Kubická vzájemnost - Cubic reciprocity

Kubická vzájemnost je sbírka vět v základní a algebraický teorie čísel tento stát podmínky, za kterých shoda X³ ≡ str (modq) je řešitelný; slovo "vzájemnost" pochází z formy hlavní věta, který uvádí, že pokud str a q jsou primární čísla v kruhu Eisensteinova celá čísla, oba coprime na 3, shoda X³ ≡ str (mod q) je řešitelný právě tehdy X³ ≡ q (mod str) je řešitelný.

Dějiny

Někdy před rokem 1748 Euler učinil první domněnky o kubické reziduitě malých celých čísel, ale byly publikovány až v roce 1849, po jeho smrti.^[1]

Gaussova publikovaná díla zmiňují kubické zbytky a reciprocitu třikrát: existuje jeden výsledek týkající se kubických zbytků v Disquisitiones Arithmeticae (1801).^[2] V úvodu k pátému a šestému důkazu kvadratické vzájemnosti (1818)^[3] řekl, že tyto důkazy zveřejňuje, protože jejich techniky (Gaussovo lema a Gaussovy částky, v uvedeném pořadí) lze použít na kubickou a dvojkvadratickou vzájemnost. Nakonec poznámka pod čarou ve druhé (ze dvou) monografií dvojkvadratická vzájemnost (1832) uvádí, že kubickou vzájemnost lze nejsnáze popsat v prstenci Eisensteinových celých čísel.^[4]

Z jeho deníku a dalších nepublikovaných zdrojů se zdá, že Gauss znal pravidla pro kubickou a kvartickou reziduitu celých čísel do roku 1805 a kolem roku 1814 objevil plnohodnotné věty a důkazy o kubické a biquadratické vzájemnosti.^[5][6] Důkazy o nich byly nalezeny v jeho posmrtných novinách, ale není jasné, zda jsou jeho nebo Eisensteinovy.^[7]

Jacobi publikoval několik vět o kubické reziduitě v roce 1827, ale žádné důkazy.^[8] Ve svých přednáškách v Königsbergu z let 1836–37 Jacobi předložil důkazy.^[7] První publikované důkazy byly od Eisensteina (1844).^[9][10][11]

Celá čísla

A krychlový zbytek (mod str) je jakékoli číslo shodné se třetí mocninou celého čísla (mod str). Li X³ ≡ A (mod str) nemá celočíselné řešení, A je kubický zbytek (mod str).^[12]

Jak to v teorii čísel často bývá, je jednodušší pracovat s prvočísly modulo, takže v této části všechny moduly str, q, atd., se považují za pozitivní, lichá prvočísla.^[12]

Nejprve si všimneme, že pokud q ≡ 2 (mod 3) je prvočíslo, pak každé číslo je kubický zbytek modulo q. Nechat q = 3n + 2; od 0 = 0³ je zjevně kubický zbytek, předpokládejme X není dělitelné q. Pak Fermatova malá věta,

${displaystyle x ^ {q} ekviv x {mod {q}}, qquad x ^ {q-1} ekviv 1 {mod {q}}}$

Násobení dvou shod, které máme

${displaystyle x ^ {2q-1} ekv. x {mod {q}}}$

Nyní se nahrazuje 3n + 2 pro q my máme:

${displaystyle x ^ {2q-1} = x ^ {6n + 3} = vlevo (x ^ {2n + 1} vpravo) ^ {3}.}$

Jediným zajímavým případem je tedy modul str ≡ 1 (mod 3). V tomto případě nenulové třídy reziduí (mod str) lze rozdělit do tří sad, z nichž každá obsahuje (str-1) / 3 čísla. Nechat E být kubický zbytek. První sada je kubické zbytky; druhý je E krát čísla v první sadě a třetí je E² krát čísla v první sadě. Další způsob, jak popsat toto rozdělení, je nechat E být primitivní kořen (mod str); pak první (resp. druhá, třetí) množina jsou čísla, jejichž indexy vzhledem k tomuto kořenu jsou shodné s 0 (resp. 1, 2) (mod 3). Ve slovníku teorie skupin, první sada je podskupinou index 3 z multiplikativní skupiny ${displaystyle (mathbb {Z} / pmathbb {Z}) ^ {imes}}$ a další dva jsou jeho kosety.

