máme jedno jednoduché a jedno trojité vlastní číslo.

V případě prachového roztoku (mizející tlak) se tyto podmínky značně zjednodušují:

${ displaystyle a_ {2} , = a_ {3} = a_ {4} = 0}$

nebo

${ displaystyle t_ {2} = t_ {1} ^ {2}, ; ; t_ {3} = t_ {1} ^ {3}, ; ; t_ {4} = t_ {1} ^ { 4}}$

V notaci tenzorové gymnastiky to lze napsat pomocí Ricci skalární tak jako:

${ displaystyle {G ^ {a}} _ {a} = - R}$

${ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {a} = R ^ {2}}$

${ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {c} , {G ^ {c}} _ {a} = - R ^ {3}}$

${ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {c} , {G ^ {c}} _ {d} , {G ^ {d}} _ {a} = - R ^ {4}}$

V případě radiační tekutiny se kritéria stanou

${ displaystyle a_ {1} = 0, ; 27 , a_ {3} ^ {2} + 8a_ {2} ^ {3} = 0, ; 12 , a_ {4} + a_ {2} ^ {2} = 0}$

nebo

${ displaystyle t_ {1} = 0,7 , t_ {3} ^ {2} -t_ {2} , t_ {4} = 0, ; 12 , t_ {4} -7 , t_ { 2} ^ {2} = 0}$

Při používání těchto kritérií je třeba dbát na to, aby největší vlastní číslo patřilo k podobný vlastní vektor, protože existují Lorentzian potrubí, splňující toto kritérium vlastní hodnoty, ve kterém velká vlastní hodnota patří a vesmírný vlastní vektor, a ty nemohou představovat radiační tekutiny.

Koeficienty charakteristiky se často budou jevit jako velmi komplikované a stopy nejsou o moc lepší; při hledání řešení je téměř vždy lepší spočítat komponenty Einsteinova tenzoru s ohledem na vhodně upravený rámec a poté přímo zabít příslušné kombinace komponent. Pokud však není zřejmý žádný přizpůsobený rámec, mohou být tato kritéria vlastních čísel někdy užitečná, zvláště pokud jsou použita ve spojení s jinými úvahami.

Tato kritéria mohou být často užitečná pro bodovou kontrolu údajných dokonalých řešení tekutin, v takovém případě jsou koeficienty charakteristiky často mnohem jednodušší, než by byly pro jednodušší nedokonalou tekutinu.

Příklady

Pozoruhodná jednotlivá prachová řešení jsou uvedena v článku na prachová řešení. Pozoruhodná dokonalá řešení tekutin s přetlakem zahrnují různé modely radiačních tekutin z kosmologie, včetně

• FRW radiační kapaliny, často označované jako záření dominuje Modely FRW.

Kromě rodiny statických sféricky symetrických dokonalých tekutin patří také pozoruhodná řešení rotujících tekutin

• Wahlquistova tekutina, který má podobnou symetrii jako Kerrovo vakuum, což vedlo k počátečním nadějím (protože jsou přerušované), že by to mohlo poskytnout vnitřní řešení pro jednoduchý model rotující hvězdy.

Viz také

• Prachové řešení, pro důležitý speciální případ prachových řešení,
• Přesná řešení v obecné relativitě, pro přesná řešení obecně,
• Skupina Lorentz
• Perfektní tekutina, pro dokonalé tekutiny ve fyzice obecně,
• Relativistické disky, pro interpretaci relativistických disků z hlediska dokonalých tekutin.

Reference

• Stephani, H .; Kramer, D .; MacCallum, M .; Hoenselaers, C .; Herlt, E. (2003). Přesné řešení Einsteinových polních rovnic (2. vydání). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-46136-7. Poskytuje mnoho příkladů dokonalých řešení pro kapaliny a prach.
• Stephani, Hans (1996). Obecná relativita (druhé vydání). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-37941-5.. V kapitole 8 najdete diskusi o relativistických tekutinách a termodynamice.
• Delgaty, M. S. R .; Lake, Kayll (1998). „Fyzická přijatelnost izolovaných, statických, sféricky symetrických, dokonalých tekutinových řešení Einsteinových rovnic“. Comput. Phys. Commun. 115 (2–3): 395–415. arXiv:gr-qc / 9809013. Bibcode:1998CoPhC.115..395D. doi:10.1016 / S0010-4655 (98) 00130-1.. Tento přehledový článek mapuje statická sféricky symetrická tekutá řešení známá až do roku 1995.
• Lake, Kayll (2003). "Všechna statická sféricky symetrická dokonalá tekutinová řešení Einsteinových rovnic". Phys. Rev. D. 67 (10): 104015. arXiv:gr-qc / 0209104. Bibcode:2003PhRvD..67j4015L. doi:10.1103 / PhysRevD.67.104015.. Tento článek popisuje jedno z několika nedávno nalezených schémat pro získání všech řešení statické sféricky symetrické dokonalé tekutiny v obecné relativitě.