Topologie konkrétního bodu - Particular point topology

v matematika, konkrétní topologie bodu (nebo zahrnutá topologie bodů) je topologie kde soubor je otevřeno pokud obsahuje určitý bod topologický prostor. Formálně, pojďme X být libovolná sada a p ∈ X. Sbírka

{displaystyle T = {Ssubseteq Xmid pin S {ext {or}} S = emptyset}}

z podmnožiny z X je topologie konkrétního bodu X. Existuje celá řada případů, které jsou jednotlivě pojmenovány:

Li X má dva body, konkrétní bodová topologie je zapnuta X je Sierpiński prostor.
Li X je konečný (s minimálně 3 body), topologie zapnuta X se nazývá topologie konečných konkrétních bodů.
Li X je počítatelně nekonečný, topologie zapnuta X se nazývá spočetná topologie konkrétního bodu.
Li X je nespočet, topologie zapnuta X se nazývá nespočetná topologie konkrétního bodu.

Zobecněním topologie konkrétního bodu je topologie uzavřeného rozšíření. V případě, kdy X {p} má diskrétní topologie, topologie uzavřené extenze je stejná jako topologie konkrétního bodu.

Tato topologie se používá k poskytnutí zajímavých příkladů a protipříkladů.

Vlastnosti

Uzavřené sady mají prázdný vnitřek: Vzhledem k neprázdné otevřené sadě ${displaystyle Asubset X}$ každý ${displaystyle xeq p}$ je mezní bod z A. Takže uzavření jakékoli otevřené sady jiné než ${displaystyle emptyset}$ je ${displaystyle X}$ . Ne uzavřená sada jiný než ${displaystyle X}$ obsahuje p takže interiér každé uzavřené množiny jiné než ${displaystyle X}$ je ${displaystyle emptyset}$ .

Vlastnosti propojenosti

Cesta a místně spojená, ale ne oblouk připojen

Pro všechny X, y ∈ X, funkce F: [0, 1] → X dána

{displaystyle f (t) = {egin {cases} x & t = 0 p & tin (0,1) y & t = 1end {cases}}}

je cesta. Nicméně od té doby p je otevřený, preimage z p pod kontinuální injekce z [0,1] by byl otevřený jediný bod [0,1], což je rozpor.

Bod disperze, příklad množiny s: p je bod rozptylu pro X. To je X {p} je úplně odpojen.

Hyperconnected, ale ne ultraconnected: Každý neprázdný otevřená sada obsahuje p, a tedy X je hyperconnected. Ale pokud A a b jsou v X takhle p, A, a b jsou tři odlišné body, pak {A} a {b} jsou disjunktní uzavřené množiny a tak X není ultra propojeno. Všimněte si, že pokud X je Sierpiński prostor, pak žádný takový A a b existují a X je ve skutečnosti ultra propojený.

Vlastnosti kompaktnosti

Kompaktní pouze v případě, že je konečný. Lindelöf, jen pokud je to spočítatelné.: Li X je konečný, to je kompaktní; a pokud X je nekonečný, není kompaktní, protože rodina všech otevřených sad ${displaystyle {p, x}; (xin X)}$ tvoří otevřete kryt bez konečné subkryty.

Z podobných důvodů, pokud X je spočítatelné, to je Lindelöfův prostor; a pokud X je nepočítatelné, není to Lindelöf.

Uzávěr kompaktní není kompaktní: Sada {p} je kompaktní. Nicméně jeho uzavření (uzavření kompaktní sady) je celý prostor X, a pokud X je nekonečný, toto není kompaktní. Z podobných důvodů, pokud X je nespočetné, máme příklad, kdy uzavření kompaktní sady není prostorem Lindelöf.

Pseudokompaktní, ale ne slabě spočetně kompaktní: Nejprve neexistují disjunktní neprázdné otevřené sady (protože všechny otevřené sady obsahují p). Proto každá spojitá funkce do skutečná linie musí být konstantní, a tudíž omezené, což dokazuje X je pseudokompaktní prostor. Jakákoli sada, která neobsahuje p nemá mezní bod, tedy pokud X pokud nekonečný není slabě spočetně kompaktní.

