Kónická spirála - Conical spiral

Kónická spirála s archimédskou spirálou jako půdorysem

půdorys: Fermatova spirála

půdorys: logaritmická spirála

půdorys: hyperbolická spirála

V matematice, a kónická spirála je křivka na pravý kruhový kužel, jehož půdorys je letadlo spirála. Pokud je půdorys a logaritmická spirála, to se nazývá konchospirála (z ulita ).

Conchospirals se používají v biologii pro modelování šnečí ulity a dráhy letu hmyzu ^[1][2] a v elektrotechnika pro stavbu antény.^[3][4]

Parametrické znázornění

V ${ displaystyle x}$-${ displaystyle y}$-rovnejte spirálu s parametrickým znázorněním

${ Displaystyle x = r ( varphi) cos varphi , qquad y = r ( varphi) sin varphi}$

třetí souřadnice ${ displaystyle z ( varphi)}$ lze přidat tak, že prostorová křivka leží na kužel s rovnicí ${ displaystyle ; m ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = (z-z_ {0}) ^ {2} , m> 0 ;}$ :

• ${ displaystyle x = r ( varphi) cos varphi , qquad y = r ( varphi) sin varphi , qquad color {červená} {z = z_ {0} + mr ( varphi )} .}$

Takové křivky se nazývají kuželovité spirály.^[5] Bylo o nich známo Pappos.

Parametr ${ displaystyle m}$ je sklon linií kužele vzhledem k ${ displaystyle x}$-${ displaystyle y}$-letadlo.

Kónickou spirálu lze místo toho považovat za ortogonální průmět spirály půdorysu na kužel.

Příklady

1) Počínaje archimédova spirála ${ displaystyle ; r ( varphi) = a varphi ;}$ dává kónickou spirálu (viz obrázek)

${ Displaystyle x = a varphi cos varphi , qquad y = a varphi sin varphi , qquad z = z_ {0} + ma varphi , quad varphi geq 0 . }$

V tomto případě lze kuželovou spirálu považovat za průsečík křivky kužele s a vrtulník.

2) Druhý diagram ukazuje kuželovou spirálu s a Fermatova spirála ${ displaystyle ; r ( varphi) = pm a { sqrt { varphi}} ;}$ jako půdorys.

3) Třetí příklad má a logaritmická spirála ${ displaystyle ; r ( varphi) = ae ^ {k varphi} ;}$ jako půdorys. Jeho zvláštností je jeho konstanta sklon (viz. níže).

Představujeme zkratku ${ displaystyle K = e ^ {k}}$dává popis: ${ displaystyle r ( varphi) = aK ^ { varphi}}$.

4) Příklad 4 je založen na a hyperbolická spirála ${ displaystyle ; r ( varphi) = a / varphi ;}$. Taková spirála má asymptota (černá čára), což je půdorys a hyperbola (nachový). Kónická spirála se blíží k hyperbole pro ${ displaystyle varphi až 0}$.

Vlastnosti

Následující šetření se zabývá kuželovitými spirálami formy ${ displaystyle r = a varphi ^ {n}}$ a ${ displaystyle r = ae ^ {k varphi}}$, resp.

Sklon

Úhel sklonu v bodě kuželové spirály

The sklon v bodě kuželovité spirály je sklon tečny tohoto bodu vzhledem k ${ displaystyle x}$-${ displaystyle y}$-letadlo. Odpovídající úhel je jeho úhel sklonu (viz schéma):

${ displaystyle tan beta = { frac {z '} { sqrt {(x') ^ {2} + (y ') ^ {2}}}} = { frac {mr'} { sqrt {(r ') ^ {2} + r ^ {2}}}} .}$

Spirála s ${ displaystyle r = a varphi ^ {n}}$ dává:

• ${ displaystyle tan beta = { frac {mn} { sqrt {n ^ {2} + varphi ^ {2}}}} .}$

Pro archimedean spirála je ${ displaystyle n = 1}$ a proto je jeho sklon${ displaystyle tan beta = { tfrac {m} { sqrt {1+ varphi ^ {2}}}} .}$

• Pro logaritmický spirála s ${ displaystyle r = ae ^ {k varphi}}$ sklon je ${ displaystyle tan beta = { tfrac {mk} { sqrt {1 + k ^ {2}}}} }$ (${ displaystyle color {červená} { text {konstantní!}}}$ ).

Kvůli této vlastnosti se conchospiral nazývá rovnoramenný kónická spirála.

