Dold – Kan korespondence - Dold–Kan correspondence - Wikipedia

V matematice, přesněji v teorii jednoduché sady, Dold – Kan korespondence (pojmenoval podle Albrecht Dold a Daniel Kan ) uvádí^[1] že existuje rovnocennost mezi kategorií (negativně klasifikováno) řetězové komplexy a kategorie zjednodušené abelianské skupiny. Podle ekvivalence navíc ${ displaystyle n}$tou homologickou skupinou řetězového komplexu je ${ displaystyle n}$th homotopy group of the significant simplicial abelian group, and a řetězová homotopie odpovídá a jednoduchá homotopy. (Ve skutečnosti korespondence zachovává příslušný standard modelové struktury.)

Příklad: Nechte C být komplex řetězce, který má abelianskou skupinu A v míře n a nula v ostatních stupních. Pak je odpovídající zjednodušená skupina Eilenberg – MacLaneův prostor ${ displaystyle K (A, n)}$.

K dispozici je také ∞-kategorie -verze korespondence Dold – Kan.^[2]

Níže uvedená kniha „Nonabelianská algebraická topologie“ má oddíl 14.8 krychlový verze Dold – Kanovy věty a spojuje je s předchozí ekvivalencí kategorií mezi kubickými omega-grupoidy a zkříženými komplexy, což je pro práci této knihy zásadní.

Podrobná konstrukce

Dold-Kanova korespondence mezi zjednodušenými abelianskými skupinami a řetězovými komplexy může být konstruována explicitně pomocí adjektiva funktory^{[1]str. 149}. Prvním funktorem je funktor normalizovaného řetězového komplexu

${ displaystyle N: s { textbf {Ab}} na { text {Ch}} _ { geq 0} ({ textbf {Ab}})}$

a druhým funktorem je funktor „zjednodušení“

${ displaystyle Gamma: { text {Ch}} _ { geq 0} ({ textbf {Ab}}) to s { textbf {Ab}}}$

budování zjednodušené abelianské skupiny z řetězového komplexu.

Normalizovaný řetězový komplex

Vzhledem k zjednodušené abelianské skupině ${ displaystyle A _ { bullet} in { text {Ob}} ({ text {s}} { textbf {Ab}})}$ existuje řetězový komplex ${ displaystyle NA _ { bullet}}$ volal normalizovaný řetězový komplex s podmínkami

${ displaystyle NA_ {n} = bigcap _ {i = 0} ^ {n-1} ker (d_ {i}) podmnožina A_ {n}}$

a diferenciály dané

${ displaystyle NA_ {n} xrightarrow {(-1) ^ {n} d_ {n}} NA_ {n-1}}$

Tyto rozdíly jsou dobře definované z důvodu zjednodušená identita

${ displaystyle d_ {i} circ d_ {n} = d_ {n-1} circ d_ {i}: A_ {n} až A_ {n-2}}$

zobrazující obrázek uživatele ${ displaystyle d_ {n}: NA_ {n} až A_ {n-1}}$ je v jádře každého z nich ${ displaystyle d_ {i}: NA_ {n-1} do NA_ {n-2}}$. Je to proto, že definice ${ displaystyle NA_ {n}}$ dává ${ displaystyle d_ {i} (NA_ {n}) = 0}$Složení těchto diferenciálů nyní dává komutativní diagram

${ displaystyle NA_ {n} xrightarrow {(-1) ^ {n} d_ {n}} NA_ {n-1} xrightarrow {(-1) ^ {n-1} d_ {n-1}} NA_ {n-2}}$

a mapa složení ${ displaystyle (-1) ^ {n} (- 1) ^ {n-1} d_ {n-1} circ d_ {n}}$. Tato kompozice je nulovou mapou z důvodu zjednodušená identita

${ displaystyle d_ {n-1} circ d_ {n} = d_ {n-1} circ d_ {n-1}}$

a začlenění ${ displaystyle { text {Im}} (d_ {n}) podmnožina NA_ {n-1}}$, tedy normalizovaný řetězový komplex je řetězový komplex v ${ displaystyle { text {Ch}} _ { geq 0} ({ textbf {Ab}})}$. Protože zjednodušená abelianská skupina je funktor

${ displaystyle A _ { bullet}: { text {Ord}} do { textbf {Ab}}}$

a morfismy ${ displaystyle A _ { bullet} až B _ { bullet}}$ jsou dány přirozenými transformacemi, což znamená, že mapy zjednodušených identit stále platí, normalizovaná řetězová složitá konstrukce je funkční.

Reference

• Goerss, Paul G .; Jardine, John F. (1999). Teorie zjednodušené homotopy. Pokrok v matematice. 174. Basilej, Boston, Berlín: Birkhäuser. ISBN  978-3-7643-6064-1.
• J. Lurie, Vyšší algebra, naposledy aktualizováno v srpnu 2017
• Mathew, Akhil. „Dold – Kan korespondence“ (PDF).
• Brown, Ronald; Higgins, Philip J .; Sivera, Rafael (2011). Nonabelianská algebraická topologie: filtrované prostory, zkřížené komplexy, kubické homotopy grupoidy. Trakty v matematice. 15. Curych: Evropská matematická společnost. ISBN  978-3-03719-083-8.

Další čtení

• Jacob Lurie, DAG-I

externí odkazy

• Dold-Kan korespondence v nLab

Tento teorie kategorií související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.