Připraví ≡ 1 (mod 3)

Fermatova věta^[13][14] uvádí, že každý prime str ≡ 1 (mod 3) lze zapsat jako str = A² + 3b² a (kromě znaků A a b) toto vyobrazení je jedinečné.

Pronájem m = A + b a n = A − b, vidíme, že je to ekvivalentní s str = m² − mn + n² (což se rovná (n − m)² − (n − m)n + n² = m² + m(n − m) + (n − m)², tak m a n nejsou určeny jednoznačně). Tím pádem,

${displaystyle {egin {aligned} 4p & = (2m-n) ^ {2} + 3n ^ {2} & = (2n-m) ^ {2} + 3m ^ {2} & = (m + n) ^ {2} +3 (mn) ^ {2} konec {zarovnáno}}}$

a je to jednoduché cvičení, které ukazuje, že přesně jeden z m, nnebo m − n je násobkem 3, takže

${displaystyle p = {frac {1} {4}} (L ^ {2} + 27M ^ {2}),}$

a toto znázornění je jedinečné až do známek L a M.^[15]

Pro relativně hlavní celá čísla m a n definovat racionální kubický zbytek symbol tak jako

${displaystyle left [{frac {m} {n}} ight] _ {3} = {egin {cases} 1 & m {ext {is a cubic residive}} {mod {n}} - 1 & m {ext {is a cubic non-residue}} {mod {n}} end {cases}}}$

Je důležité si uvědomit, že tento symbol ano ne mít multiplikativní vlastnosti symbolu Legendre; k tomu potřebujeme skutečný kubický znak definovaný níže.

Eulerovy dohady. Nechat str = A² + 3b² být předseda. Pak platí následující:^[16][17][18]

${displaystyle {egin {aligned} left [{frac {2} {p}} ight] _ {3} = 1quad & Longleftrightarrow quad 3mid b left [{frac {3} {p}} ight] _ {3} = 1quad & Longleftrightarrow quad 9mid b {ext {or}} 9mid (apm b) left [{frac {5} {p}} ight] _ {3} = 1quad & Longleftrightarrow quad 15mid b {ext {or}} 3mid b {ext { and}} 5mid a {ext {or}} 15mid (apm b) {ext {or}} 15mid (2apm b) left [{frac {6} {p}} ight] _ {3} = 1quad & Longleftrightarrow quad 9mid b {ext {or}} 9mid (apm 2b) left [{frac {7} {p}} ight] _ {3} = 1quad & Longrightarrow quad (3mid b {ext {and}} 7mid a) {ext {nebo }} 21mid (bpm a) {ext {or}} 7mid (4bpm a) {ext {or}} 21mid b {ext {or}} 7mid (bpm 2a) konec {zarovnáno}}}$

První dva lze přepracovat následovně. Nechat str být prvočíslem, které odpovídá 1 modulo 3. Pak:^[19][20][21]

• 2 je kubický zbytek z str kdyby a jen kdyby str = A² + 27b².
• 3 je kubický zbytek z str jen a jen pokud 4str = A² + 243b².

Gaussova věta. Nechat str být takovým pozitivním prvkem

${displaystyle p = 3n + 1 = {frac {1} {4}} vlevo (L ^ {2} + 27M ^ {2} vpravo).}$

Pak ${displaystyle L (n!) ^ {3} ekvivalent 1 {mod {p}}.}$^[22][23]

Lze snadno vidět, že Gaussova věta znamená:

${displaystyle left [{frac {L} {p}} ight] _ {3} = vlevo [{frac {M} {p}} ight] _ {3} = 1.}$

Jacobiho věta (uvedeno bez důkazu).^[24] Nechat q ≡ str ≡ 1 (mod 6) jsou kladná prvočísla. Zřejmě obojí str a q jsou také shodné s 1 modulo 3, proto předpokládejme:

${displaystyle p = {frac {1} {4}} vlevo (L ^ {2} + 27M ^ {2} ight), qquad q = {frac {1} {4}} vlevo (L '^ {2} + 27M '^ {2} ight).}$

Nechat X být řešením X² ≡ −3 (mod q). Pak

${displaystyle xequiv pm {frac {L '} {3M'}} {mod {q}},}$

a máme:

