V aplikované matematice diskontinuální Galerkinovy metody (metody DG) tvoří třídu numerické metody řešení diferenciální rovnice. Kombinují vlastnosti konečný element a konečný objem rámec a byly úspěšně použity hyperbolický, eliptický, parabolický a problémy smíšené formy vyplývající z široké škály aplikací. Zejména metody DG získaly značný zájem o problémy s dominantní částí prvního řádu, např. v elektrodynamika, mechanika tekutin a fyzika plazmatu.
Diskontinuální Galerkinovy metody byly poprvé navrženy a analyzovány na počátku 70. let jako technika numerického řešení parciálních diferenciálních rovnic. V roce 1973 Reed a Hill představili metodu DG k řešení rovnice transportu hyperbolických neutronů.
Původ metody DG pro eliptické problémy nelze vysledovat od jediné publikace, protože funkce, jako je skoková penalizace v moderním smyslu, byly vyvíjeny postupně. Mezi prvními vlivnými přispěvateli však byli Babuška, J.-L. Lvi, Joachim Nitsche a Miloš Zlámal. Metody DG pro eliptické problémy byly již vyvinuty v článku Gartha Bakera o nastavení rovnic 4. řádu v roce 1977. Podrobnější popis historického vývoje a úvod do metod DG pro eliptické problémy je uveden v publikaci Arnold, Brezzi , Cockburn a Marini. Řada výzkumných směrů a výzev týkajících se metod DG je shromážděna v sborníku, který upravili Cockburn, Karniadakis a Shu.
Přehled
Stejně jako kontinuální Galerkinova (CG) metoda, diskontinuální Galerkinova (DG) metoda je a Metoda konečných prvků formulováno vzhledem k a slabá formulace konkrétního modelového systému. Na rozdíl od tradičních metod CG, které jsou vyhovující, metoda DG funguje na zkušebním prostoru pouze funkcí po částech spojité, a tak často zahrnují inkluzivnější funkční prostory než konečný trojrozměrný vnitřní produktový podprostor využívaný ve shodných metodách.
Jako příklad zvažte rovnice spojitosti pro skalární neznámo
v prostorové doméně
bez „zdrojů“ nebo „dřezů“:
![{frac {částečné ho} {částečné t}} + abla cdot {mathbf {J}} = 0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e48f6ad7b60f89931724ee61cea1ea714664f92)
kde
je tok
.
Nyní zvažte konečně-dimenzionální prostor diskontinuálních po částech polynomiálních funkcí přes prostorovou doménu
omezeno na diskrétní triangulace
, psáno jako
![{displaystyle S_ {h} ^ {p} (Omega _ {h}) = {v_ {| Omega _ {e_ {i}}} v P ^ {p} (Omega _ {e_ {i}}), pro všechny Omega _ {e_ {i}} v Omega _ {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f88ae934a206affc11def71420b41599eddf9579)
pro
prostor polynomů se stupni menšími nebo rovnými
přes prvek
indexováno podle
. Pak pro funkce tvaru konečných prvků
řešení představuje
![{displaystyle ho _ {h} ^ {i} = součet _ {j = 1} ^ {ext {dofs}} ho _ {j} ^ {i} (t) N_ {j} ^ {i} ({oldsymbol { x}}), quad forall {oldsymbol {x}} v Omega _ {e_ {i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf305e52a521b31b669a0c86879aaa42a8369422)
Pak podobně vyberte testovací funkci
![{displaystyle varphi _ {h} ^ {i} ({oldsymbol {x}}) = součet _ {j = 1} ^ {ext {dofs}} varphi _ {j} ^ {i} N_ {j} ^ {i } ({oldsymbol {x}}), quad forall {oldsymbol {x}} v Omega _ {e_ {i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505ea6ccb78a8bcda6eebcc7658902c9c73c7167)
vynásobením rovnice spojitosti číslem
a integrace po částech v prostoru se polodiskrétní formulace DG stává:
![{displaystyle {frac {d} {dt}} int _ {Omega _ {e_ {i}}} ho _ {h} ^ {i} varphi _ {h} ^ {i}, d {oldsymbol {x}} + int _ {částečná Omega _ {e_ {i}}} varphi _ {h} ^ {i} mathbf {J} _ {h} cdot {oldsymbol {n}}, d {oldsymbol {x}} = int _ {Omega _ {e_ {i}}} mathbf {J} _ {h} cdot abla varphi _ {h} ^ {i}, d {oldsymbol {x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5a9762e0c8d48d7a60ef2516798e64b168c704)
Skalární hyperbolický zákon zachování
Skalární zákon o hyperbolické ochraně je ve formě
![{displaystyle {egin {aligned} částečné _ {t} u + částečné _ {x} f (u) & = 0quad {ext {for}} quad t> 0,, xin mathbb {R} u (0, x) & = u_ {0} (x) ,, konec {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec09d6fe1bc41460cc0ce0f4263ae7ea7ae11bef)
kde se člověk pokusí vyřešit neznámou skalární funkci
a funkce
jsou obvykle uvedeny.
