Darboux integrální - Darboux integral

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Darboux integrál"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (únor 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v skutečná analýza, pobočka matematika, Darboux integrální je konstruován pomocí Sumy Darboux a je jednou z možných definic integrální a funkce. Integrály Darboux jsou ekvivalentní Riemannovy integrály, což znamená, že funkce je integrovatelná Darboux právě tehdy, když je integrovatelná Riemann, a hodnoty obou integrálů, pokud existují, jsou stejné.^[1] Definice integrálu Darboux má tu výhodu, že se snadněji aplikuje ve výpočtech nebo důkazech, než definice Riemannova integrálu. V důsledku toho úvodní učebnice o počet a skutečná analýza často vyvíjí Riemannovu integraci pomocí Darbouxova integrálu, spíše než skutečného Riemannova integrálu.^[2] Kromě toho je definice snadno rozšířena na definování Integrace Riemann – Stieltjes.^[3] Integrály Darboux jsou pojmenovány po jejich vynálezci, Gaston Darboux.

Definice

Definice integrálu Darboux uvažuje horní a dolní (Darboux) integrály, které existují pro všechny ohraničený nemovitý -hodnotená funkce F na interval [A, b]. The Darboux integrální existuje tehdy a jen tehdy, pokud jsou horní a dolní integrály stejné. Horní a dolní integrály jsou zase infimum a supremum, respektive, z horní a dolní (Darboux) součty které přeceňují a podceňují „oblast pod křivkou“. Zejména pro daný oddíl integračního intervalu se horní a dolní součty sečtou k plochám obdélníkových řezů, jejichž výšky jsou supremum a infimum F v každém podintervalu oddílu. Níže jsou uvedeny přesné nápady:

Sumy Darboux

A rozdělení intervalu [A, b] je konečný sled hodnot X_i takhle

${ displaystyle a = x_ {0}$

Každý interval [X_i−1, X_i] se nazývá a podinterval oddílu. Nechť ƒ: [A, b] → ℝ být omezenou funkcí a nechat

${ displaystyle P = (x_ {0}, ldots, x_ {n}) , !}$

být oddílem [A, b]. Nechat

${ displaystyle { begin {zarovnáno} M_ {i} = sup _ {x v [x_ {i-1}, x_ {i}]} f (x), m_ {i} = inf _ {x in [x_ {i-1}, x_ {i}]} f (x). end {zarovnáno}}}$

Dolní (zelená) a horní (zelená plus levandule) součty Darboux pro čtyři podintervaly

The horní částka Darboux ƒ s ohledem na P je

${ displaystyle U_ {f, P} = součet _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) M_ {i}. , !}$

The nižší součet Darboux ƒ s ohledem na P je

${ displaystyle L_ {f, P} = součet _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) m_ {i}. , !}$

Dolní a horní částka Darboux se často nazývá spodní a horní částka.

Integrály Darboux

The horní Darboux integrál z ƒ je

${ displaystyle U_ {f} = inf {U_ {f, P} dvojtečka P { text {je oddíl}} [a, b] }. , !}$

The dolní integrál Darboux z ƒ je

${ displaystyle L_ {f} = sup {L_ {f, P} dvojtečka P { text {je oddíl}} [a, b] }. , !}$

V některé literatuře představuje integrální symbol s podtržením a podtržením dolní a horní Darbouxův integrál.

${ displaystyle { begin {aligned} L_ {f} equiv { underline { int _ {a} ^ {b}}} f (x) , mathrm {d} x & quad U_ {f} equiv { overline { int _ {a} ^ {b}}} f (x) , mathrm {d} x end {zarovnáno}},}$

a stejně jako Darbouxovy součty se někdy jednoduše nazývají dolní a horní integrály.

Li U_ƒ = L_ƒ, pak běžnou hodnotu nazýváme Darboux Integral.^[4] Také to říkáme ƒ je Integrovatelný Darboux nebo jednoduše integrovatelný a nastavit

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} {f (t) , dt} = U_ {f} = L_ {f}, , !}$

Ekvivalentní a někdy užitečné kritérium pro integrovatelnost F znamená ukázat, že pro každé ε> 0 existuje oddíl P_ε z [A, b] takové, že^[5]

${ displaystyle U_ {f, P _ { epsilon}} - L_ {f, P _ { epsilon}} < varepsilon.}$

Vlastnosti

• U libovolného daného oddílu je horní součet Darboux vždy větší nebo roven spodnímu součtu Darboux. Dolní součet Darboux je dále ohraničen obdélníkem šířky (b−A) a výška inf (F) převzato [A, b]. Stejně tak je horní suma ohraničena nahoře obdélníkem šířky (b−A) a výška sup (F).

