Kohomologická operace - Cohomology operation

V matematice je cohomologická operace koncept se stal ústředním bodem pro algebraická topologie, zejména teorie homotopy, od padesátých let 20. století, ve formě jednoduché definice, že pokud F je funktor definování a teorie cohomologie, pak by kohomologická operace měla být a přirozená transformace z F pro sebe. Skrz to byly dva základní body:

1. operace lze studovat kombinatorickými prostředky; a
2. výsledkem operací je získání zajímavého dvoučlenný teorie.

Původ těchto studií byl dílem Pontryagina, Postnikova a Norman Steenrod, který jako první definoval Náměstí Pontryagin, Postnikovovo náměstí, a Steenrodovo náměstí operace pro singulární kohomologie, v případě koeficientů mod 2. Kombinatorický aspekt zde vzniká jako formulace selhání přirozené diagonální mapy, v cochain úroveň. Obecná teorie Steenrodova algebra operace byla uvedena do úzké souvislosti s operací symetrická skupina.

V Adamsova spektrální sekvence the dvoučlenný aspekt je implicitní při používání Ext Funktory, odvozené funktory Hom funktorů; pokud existuje bicommutantní aspekt, převzatý působením Steenrodovy algebry, je to jen u a odvozený úroveň. Konvergence je ke skupinám v stabilní homotopická teorie, o kterých informacích je těžké sehnat. Toto spojení založilo hluboký zájem o kohomologické operace pro teorie homotopy, a od té doby je výzkumným tématem. An mimořádná teorie cohomologie má své vlastní kohomologické operace, které mohou vykazovat bohatší soubor omezení.

Formální definice

A cohomologická operace ${ displaystyle theta}$ typu

${ displaystyle (n, q, pi, G) ,}$

je přirozená transformace funktorů

${ displaystyle theta: H ^ {n} (-, pi) až H ^ {q} (-, G) ,}$

definováno dne CW komplexy.

Vztah k prostorům Eilenberg – MacLane

Kohomologie komplexů CW je reprezentativní podle Eilenberg – MacLaneův prostor, tak podle Yoneda lemma kohomologická operace typu ${ displaystyle (n, q, pi, G)}$ je dán a homotopy třída map ${ displaystyle K ( pi, n) až K (G, q)}$. Použitím zastupitelnost operace cohomologie je opět dána prvkem ${ displaystyle H ^ {q} (K ( pi, n), G)}$.

Symbolicky, nechat ${ displaystyle [A, B]}$ označuje sadu tříd homotopy map z ${ displaystyle A}$ na ${ displaystyle B}$,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} displaystyle mathrm {Nat} (H ^ {n} (-, pi), H ^ {q} (-, G)) & = mathrm {Nat} ([- , K ( pi, n)], [-, K (G, q)]) & = [K ( pi, n), K (G, q)] & = H ^ {q} (K ( pi, n); G). End {zarovnáno}}}$

Viz také

• Sekundární kohomologie

Reference

• Mosher, Robert E .; Tangora, Martin C. (2008) [1968], Kohomologické operace a aplikace v teorii homotopy, New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-46664-4, PAN  0226634
• Steenrod, N.E. (1962), Epstein, D. B. A. (vyd.), Kohomologické operace, Annals of Mathematics Studies, 50, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-07924-0, PAN  0145525