Diskretizace prostoru
The
-prostor bude diskriminován jako
![{displaystyle mathbb {R} = igcup _ {k} I_ {k} ,, quad I_ {k}: = left (x_ {k}, x_ {k + 1} ight) quad {ext {for}} quad x_ { k} <x_ {k + 1} ,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7020659dffcb0fd6180dc0ae15dcdfc0d2ab756c)
Dále potřebujeme následující definice
![{displaystyle h_ {k}: = | I_ {k} | ,, quad h: = sup _ {k} h_ {k} ,, quad {hat {x}} _ {k}: = x_ {k} + { frac {h_ {k}} {2}} ,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ae979aa1da279981f51837b753ed03181d7f86)
Základ pro funkční prostor
Odvozujeme základní reprezentaci funkčního prostoru našeho řešení
Funkční prostor je definován jako
![{displaystyle S_ {h} ^ {p}: = leftlbrace vin L ^ {2} (mathbb {R}): v {Big |} _ {I_ {k}} v Pi _ {p} ightbrace quad {ext {pro }} quad pin mathbb {N} _ {0} ,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0179b5f4d83d15ce8389d355063265fe4ab0381)
kde
označuje omezení z
do intervalu
, a
označuje prostor polynomů maxima stupeň
Index
by měl ukázat vztah k základní diskretizaci dané
.Toto si všimněte
není v průsečících jednoznačně definována
.
Nejprve použijeme konkrétní polynomiální bázi na intervalu
, Legendární polynomy
, tj.,
![{displaystyle P_ {0} (x) = 1,, quad P_ {1} (x) = x ,, quad P_ {2} (x) = {frac {1} {2}} (3x ^ {2} - 1) ,, čtyř tečky}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30582f7c9bd254c5927d37d6be95276e8629da45)
Všimněte si zejména vztahů ortogonality
![{displaystyle leftlangle P_ {i}, P_ {j} ightangle _ {L ^ {2} ([- 1,1])} = {frac {2} {2i + 1}} delta _ {ij} quad forall, i , jin mathbb {N} _ {0} ,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047ab4c461c39325d103b96d60634fe690fef639)
Transformace na interval
a normalizace je dosažena funkcemi ![{displaystyle (varphi _ {i}) _ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be362e2e26df7aa258745db3dc2948d3bd97fc6e)
![{displaystyle varphi _ {i} (x): = {sqrt {2i + 1}} P_ {i} (2x-1) quad {ext {for}} quad xin [0,1] ,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b830ef93a569c6bcafe8a84e8d1e0d496fd1fdf)
které splňují vztah ortonormality
![{displaystyle leftlangle varphi _ {i}, varphi _ {j} ightangle _ {L ^ {2} ([0,1])} = delta _ {ij} quad forall, i, jin mathbb {N} _ {0} ,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb4f3e94973b7a13f03e996734fcc4ee26f0420)
Transformace na interval
je dána ![{displaystyle left ({ar {varphi}} _ {ki} ight) _ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c130a3fc1d6e1805cfc2c154f599f7e9ae83a940)
![{displaystyle {ar {varphi}} _ {ki}: = {frac {1} {sqrt {h_ {k}}}} varphi _ {i} vlevo ({frac {x-x_ {k}} {h_ {k }}} ight) quad {ext {for}} quad xin I_ {k} ,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20d9134de4b08c4b68086ba1e2e2905e44775f80)
které splňují
![{displaystyle leftlangle {ar {varphi}} _ {ki}, {ar {varphi}} _ {kj} ightangle _ {L ^ {2} (I_ {k})} = delta _ {ij} quad forall, i, jin mathbb {N} _ {0} forall, k ,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/304767880324ca6e941e0273a7edc66007c83173)
Pro
- normalizace, kterou definujeme
, a pro
- normalizace, kterou definujeme
, Svatý.