${displaystyle {egin {aligned} left [{frac {q} {p}} ight] _ {3} = 1quad & Longleftrightarrow quad left [{frac {{frac {L + 3Mx} {2}} p} {q}} ight] _ {3} = 1quad Longleftrightarrow quad left [{frac {frac {L + 3Mx} {L-3Mx}} {q}} ight] _ {3} = 1 left [{frac {q} {p} } ight] _ {3} = 1quad & Longrightarrow quad left [{frac {frac {LM '+ L'M} {LM'-L'M}} {q}} ight] _ {3} = 1end {aligned}} }$

Lehmer věta. Nechat q a str být připraven, s ${displaystyle p = {frac {1} {4}} vlevo (L ^ {2} + 27M ^ {2} ight).}$ Pak:^[25]

${displaystyle left [{frac {q} {p}} ight] _ {3} = 1quad Longleftrightarrow quad qmid LM {ext {or}} Lequiv pm {frac {9r} {2u + 1}} M {mod {q} },}$

kde

${displaystyle uot equiv 0,1, - {frac {1} {2}}, - {frac {1} {3}} {mod {q}} quad {ext {and}} quad 3u + 1equiv r ^ {2 } (3u-3) {mod {q}}.}$

Všimněte si, že první podmínka znamená: že jakékoli číslo, které rozděluje L nebo M je kubický zbytek (mod str).

Prvních pár příkladů^[26] z toho jsou ekvivalentní Eulerovým domněnkám:

${displaystyle {egin {aligned} left [{frac {2} {p}} ight] _ {3} = 1quad & Longleftrightarrow quad Lequiv Mequiv 0 {mod {2}} left [{frac {3} {p}} ight ] _ {3} = 1quad & Longleftrightarrow quad Mequiv 0 {mod {3}} left [{frac {5} {p}} ight] _ {3} = 1quad & Longleftrightarrow quad LMequiv 0 {mod {5}} left [ {frac {7} {p}} ight] _ {3} = 1quad & Longleftrightarrow quad LMequiv 0 {mod {7}} konec {zarovnáno}}}$

Protože samozřejmě L ≡ M (mod 2), kritérium pro q = 2 lze zjednodušit jako:

${displaystyle left [{frac {2} {p}} ight] _ {3} = 1quad Longleftrightarrow quad Mequiv 0 {mod {2}}.}$

Martinetova věta. Nechat str ≡ q ≡ 1 (mod 3) je prvočíslo, ${displaystyle pq = {frac {1} {4}} (L ^ {2} + 27M ^ {2}).}$ Pak^[27]

${displaystyle left [{frac {L} {p}} ight] _ {3} left [{frac {L} {q}} ight] _ {3} = 1quad Longleftrightarrow quad left [{frac {q} {p} } ight] _ {3} vlevo [{frac {p} {q}} ight] _ {3} = 1.}$

Sharifiho věta. Nechat str = 1 + 3X + 9X² být předseda. Pak jakýkoli dělitel X je kubický zbytek (mod str).^[28]

Eisensteinova celá čísla

Pozadí

Ve své druhé monografii o dvojkvadratické vzájemnosti Gauss říká:

Věty o dvoukvadratických zbytcích se lesknou s největší jednoduchostí a ryzí krásou, pouze když je pole aritmetiky rozšířeno na imaginární čísla, takže bez omezení jsou čísla formuláře A + bi tvoří předmět studia ... nazýváme taková čísla integrální komplexní čísla.^[29] [tučně v originále]

Tato čísla se nyní nazývají prsten z Gaussova celá čísla, označeno Z[i]. Všimněte si, že i je čtvrtý kořen z 1.

V poznámce pod čarou dodává

Teorie kubických zbytků musí být podobným způsobem založena na zvážení čísel formy A + bh kde h je imaginární kořen rovnice h³ = 1 ... a podobně teorie zbytků vyšších sil vede k zavedení dalších imaginárních veličin.^[30]

Ve své první monografii o kubické vzájemnosti^[31] Eisenstein vyvinul teorii čísel vytvořených z krychle kořene jednoty; nyní se jim říká prsten Eisensteinova celá čísla. Eisenstein řekl (parafrázuje): „k prozkoumání vlastností tohoto prstence je třeba pouze konzultovat Gaussovu práci na Z[i] a upravit důkazy ". To není překvapující, protože oba kroužky jsou." jedinečné faktorizační domény.