${ displaystyle (ba) inf _ {x v [a, b]} f (x) leqslant L_ {f, P} leqslant U_ {f, P} leqslant (ba) sup _ {x v [a, b]} f (x)}$

• Spodní a horní integrály Darboux uspokojují

${ displaystyle { podtržení { int _ {a} ^ {b}}} f (x) , dx leqslant { overline { int _ {a} ^ {b}}} f (x) , dx}$

• Vzhledem k jakékoli C v (A, b)

${ displaystyle { begin {aligned} { underline { int _ {a} ^ {b}}} f (x) , dx & = { underline { int _ {a} ^ {c}}} f (x) , dx + { podtržení { int _ {c} ^ {b}}} f (x) , dx [6pt] { overline { int _ {a} ^ {b}}} f (x) , dx & = { overline { int _ {a} ^ {c}}} f (x) , dx + { overline { int _ {c} ^ {b}}} f (x ) , dx end {zarovnáno}}}$

• Dolní a horní integrály Darboux nemusí být nutně lineární. Předpokládejme to G:[A, b] → ℝ je také omezená funkce, pak horní a dolní integrály splňují následující nerovnosti.

${ displaystyle { begin {aligned} { underline { int _ {a} ^ {b}}} f (x) , dx + { underline { int _ {a} ^ {b}}} g ( x) , dx & leqslant { podtržení { int _ {a} ^ {b}}} (f (x) + g (x)) , dx [6pt] { overline { int _ { a} ^ {b}}} f (x) , dx + { overline { int _ {a} ^ {b}}} g (x) , dx & geqslant { overline { int _ {a} ^ {b}}} (f (x) + g (x)) , dx end {zarovnáno}}}$

• Pro konstantní C ≥ 0 máme

${ displaystyle { begin {aligned} { underline { int _ {a} ^ {b}}} cf (x) & = c { underline { int _ {a} ^ {b}}} f ( x) [6pt] { overline { int _ {a} ^ {b}}} cf (x) & = c { overline { int _ {a} ^ {b}}} f (x) end {zarovnáno}}}$

• Pro konstantní C ≤ 0 máme

${ displaystyle { begin {aligned} { underline { int _ {a} ^ {b}}} cf (x) & = c { overline { int _ {a} ^ {b}}} f ( x) [6pt] { overline { int _ {a} ^ {b}}} cf (x) & = c { podtržení { int _ {a} ^ {b}}} f (x) end {zarovnáno}}}$

• Zvažte funkci:

${ displaystyle { begin {cases} F: [a, b] to mathbb {R} F (x) = { podtržítko { int _ {a} ^ {x}}} f (t) , dt end {cases}}}$

pak F je Lipschitz kontinuální. Stejný výsledek platí, pokud F je definován pomocí horního integrálu Darboux.

Příklady

Integrovatelná funkce Darboux

Předpokládejme, že chceme ukázat tuto funkci F(X) = X je Darboux integrovatelný v intervalu [0, 1] a určete jeho hodnotu. Za tímto účelem rozdělíme [0, 1] na n stejně velké podintervaly, každý o délce 1 /n. Označíme oddíl o n stejně velké podintervaly jako P_n.

Nyní od té doby F(X) = X se striktně zvyšuje na [0, 1], infimum na jakémkoli konkrétním podintervalu je dáno jeho počátečním bodem. Podobně je supremum v určitém konkrétním podintervalu dáno jeho koncovým bodem. Výchozí bod kth podinterval v P_n je (k−1)/n a konečný bod je k/n. Tedy nižší částka Darboux na oddílu P_n darováno

${ displaystyle { begin {seřazeno} L_ {f, P_ {n}} & = sum _ {k = 1} ^ {n} f (x_ {k-1}) (x_ {k} -x_ {k -1}) & = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {k-1} {n}} cdot { frac {1} {n}} & = { frac {1} {n ^ {2}}} sum _ {k = 1} ^ {n} [k-1] & = { frac {1} {n ^ {2}}} left [ { frac {(n-1) n} {2}} doprava] end {zarovnáno}}}$

podobně je horní část Darbouxu dána vztahem

${ displaystyle { begin {aligned} U_ {f, P_ {n}} & = sum _ {k = 1} ^ {n} f (x_ {k}) (x_ {k} -x_ {k-1 }) & = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {k} {n}} cdot { frac {1} {n}} & = { frac {1} {n ^ {2}}} sum _ {k = 1} ^ {n} k & = { frac {1} {n ^ {2}}} left [{ frac {(n + 1 ) n} {2}} doprava] end {zarovnáno}}}$

Od té doby

${ displaystyle { begin {aligned} U_ {f, P_ {n}} - L_ {f, P_ {n}} & = { frac {1} {n}} end {aligned}}}$

Takže pro dané libovolné ε> 0 máme tento libovolný oddíl P_n s n > 1 / ε vyhovuje