![{displaystyle | varphi _ {ki} | _ {L ^ {infty} (I_ {k})} = | varphi _ {i} | _ {L ^ {infty} ([0,1])} =: c_ { i, infty} quad {ext {and}} quad | {ilde {varphi}} _ {ki} | _ {L ^ {1} (I_ {k})} = | varphi _ {i} | _ {L ^ {1} ([0,1])} =: c_ {i, 1} ,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41c5c3724e8a0552bc15efa4d726e3bd0ff6be1)
Nakonec můžeme definovat základní reprezentaci našich řešení ![{displaystyle u_ {h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da95acfa56c8c720f0d4ee2aeb81d1550bc1ca4)
![{displaystyle {egin {aligned} u_ {h} (t, x): = & sum _ {i = 0} ^ {p} u_ {ki} (t) varphi _ {ki} (x) quad {ext {for} } quad xin (x_ {k}, x_ {k + 1}) u_ {ki} (t) = & leftlangle u_ {h} (t, cdot), {ilde {varphi}} _ {ki} ightangle _ {L ^ {2} (I_ {k})} ,. konec {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c996f133e4c72e10c4354a17b9f10876d6a7c0b)
Všimněte si zde
není definována na pozicích rozhraní.
Kromě toho se hranolové báze používají pro rovinné struktury a jsou schopné 2-D / 3-D hybridizace.
DG-schéma
Zákon zachování je transformován do své slabé formy vynásobením testovacích funkcí a integrací v testovacích intervalech
![{displaystyle {egin {aligned} částečný _ {t} u + částečný _ {x} f (u) & = 0 Rightarrow čtyřkolka levý úhel částečný _ {t} u, vightangle _ {L ^ {2} (I_ {k} )} + částečný levý úhel _ {x} f (u), vightangle _ {L ^ {2} (I_ {k})} & = 0quad {ext {for}} quad forall, vin S_ {h} ^ {p} Leftrightarrow quad leftlangle částečný _ {t} u, {ilde {varphi}} _ {ki} ightangle _ {L ^ {2} (I_ {k})} + částečný levý úhel _ {x} f (u), {ilde {varphi}} _ {ki} ightangle _ {L ^ {2} (I_ {k})} & = 0quad {ext {for}} quad forall, k; forall, ileq p, .end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da5a598a65dfd088593437631468673cefe455e)
Při použití částečné integrace je ponecháno
![{displaystyle {egin {aligned} {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} u_ {ki} (t) + f (u (t, x_ {k + 1})) {ilde {varphi} } _ {ki} (x_ {k + 1}) - f (u (t, x_ {k})) {ilde {varphi}} _ {ki} (x_ {k}) - levý úhel f (u (t, , cdot,)), {ilde {varphi}} _ {ki} 'ightangle _ {L ^ {2} (I_ {k})} = 0quad {ext {for}} quad forall, k; forall, ileq p, .end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345889eda826f318c7fb612a2bea3813f25b721a)
Toky na rozhraní jsou aproximovány číselnými toky
s
![{displaystyle g_ {k}: = g (u_ {k} ^ {-}, u_ {k} ^ {+}) ,, quad u_ {k} ^ {pm}: = u (t, x_ {k} ^ {pm}) ,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e40b6ed3675d51c3661d2d9e3ebcd497adfcfb)
kde
označuje limity pro levou a pravou stranu. Nakonec Systém DG lze psát jako
![{displaystyle {egin {aligned} {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} u_ {ki} (t) + g_ {k + 1} {ilde {varphi}} _ {ki} (x_ { k + 1}) - g_ {k} {ilde {varphi}} _ {ki} (x_ {k}) - levý úhel f (u (t ,, cdot,)), {ilde {varphi}} _ {ki} 'ightangle _ {L ^ {2} (I_ {k})} = 0quad {ext {for}} quad forall, k; forall, ileq p, .end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0eae47379264e227f2c5fab4550b79d8e0d94f6)