„Dalšími imaginárními veličinami“ potřebnými pro „teorii zbytků vyšších sil“ jsou celá čísla z cyklomotická číselná pole; Gaussova a Eisensteinova celá čísla jsou jejich nejjednoduššími příklady.

Fakta a terminologie

Nechat

${displaystyle omega = {frac {-1 + i {sqrt {3}}} {2}} = e ^ {frac {2pi i} {3}}, qquad omega ^ {3} = 1.}$

A zvažte prsten Eisensteinova celá čísla:

${displaystyle mathbb {Z} [omega] = left {a + bomega: a, bin mathbb {Z} ight}.}$

Tohle je Euklidovská doména s normovou funkcí danou:

${displaystyle N (a + bomega) = a ^ {2} -ab + b ^ {2}.}$

Všimněte si, že norma je vždy shodná s 0 nebo 1 (mod 3).

The skupina jednotek v ${displaystyle mathbb {Z} [omega]}$ (prvky s multiplikativní inverzní nebo ekvivalentní s jednotkovou normou) je cyklická skupina šestých kořenů jednoty,

${displaystyle left {pm 1, pm omega, pm omega ^ {2} no}.}$

${displaystyle mathbb {Z} [omega]}$ je jedinečná faktorizační doména. Prvočísla lze rozdělit do tří tříd:^[32]

• 3 je speciální případ:

${displaystyle 3 = -omega ^ {2} (1-omega) ^ {2}.}$

Je to jediný prime in ${displaystyle mathbb {Z}}$ dělitelné čtvercem prvočísla v ${displaystyle mathbb {Z} [omega]}$. Prime 3 se říká rozvětvovat se v ${displaystyle mathbb {Z} [omega]}$.

• Pozitivní prvočísla v ${displaystyle mathbb {Z}}$ congruent to 2 (mod 3) are also prvočísla v ${displaystyle mathbb {Z} [omega]}$. Říká se, že tato prvočísla zůstávají inertní v ${displaystyle mathbb {Z} [omega]}$. Všimněte si, že pokud ${displaystyle q}$ je jakýkoli inertní prime, pak:

${displaystyle N (q) = q ^ {2} ekv. 1 {mod {3}}.}$

• Pozitivní prvočísla v ${displaystyle mathbb {Z}}$ shodné s 1 (mod 3) jsou produktem dvou konjugovaných prvočísel v ${displaystyle mathbb {Z} [omega]}$. O těchto prvočíslech se říká rozdělit v ${displaystyle mathbb {Z} [omega]}$. Jejich faktorizace je dána:

${displaystyle p = N (pi) = N ({overline {pi}}) = pi {overline {pi}}.}$

například

${displaystyle 7 = (3 + omega) (2-omega).}$

Číslo je hlavní pokud je coprime do 3 a shodný s obyčejným celým číslem modulo ${displaystyle (1-omega) ^ {2},}$ což je stejné jako říkat, že je shodné ${displaystyle pm 2}$ modulo 3. Pokud ${displaystyle gcd (N (lambda), 3) = 1}$ jeden z ${displaystyle lambda, omega lambda,}$ nebo ${displaystyle omega ^ {2} lambda}$ je primární. Produkt dvou primárních čísel je navíc primární a konjugát primárního čísla je také primární.

Unikátní faktorizační věta pro ${displaystyle mathbb {Z} [omega]}$ je: pokud ${displaystyle lambda eq 0,}$ pak

${displaystyle lambda = pm omega ^ {mu} (1-omega) ^ {u} pi _ {1} ^ {alpha _ {1}} pi _ {2} ^ {alpha _ {2}} pi _ {3} ^ {alpha _ {3}} cdots, qquad mu in {0,1,2}, quad u, alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots geqslant 0}$

kde každý ${displaystyle pi _ {i}}$ je primární (podle Eisensteinovy ​​definice) prime. A toto znázornění je jedinečné, až do řádu faktorů.