Lokálně kompaktní, ale ne lokálně relativně kompaktní.: Li ${displaystyle xin X}$ , pak sada ${displaystyle {x, p}}$ je kompaktní sousedství z X. Uzavření této čtvrti je však vše X, a tedy pokud X je nekonečný, X nemá uzavřenou kompaktní čtvrť a X není místně relativně kompaktní.

Související s limitem

Akumulační body sad: Li ${displaystyle Ysubseteq X}$ neobsahuje p, Y nemá žádný akumulační bod (protože Y je uzavřen X a diskrétní v topologii podprostoru).

Li

{displaystyle Ysubseteq X}

obsahuje p, každý bod

{displaystyle xeq p}

je akumulační bod Y, od té doby

{displaystyle {x, p}}

(nejmenší sousedství

{displaystyle x}

) splňuje Y. Y nemá žádný ω-akumulační bod. Všimněte si, že p nikdy není akumulačním bodem žádné sady, protože je izolován v X.

Akumulační bod jako sada, ale ne jako posloupnost: Udělejte sekvenci ${displaystyle (a_ {n}) _ {n}}$ různých prvků, které také obsahují p. Základní sada ${displaystyle {a_ {n}}}$ má nějaké ${displaystyle xeq p}$ jako akumulační bod. Samotná sekvence však nemá žádné akumulační bod jako sekvence, jako sousedství ${displaystyle {y, p}}$ ze všech y nemůže obsahovat nekonečně mnoho odlišných ${displaystyle a_ {n}}$ .

Oddělení související

T₀: X je T₀ (od té doby {X, p} je otevřen pro každého X), ale nesplňuje nic vyššího separační axiomy (protože všechny neprázdné otevřené sady musí obsahovat p).

Ne pravidelné: Protože každá neprázdná otevřená sada obsahuje p, žádná uzavřená sada neobsahuje p (jako X {p}) může být odděleny čtvrtí z {p}, a tudíž X není pravidelný. Od té doby úplná pravidelnost znamená pravidelnost, X není úplně normální.

Nenormální: Protože každá neprázdná otevřená sada obsahuje p, nemohou být žádné neprázdné uzavřené sady odděleny čtvrtí od sebe navzájem, a tedy X není normální. Výjimka: Sierpińského topologie je normální a dokonce zcela normální, protože neobsahuje žádné netriviální oddělené sady.

Oddělitelnost: {p} je hustý a tudíž X je oddělitelný prostor. Nicméně pokud X je nespočet pak X {p} nelze oddělit. Toto je příklad a podprostor oddělitelného prostoru, který nelze oddělit.

Počitatelnost (první, ale ne druhá): Li X je potom nepočítatelné X je nejprve spočítatelné ale ne spočítatelné druhé.

Srovnatelné (homeomorfní topologie na stejné sadě, které nejsou srovnatelné): Nechat ${displaystyle p, qin X}$ s ${displaystyle peq q}$ . Nechat ${displaystyle t_ {p} = {Ssubset Xmid pin S}}$ a ${displaystyle t_ {q} = {Ssubset Xmid qin S}}$ . To je t_q je topologie konkrétního bodu X s q být rozlišovacím bodem. Pak (X,t_p) a (X,t_q) jsou homeomorfní nesrovnatelné topologie na stejné sadě.

Žádná neprázdná podmnožina sama o sobě hustá: Nechat S být neprázdnou podmnožinou X. Li S obsahuje p, pak p je izolován v S (protože se jedná o izolovaný bod X). Li S neobsahuje p, jakýkoli X v S je izolován v S.

Ne první kategorie: Jakákoli sada obsahující p je hustá v X. Proto X není svaz z nikde husté podmnožiny.

Podprostory: Každý podprostor množiny daný danou topologií konkrétního bodu, který neobsahuje konkrétní bod, dědí diskrétní topologii.

Viz také

Reference

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Protiklady v topologii (Doveru dotisk z roku 1978 vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, PAN 0507446