Skalární eliptická rovnice
Skalární eliptická rovnice má tvar
![{displaystyle {egin {aligned} -partial _ {xx} u & = f (x) quad {ext {for}} quad xin (a, b) u (x) & = g (x), quad {ext {for }}, quad x = a, ohyb {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c5e28dd1cf6ec687cbdc038afe4e7cfad228f9f)
Tato rovnice je rovnicí tepla v ustáleném stavu, kde
je teplota. Diskretizace prostoru je stejná jako výše. Připomínáme si, že interval
je rozdělen na
intervaly délky
.
Představujeme skok
a průměr
funkcí v uzlu
:
![{displaystyle [v] {Big |} _ {x_ {k}} = v (x_ {k} ^ {+}) - v (x_ {k} ^ {-}), quad {v} {velký |} _ {x_ {k}} = 0,5 (v (x_ {k} ^ {+}) + v (x_ {k} ^ {-}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfcdb395b1485b02499399a9a232d297771791b1)
Metoda Galerkinova nesouvislého trestu za interiér je: najít
uspokojující
![{displaystyle A (u_ {h}, v_ {h}) + A_ {částečné} (u_ {h}, v_ {h}) = ell (v_ {h}) + ell _ {částečné} (v_ {h}) }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d952cdf79befdd6ffc7a527651850284122d3340)
kde se tvoří bilineární
a
jsou
![{displaystyle A (u_ {h}, v_ {h}) = součet _ {k = 1} ^ {N + 1} int _ {x_ {k-1}} ^ {x_ {k}} částečný _ {x} u_ {h} částečné _ {x} v_ {h} - součet _ {k = 1} ^ {N} {částečné _ {x} u_ {h}} _ {x_ {k}} [v_ {h}] _ {x_ {k}} + varepsilon součet _ {k = 1} ^ {N} {částečný _ {x} v_ {h}} _ {x_ {k}} [u_ {h}] _ {x_ {k}} + {frac {sigma} {h}} součet _ {k = 1} ^ {N} [u_ {h}] _ {x_ {k}} [v_ {h}] _ {x_ {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f606507d3beee4beca56d3d6c13b1ab5cbc17ed)
a
![{displaystyle A_ {částečné} (u_ {h}, v_ {h}) = částečné _ {x} u_ {h} (a) v_ {h} (a) - částečné _ {x} u_ {h} (b) v_ {h} (b) -varepsilon částečný _ {x} v_ {h} (a) u_ {h} (a) + varepsilon částečný _ {x} v_ {h} (b) u_ {h} (b) + {frac {sigma} {h}} {ig (} u_ {h} (a) v_ {h} (a) + u_ {h} (b) v_ {h} (b) {ig)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1da63a63713b7ca300d29e17eac00491693b574)
Lineární tvary
a
jsou
![{displaystyle ell (v_ {h}) = int _ {a} ^ {b} fv_ {h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d50433084db92076e0c0e9e0ca783a8e5cfe83c)
a
![{displaystyle ell _ {částečné} (v_ {h}) = - varepsilon částečné _ {x} v_ {h} (a) g (a) + varepsilon částečné _ {x} v_ {h} (b) g (b) + {frac {sigma} {h}} {ig (} g (a) v_ {h} (a) + g (b) v_ {h} (b) {ig)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ab145f072584356bdc30deae7d1ae809f6fe39)
Parametr trestu
je kladná konstanta. Zvýšení jeho hodnoty sníží skoky v diskontinuálním řešení. Termín
je zvolen tak, aby se rovnal
pro Galerkinovu metodu symetrického vnitřního trestu; to se rovná
pro Galerkinovu metodu nesymetrického vnitřního trestu.