Pojmy shoda^[33] a největší společný dělitel^[34] jsou definovány stejným způsobem v ${displaystyle mathbb {Z} [omega]}$ jako jsou pro běžná celá čísla ${displaystyle mathbb {Z}}$. Protože jednotky rozdělují všechna čísla, shoda modulo ${displaystyle lambda}$ je také pravda, modulo jakýkoli spolupracovník ${displaystyle lambda}$a jakýkoli spolupracovník GCD je také GCD.

Krychlový znak zbytku

Definice

Analog z Fermatova malá věta je pravda v ${displaystyle mathbb {Z} [omega]}$: pokud ${displaystyle alpha}$ není dělitelný prvočíslem ${displaystyle pi}$,^[35]

${displaystyle alpha ^ {N (pi) -1} equiv 1 {mod {pi}}.}$

Nyní předpokládejme, že ${displaystyle N (pi) eq 3}$ aby ${displaystyle N (pi) equiv 1 {mod {3}}.}$ Nebo řečeno jinak ${displaystyle 3mid N (pi) -1.}$ Pak můžeme napsat:

${displaystyle alpha ^ {frac {N (pi) -1} {3}} ekviv omega ^ {k} {mod {pi}},}$

pro jedinečnou jednotku ${displaystyle omega ^ {k}.}$ Tato jednotka se nazývá znak kubických zbytků z ${displaystyle alpha}$ modulo ${displaystyle pi}$ a je označen^[36]

${displaystyle left ({frac {alpha} {pi}} ight) _ {3} = omega ^ {k} ekvivalent alfa ^ {frac {N (pi) -1} {3}} {mod {pi}}.}$

Vlastnosti

Krychlový znak zbytku má formální vlastnosti podobné těm z Legendární symbol:

• Li ${displaystyle alpha equiv eta {mod {pi}}}$ pak ${displaystyle left ({frac {alpha} {pi}} ight) _ {3} = left ({frac {eta} {pi}} ight) _ {3}.}$
• ${displaystyle left ({frac {alpha eta} {pi}} ight) _ {3} = left ({frac {alpha} {pi}} ight) _ {3} left ({frac {eta} {pi}} ight ) _ {3}.}$
• ${displaystyle {overline {left ({frac {alpha} {pi}} ight) _ {3}}} = left ({frac {overline {alpha}} {overline {pi}}} ight) _ {3},}$ kde sloupec označuje komplexní konjugaci.
• Li ${displaystyle pi}$ a ${displaystyle heta}$ jsou tedy společníky ${displaystyle left ({frac {alpha} {pi}} ight) _ {3} = left ({frac {alpha} {heta}} ight) _ {3}}$
• Shoda ${displaystyle x ^ {3} ekvivalent alfa {mod {pi}}}$ má řešení v ${displaystyle mathbb {Z} [omega]}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle left ({frac {alpha} {pi}} ight) _ {3} = 1.}$^[37]
• Li ${displaystyle a, bin mathbb {Z}}$ jsou takové, že ${displaystyle gcd (a, b) = gcd (b, 3) = 1,}$ pak ${displaystyle left ({frac {a} {b}} ight) _ {3} = 1.}$^[38][39]
• Kubický znak lze v „jmenovateli“ multiplikativně rozšířit na složená čísla (coprime na 3) stejným způsobem, jako je symbol Legendre zobecněn na Jacobi symbol. Stejně jako Jacobiho symbol, je-li „jmenovatel“ kubického znaku složený, pak je-li „čitatel“ kubický zbytek mod, „jmenovatel“ se bude symbol rovnat 1, pokud se symbol nerovná 1, pak „čitatel“ je kubický zbytek, ale symbol se může rovnat 1, pokud je „čitatel“ beze zbytku:

${displaystyle left ({frac {alpha} {lambda}} ight) _ {3} = left ({frac {alpha} {pi _ {1}}} ight) _ {3} ^ {alpha _ {1}} left ({frac {alpha} {pi _ {2}}} ight) _ {3} ^ {alpha _ {2}} cdots,}$

kde

${displaystyle lambda = pi _ {1} ^ {alpha _ {1}} pi _ {2} ^ {alpha _ {2}} pi _ {3} ^ {alpha _ {3}} cdots}$