Délka oblouku

The délka oblouku kónické spirály lze určit pomocí

${ displaystyle L = int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} { sqrt {(x ') ^ {2} + (y') ^ {2} + (z ' ) ^ {2}}} , mathrm {d} varphi = int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} { sqrt {(1 + m ^ {2}) (r ') ^ {2} + r ^ {2}}} , mathrm {d} varphi .}$

Pro archimedean spirálu integrál lze vyřešit pomocí a tabulka integrálů, analogicky k rovinnému případu:

${ displaystyle L = { frac {a} {2}} { velký [} varphi { sqrt {(1 + m ^ {2}) + varphi ^ {2}}} + (1 + m ^ {2}) ln { big (} varphi + { sqrt {(1 + m ^ {2}) + varphi ^ {2}}} { big)} { big]} _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} .}$

Pro logaritmický spirálu integrál lze snadno vyřešit:

${ displaystyle L = { frac { sqrt {(1 + m ^ {2}) k ^ {2} +1}} {k}} (r { big (} varphi _ {2}) - r ( varphi _ {1}) { big)} .}$

V ostatních případech eliptické integrály nastat.

Rozvoj

Vývoj (zelená) kuželovité spirály (červená), vpravo: boční pohled. Rovinu obsahující vývoj navrhl ${ displaystyle pi}$. Zpočátku se kužel a letadlo dotýkají fialové čáry.

Pro rozvoj kónické spirály^[6] vzdálenost ${ displaystyle rho ( varphi)}$ bodu křivky ${ displaystyle (x, y, z)}$ na vrchol kužele ${ displaystyle (0,0, z_ {0})}$a vztah mezi úhlem ${ displaystyle varphi}$ a odpovídající úhel ${ displaystyle psi}$ vývoje je třeba určit:

${ displaystyle rho = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + (z-z_ {0}) ^ {2}}} = { sqrt {1 + m ^ {2}}} ; r ,}$

${ displaystyle varphi = { sqrt {1 + m ^ {2}}} psi .}$

Polární reprezentace rozvinuté kuželové spirály je tedy:

• ${ displaystyle rho ( psi) = { sqrt {1 + m ^ {2}}} ; r ({ sqrt {1 + m ^ {2}}} psi)}$

V případě ${ displaystyle r = a varphi ^ {n}}$ polární zastoupení rozvinuté křivky je

${ displaystyle rho = a { sqrt {1 + m ^ {2}}} ^ {, n + 1} psi ^ {n},}$

který popisuje spirálu stejného typu.

• Pokud je půdorys kuželové spirály archimedean spirála než její vývoj je archimédova spirála.

V případě a hyperbolický spirála (${ displaystyle n = -1}$) vývoj je shodný s půdorysnou spirálou.

V případě a logaritmický spirála ${ displaystyle r = ae ^ {k varphi}}$ vývoj je logaritmická spirála:

${ displaystyle rho = a { sqrt {1 + m ^ {2}}} ; e ^ {k { sqrt {1 + m ^ {2}}} psi} .}$

Tečná stopa

Stopa (fialová) tečen kuželové spirály s hyperbolickou spirálou jako půdorysem. Černá čára je asymptotem hyperbolické spirály.

Sbírka průsečíků tečen kuželové spirály s ${ displaystyle x}$-${ displaystyle y}$-rovina (letadlo procházející vrcholem kužele) se nazývá jeho tečná stopa.

Pro kónickou spirálu

${ displaystyle (r cos varphi, r sin varphi, mr)}$

tečný vektor je

${ displaystyle (r ' cos varphi -r sin varphi, r' sin varphi + r cos varphi, mr ') ^ {T}}$

a tečna:

${ Displaystyle x (t) = r cos varphi + t (r ' cos varphi -r sin varphi) ,}$

${ Displaystyle y (t) = r sin varphi + t (r ' sin varphi + r cos varphi) ,}$

${ displaystyle z (t) = mr + tmr '.}$

Průsečík s ${ displaystyle x}$-${ displaystyle y}$letadlo má parametr ${ displaystyle t = -r / r '}$ a průsečík je

• ${ displaystyle left ({ frac {r ^ {2}} {r '}} sin varphi, - { frac {r ^ {2}} {r'}} cos varphi, 0 vpravo ) .}$

${ displaystyle r = a varphi ^ {n}}$ dává ${ displaystyle { tfrac {r ^ {2}} {r '}} = { tfrac {a} {n}} varphi ^ {n + 1} }$ a tečná stopa je spirála. V případě ${ displaystyle n = -1}$ (hyperbolická spirála) tečná stopa degeneruje na a kruh s poloměrem ${ displaystyle a}$ (viz schéma). Pro ${ displaystyle r = ae ^ {k varphi}}$ jeden má ${ displaystyle { tfrac {r ^ {2}} {r '}} = { tfrac {r} {k}} }$ a tečná stopa je logaritmická spirála, která je shodná s půdorysem, protože sebepodobnost logaritmické spirály.

Šnečí ulity (Neptunea angulata levá, pravá: Neptunea despecta

Reference

externí odkazy

• Jamnitzer -Galerie: 3D spirála..
• Weisstein, Eric W. „Kónická spirála“. MathWorld.