${ displaystyle { begin {aligned} U_ {f, P_ {n}} - L_ {f, P_ {n}} & < epsilon end {aligned}}}$

což ukazuje F je Darboux integrovatelný. Chcete-li zjistit hodnotu integrální poznámky, že

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ {1} f (x) , dx & = lim _ {n to infty} U_ {f, P_ {n}} = lim _ {n to infty} L_ {f, P_ {n}} = { frac {1} {2}} end {zarovnáno}}}$

Sumy Darboux

Darboux horní součty funkce y = X²

Darboux nižší součty funkce y = X²

Nezapojitelná funkce

Předpokládejme, že máme funkci F: [0, 1] → ℝ definováno jako

${ displaystyle { begin {aligned} f (x) & = { begin {cases} 0, & { text {if}} x { text {je racionální}} 1, & { text {if }} x { text {je iracionální}} end {případy}} end {zarovnáno}}}$

Protože racionální i iracionální čísla jsou obě husté podmnožiny z ℝ, z toho vyplývá F nabývá hodnoty 0 a 1 v každém podintervalu libovolného oddílu. Tedy pro jakýkoli oddíl P my máme

${ displaystyle { begin {aligned} L_ {f, P} & = sum _ {k = 1} ^ {n} (x_ {k} -x_ {k-1}) inf _ {x in [ x_ {k-1}, x_ {k}]} f = 0 U_ {f, P} & = součet _ {k = 1} ^ {n} (x_ {k} -x_ {k-1} ) sup _ {x in [x_ {k-1}, x_ {k}]} f = 1 end {zarovnáno}}}$

z čehož vidíme, že dolní a horní integrály Darboux jsou nerovné.

Upřesnění oddílu a vztah k Riemannově integraci

Při přechodu na upřesnění se spodní součet zvyšuje a horní součet se snižuje.

A upřesnění oddílu ${ displaystyle x_ {0}, ldots, x_ {n} , !}$ je oddíl ${ displaystyle y_ {0}, ldots, y_ {m} , !}$ takové, že pro všechny i = 0, ..., n tady je celé číslo r(i) takové, že

${ displaystyle x_ {i} = y_ {r (i)}. , !}$

Jinými slovy, pro upřesnění rozřízněte podintervaly na menší kousky a neodstraňujte žádné stávající řezy.

Li ${ displaystyle P '= (y_ {0}, ldots, y_ {m}) , !}$ je upřesnění ${ displaystyle P = (x_ {0}, ldots, x_ {n}), , !}$ pak

${ displaystyle U_ {f, P} geq U_ {f, P '} , !}$

a

${ displaystyle L_ {f, P} leq L_ {f, P '}. , !}$

Li P₁, P₂ jsou dva oddíly stejného intervalu (jeden nemusí být zdokonalením druhého), pak

${ displaystyle L_ {f, P_ {1}} leq U_ {f, P_ {2}}, , !}$

a z toho vyplývá

${ displaystyle L_ {f} leq U_ {f}. , !}$

Riemannovy součty vždy leží mezi odpovídajícími dolními a horními součty Darboux. Formálně, pokud ${ displaystyle P = (x_ {0}, ldots, x_ {n}) , !}$ a ${ displaystyle T = (t_ {1}, ldots, t_ {n}) , !}$ společně vytvoří označený oddíl

${ displaystyle x_ {0} leq t_ {1} leq x_ {1} leq cdots leq x_ {n-1} leq t_ {n} leq x_ {n} , !}$

(jako v definici Riemannův integrál ), a pokud Riemannova součet ƒ souhlasí s P a T je R, pak

${ displaystyle L_ {f, P} leq R leq U_ {f, P}. , !}$

Z předchozího faktu jsou Riemannovy integrály přinejmenším stejně silné jako integrály Darboux: pokud existuje integrál Darboux, pak horní a dolní část Darboux odpovídající dostatečně jemnému rozdělení bude blízká hodnotě integrálu, takže jakýkoli Riemannův součet stejný oddíl bude také blízký hodnotě integrálu. Tady je^{[je třeba další vysvětlení ]} označený oddíl, který se libovolně blíží hodnotě horního integrálu Darboux nebo dolního integrálu Darboux, a pokud tedy existuje Riemannův integrál, musí existovat také Darbouxův integrál.

Viz také

• Regulovaný integrál
• Lebesgueova integrace
• Minimální ohraničující obdélník

Poznámky

Reference

• "Darboux Integral". Wolfram MathWorld. Citováno 2013-01-08.
• Darboux integrální na Encyclopaedia of Mathematics
• "Darboux součet", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Spivak, Michael (2008), Počet (4. vyd.), Publish or Perish, ISBN  978-0914098911
• "Ekvivalence Darbouxova a Riemannova integrálu".