Výrok věty

Nechť α a β jsou primární. Pak

${displaystyle {Bigg (} {frac {alpha} {eta}} {Bigg)} _ {3} = {Bigg (} {frac {eta} {alpha}} {Bigg)} _ {3}.}$

Existují doplňující věty^[40][41] pro jednotky a prvočíslo 1 - ω:

Nechť α = A + bω být primární, A = 3m + 1 a b = 3n. (Li A ≡ 2 (mod 3) nahradit α jeho přidruženým −α; to nezmění hodnotu kubických znaků.) Potom

${displaystyle {Bigg (} {frac {omega} {alpha}} {Bigg)} _ {3} = omega ^ {frac {1-ab} {3}} = omega ^ {- mn}, ;;; {Bigg (} {frac {1-omega} {alpha}} {Bigg)} _ {3} = omega ^ {frac {a-1} {3}} = omega ^ {m}, ;;; {Bigg (} { frac {3} {alpha}} {Bigg)} _ {3} = omega ^ {frac {b} {3}} = omega ^ {n}.}$

Viz také

• Kvadratická vzájemnost
• Kvartová vzájemnost
• Octická vzájemnost
• Eisensteinova vzájemnost
• Artin vzájemnost

Poznámky

Reference

Odkazy na původní práce Eulera, Jacobiho a Eisensteina byly zkopírovány z bibliografií od Lemmermeyera a Coxe a nebyly použity při přípravě tohoto článku.

Euler

• Euler, Leonhard (1849), Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt, Komentář. Aritmetika. 2

Toto bylo ve skutečnosti napsáno 1748–1750, ale bylo publikováno až posmrtně; Je ve svazku V, str. 182–283 z

• Euler, Leonhard (1911–1944), Opera Omnia, řada prima, svazky I – V, Lipsko a Berlín: Teubner

Gauss

Dvě monografie Gauss publikované o dvojkvadratické vzájemnosti mají postupně očíslované oddíly: první obsahuje §§ 1–23 a druhá §§ 24–76. Poznámky pod čarou, které na ně odkazují, mají tvar „Gauss, BQ, § nPoznámky pod čarou odkazující na Disquisitiones Arithmeticae mají formu „Gauss, DA, čl. n".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Göttingen: Komentář. Soc. regiae sci, Göttingen 6

• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Komentář. Soc. regiae sci, Göttingen 7

Ty jsou v Gaussově Werke, Sv. II, str. 65–92 a 93–148

Gaussův pátý a šestý důkaz kvadratické reciprocity jsou uvnitř

• Gauss, Carl Friedrich (1818), Theoramatis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae

To je v Gaussově Werke, Sv. II, s. 47–64

Německé překlady všech tří výše uvedených jsou následující, což má také Disquisitiones Arithmeticae a další Gaussovy články o teorii čísel.

• Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (překladatel do němčiny) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae a další články o teorii čísel) (druhé vydání), New York: Chelsea, ISBN  0-8284-0191-8

Eisenstein

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen ZahlenJ. Reine Angew. Matematika. 27, str. 289–310 (Crelle's Journal)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Nachtrag zum cubischen Reciprocitätssatzes für die aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen, Criterien des cubischen Characters der Zahl 3 and ihrer TeilerJ. Reine Angew. Matematika. 28, s. 28–35 (Crelle's Journal)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1845), Aplikace de l'algèbre à l'arithmétique transcendanteJ. Reine Angew. Matematika. 29 s. 177–184 (Crelle's Journal)

Všechny tyto dokumenty jsou v jeho svazku I. Werke.

Jacobi

• Jacobi, Carl Gustave Jacob (1827), De residuis cubicis commentatio numerosaJ. Reine Angew. Matematika. 2 str. 66–69 (Crelle's Journal)

To je v jeho svazku VI Werke

Moderní autoři

• Cox, David A. (1989), Prvočísla tvaru x² + n y², New York: Wiley, ISBN  0-471-50654-0

• Irsko, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Klasický úvod do moderní teorie čísel (druhé vydání), New York: Springer, ISBN  0-387-97329-X

• Lemmermeyer, Franz (2000), Zákony o vzájemnosti: od Eulera po Eisenstein, Berlín: Springer, ISBN  3-540-66957-4

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Věta o kubické vzájemnosti“. MathWorld.