Přímá diskontinuální Galerkinova metoda
The přímá diskontinuální Galerkinova (DDG) metoda je nová diskontinuální Galerkinova metoda pro řešení difúzních problémů. V roce 2009 Liu a Yan poprvé navrhli metodu DDG pro řešení difúzních rovnic.[1][2] Výhodou této metody ve srovnání s diskontinuální Galerkinovou metodou je, že přímá diskontinuální Galerkinova metoda odvozuje numerický formát přímým převzetím numerického toku funkce a prvního derivačního členu bez zavedení mezilehlých proměnných. Stále můžeme získat rozumné číselné výsledky pomocí této metody a proces odvození je jednodušší, množství výpočtu je výrazně sníženo.
Metoda přímých diskontinuitních konečných prvků je větev diskontinuálních Galerkinových metod.[3] Zahrnuje zejména transformaci problému do variační formy, rozdělení regionálních jednotek, konstrukci základních funkcí, formování a řešení nespojitých rovnic konečných prvků a konvergenci a analýzu chyb.
Zvažte například nelineární difúzní rovnici, která je jednorozměrná:
, ve kterém ![{displaystyle U (x, 0) = U_ {0} (x) na (0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586933c96e25490a99b477aa797cdbb4ea51b21f)
Diskretizace prostoru
Nejprve definujte
, a
. Proto jsme provedli prostorovou diskretizaci
. Také definujte
.
Chceme najít přibližnou hodnotu
na
takhle
,
,
,
je prostor polynomů v
s titulem v
a nižší než
.
Formulace režimu
Tok:
.
: přesné řešení rovnice.
Vynásobte rovnici hladkou funkcí
takže získáme následující rovnice:
,
![{displaystyle int _ {I_ {j}} Uleft (x, 0ight) vleft (xight) dx = int _ {I_ {j}} U_ {0} left (xight) vleft (xight) dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f86745ed9412ec5e533180f4f3e33c84d41bfe)
Tady
je libovolné, přesné řešení
rovnice je nahrazeno přibližným řešením
, to znamená, že numerické řešení, které potřebujeme, se získá řešením diferenciálních rovnic.
Numerický tok
Výběr správného numerického toku je rozhodující pro přesnost metody DDG.
Numerický tok musí splňovat následující podmínky:
♦ Je to v souladu s ![{displaystyle h = {bleft (uight)} _ {x} = aleft (uight) u_ {x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0c9072fa86a425a0b9197d6d098272d35653f3)
♦ Numerický tok je konzervativní v jediné hodnotě zapnuto
.
♦ Má
-stabilita;
♦ Může zlepšit přesnost metody.
Je tedy dáno obecné schéma pro numerický tok:
![{displaystyle {widehat {h}} = D_ {x} b (u) = eta _ {0} {frac {left [bleft (uight) ight]} {Delta x}} + {overline {{bleft (uight)} _ {x}}} + součet _ {m = 1} ^ {frac {k} {2}} eta _ {m} {vlevo (Delta xight)} ^ {2m-1} vlevo [částečně _ {x} ^ {2m} bleft (uight) ight]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c535c781250b2d2610eed1bd30ce2a2a312183)
V tomto toku
je maximální řád polynomů ve dvou sousedních výpočetních jednotkách.
je integrální funkce. Všimněte si, že v nejednotných mřížkách
mělo by
a
v uniformních mřížkách.
Odhady chyb
Označme chybu mezi přesným řešením
a numerické řešení
je
.
