Sierpiński set - Sierpiński set

V matematice, a Sierpiński set je nespočet podmnožina skutečného vektorového prostoru, jehož průsečík s každou množinou nuly míry je počitatelný. Existence Sierpińských sad je nezávislá na axiomech ZFC. Sierpiński  (1924 ) ukázal, že existují, pokud hypotéza kontinua je pravda. Na druhou stranu neexistují, pokud Martinův axiom pro ℵ₁ je pravda. Sierpiński sety jsou slabě Luzinovy ​​sety, ale nejsou Luzinovy ​​sady (Kunen 2011, str. 376).

Příklad sady Sierpiński

Vyberte si kolekci 2^ℵ₀ změřit 0 podmnožin R takže každá podmnožina míry 0 je obsažena v jedné z nich. Hypotézou kontinua je možné je vyjmenovat jako S_α pro spočítatelné ordinály α. Pro každou započítatelnou řadovou β vyberte skutečné číslo X_β to není v žádné ze sad S_α pro α < β, což je možné, protože spojení těchto množin má míru 0, takže to není celé R. Pak nespočetná sada X všech těchto reálných čísel X_β má v každé sadě pouze spočetný počet prvků S_α, stejně jako Sierpiński set.

Je možné, že sada Sierpiński bude přidanou podskupinou. Z tohoto důvodu upraví výše uvedenou konstrukci výběrem reálného čísla X_β to není v žádném z počitatelného počtu sad formuláře (S_α + X)/n pro α < β, kde n je kladné celé číslo a X je integrální lineární kombinace čísel X_α pro α < β. Potom skupina vygenerovaná těmito čísly je Sierpińského množina a skupina, která se přidává. Složitější variace této konstrukce vytvářejí příklady Sierpińských množin, které jsou podpolemi nebo skutečně uzavřenými podpolemi reálných čísel.

Reference

• Kunen, Kenneth (2011), Teorie množin, Studium v ​​logice, 34, London: College Publications, ISBN  978-1-84890-050-9, PAN  2905394, Zbl  1262.03001
• Sierpiński, W. (1924), „Sur l'hypothèse du continue (2^ℵ₀ = ℵ₁)", Fundamenta Mathematicae, 5 (1): 177–187