Obvod (funkční analýza) - Girth (functional analysis)

v funkční analýza, obvod a Banachův prostor je infimum délek centrálně symetrický jednoduché uzavřené křivky v jednotková koule prostoru. Ekvivalentně je to dvojnásobek infimum vzdáleností mezi protilehlými body koule, měřeno v kouli.[1][2]

Každý konečně trojrozměrný Banachův prostor má dvojici protilehlých bodů na jednotkové kouli, která dosahuje minimální vzdálenosti, a centrálně symetrickou jednoduchou uzavřenou křivku, která dosahuje minimální délky. Taková křivka však nemusí vždy existovat v nekonečně rozměrných prostorech.[1]

Obvod je vždy nejméně čtyři, protože nejkratší dráha na jednotkové kouli mezi dvěma protilehlými body nemůže být kratší než úsečka se dvěma délkami spojujícími počátek prostoru. Říká se, že je to Banachův prostor, pro který jsou to přesně čtyři byt. Existují ploché Banachovy prostory nekonečné dimenze, ve kterých je obvod dosažen křivkou minimální délky; příkladem je prostor C[0,1] spojitých funkcí z jednotkový interval do reálná čísla, s sup norma. Jednotková koule takového prostoru má protiintuitivní vlastnost, že určité páry protilehlých bodů mají v rámci koule stejnou vzdálenost, jakou mají v celém prostoru.[3]

Obvod je spojitá funkce na Banach – Mazur compactum, prostor, jehož body odpovídají normovaným vektorovým prostorům dané dimenze.[2] Obvod dvojí prostor normovaného vektorového prostoru se vždy rovná obvodu původního prostoru.[2][4]

Viz také

Reference

  1. ^ A b Schäffer, Juan Jorge (1967), „Vnitřní průměr, obvod a obvod koulí“, Mathematische Annalen, 173: 79–82, doi:10.1007 / BF01351519, PAN  0218875.
  2. ^ A b C Álvarez Paiva, J. C. (2006), „Some problems on Finsler geometry“, Příručka diferenciální geometrie. Sv. II, Elsevier / Severní Holandsko, Amsterdam, s. 1–33, doi:10.1016 / S1874-5741 (06) 80004-X, PAN  2194667. Viz zejména str. 16.
  3. ^ Harrell, R.E .; Karlovitz, L. A. (1970), „Obvody a ploché Banachovy prostory“, Bulletin of the American Mathematical Society, 76: 1288–1291, doi:10.1090 / S0002-9904-1970-12643-X, PAN  0267383.
  4. ^ Álvarez Paiva, J. C. (2006), „Duální koule mají stejný obvod“ (PDF), American Journal of Mathematics, 128 (2): 361–371, arXiv:matematika / 0408414, doi:10.1353 / ajm.2006.0015, PAN  2214896.