Měříme chybu s následující normou:
![{displaystyle left | left | left | v (cdot, t) ight | ight | ight | = {left (int _ {0} ^ {1} v ^ {2} dx + left (1-gamma ight) int _ { 0} ^ {t} součet _ {j = 1} ^ {N} int _ {I_ {j}} v_ {x} ^ {2} dxd au + alpha int _ {0} ^ {t} součet _ {j = 1} ^ {N} {left [vight]} ^ {2} / Delta xcdot d au ight)} ^ {0,5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d9709616aeb010abe4de1ed482378709af4fc7b)
a máme
,![{displaystyle left | left | left | u (cdot, T) ight | ight | ight | leq left | left | left | U (cdot, 0) ight | ight | ight |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ccd90e6f8af1dc59d49d320e17f71056228932)
Viz také
Reference
- ^ Hailiang Liu, Jue Yan, Přímé diskontinuální Galerkinovy metody (DDG) pro řešení problémů s difúzí, SIAM J. NUMER. ANÁLNÍ. Sv. 47, č. 1, str. 675–698.
- ^ Hailiang Liu, Jue Yan, Metoda přímé diskontinuální Galerkin (DDG) pro difúzi s korekcemi rozhraní, Commun. Comput. Phys. Sv. 8, č. 3, str. 541-564.
- ^ Mengping Zhang, Jue Yan, Analýza Fourierových typů chyb přímé diskontinuální Galerkinovy metody a jejích variací pro difúzní rovnice, Journal of Scientific Computing, 2012,52 (3).
- D.N. Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn a L.D. Marini, Jednotná analýza diskontinuálních Galerkinových metod pro eliptické problémy, SIAM J. Numer. Anální. 39 (5): 1749–1779, 2002.
- G. Baker, Metody konečných prvků pro eliptické rovnice využívající neshodné prvky, Math. Comp. 31 (1977), č. 1 137, 45–59.
- A. Cangiani, Z. Dong, E.H. Georgoulis a P. Houston, hp-verze diskontinuální Galerkinovy metody na polygonálních a polyedrických sítíchSpringerBriefs in Mathematics, (prosinec 2017).
- W. Mai, J. Hu, P. Li a H. Zhao, “Efektivní a stabilní 2-D / 3-D hybridní diskontinuální Galerkinova analýza v časové doméně s adaptivním kritériem pro libovolně tvarované antipady v disperzním páru paralelních desek,” IEEE Trans. Microw. Theory Techn., sv. 65, č. 10, s. 3671–3681, říjen 2017.
- W. Mai et al., “Jednoznačné aktualizační kritérium pro 2-D / 3-D hybridní diskontinuální Galerkinovu metodu časové domény řídící komparativní chybu,” IEEE Trans. Microw. Theory Techn., sv. 66, č. 4, s. 1713–1722, duben 2018.
- B. Cockburn, G. E. Karniadakis a C.-W. Shu (eds.), Diskontinuální Galerkinovy metody. Teorie, výpočet a aplikace, Přednášky v oblasti výpočetní vědy a techniky, 11. Springer-Verlag, Berlín, 2000.
- P. Lesaint a P. A. Raviart. „O metodě konečných prvků pro řešení rovnice přenosu neutronů.“ Matematické aspekty konečných prvků v parciálních diferenciálních rovnicích 33 (1974): 89–123.
- D.A. Di Pietro a A. Ern, Matematické aspekty diskontinuálních Galerkinových metod. Mathématiques et Applications, sv. 69, Springer-Verlag, Berlín, 2011.
- J.S. Hesthaven a T. Warburton, Nodální diskontinuální Galerkinovy metody: Algoritmy, analýza a aplikace. Springer Texts in Applied Mathematics 54. Springer Verlag, New York, 2008.
- B. Rivière, Diskontinuální Galerkinovy metody pro řešení eliptických a parabolických rovnic: teorie a implementace. SIAM Frontiers in Applied Mathematics, 2008.
- CFD Wiki http://www.cfd-online.com/Wiki/Discontinuous_Galerkin
- W.H. Reed a T.R. Kopec, Metody trojúhelníkové sítě pro rovnici transportu neutronů, Tech. Zpráva LA-UR-73–479, Los Alamos Scientific Laboratory, 1973.