Zákon o moci - Power law

Příklad grafu zákonu moci, který ukazuje hodnocení popularity. Napravo je dlouhý ocas, a nalevo je několik málo, které dominují (také známé jako Pravidlo 80–20 ).

v statistika, a mocenský zákon je funkční vztah mezi dvěma veličinami, kde a relativní změna v jedné veličině dojde k poměrné relativní změně v druhé veličině, nezávisle na počáteční velikosti těchto veličin: jedna veličina se mění jako Napájení jiného. Například, vezmeme-li v úvahu plochu čtverce, pokud jde o délku jeho strany, je-li délka zdvojnásobena, plocha se vynásobí čtyřikrát.^[1]

Empirické příklady

Distribuce nejrůznějších fyzikálních, biologických a člověkem způsobených jevů se přibližně řídí mocenským zákonem v široké škále velikostí: mezi ně patří velikosti kráterů na měsíc a ze dne sluneční erupce,^[2] potravní vzor různých druhů,^[3] velikosti vzorců aktivity neuronových populací,^[4] frekvence slova ve většině jazyků frekvence příjmení, druhová bohatost v klady organismů,^[5] velikosti výpadky proudu, trestní obvinění na odsouzeného, ​​sopečné erupce,^[6] lidské soudy o intenzitě stimulu^[7][8] a mnoho dalších veličin.^[9] Několik empirických rozdělení odpovídá zákonu moci pro všechny jejich hodnoty, ale spíše se řídí zákonem moci v ocasu.Akustický útlum následuje zákonitosti frekvence v širokých frekvenčních pásmech pro mnoho složitých médií. Alometrické zákony měřítka protože vztahy mezi biologickými proměnnými patří k nejznámějším mocninovým funkcím v přírodě.

Vlastnosti

Měřítko invariance

Jedním z atributů mocenských zákonů je jejich škálová invariance. Vzhledem k vztahu ${displaystyle f (x) = ax ^ {- k}}$, škálování argumentu ${displaystyle x}$ konstantním faktorem ${displaystyle c}$ způsobí pouze proporcionální změnu velikosti samotné funkce. To znamená

${displaystyle f (cx) = a (cx) ^ {- k} = c ^ {- k} f (x) propto f (x) ,!}$

kde ${displaystyle propto}$ označuje přímá přiměřenost. To znamená, škálování pomocí konstanty ${displaystyle c}$ jednoduše vynásobí původní vztah mocniny a zákona konstantou ${displaystyle c ^ {- k}}$. Z toho tedy vyplývá, že všechny mocenské zákony s určitým exponentem změny měřítka jsou ekvivalentní až do konstantních faktorů, protože každý z nich je jednoduše zmenšenou verzí ostatních. Toto chování vytváří lineární vztah, když jsou logaritmy převzaty z obou ${displaystyle f (x)}$ a ${displaystyle x}$a přímka na grafu log – log se často nazývá podpis mocenského zákona. U skutečných dat je taková přímost nezbytnou, ale ne dostatečnou podmínkou pro data následující po mocensko-právním vztahu. Ve skutečnosti existuje mnoho způsobů, jak generovat konečná množství dat, která napodobují toto chování podpisu, ale ve svém asymptotickém limitu nejsou skutečnými mocenskými zákony (např. Pokud proces generování některých dat následuje Normální distribuce protokolu ).^{[Citace je zapotřebí ]} Tedy přesně padnoucí a ověřování mocenského zákona modely je aktivní oblastí výzkumu ve statistice; viz. níže.

Nedostatek dobře definované průměrné hodnoty

Mocenský zákon ${displaystyle x ^ {- k}}$ má dobře definované znamenat přes ${displaystyle xin [1, infty)}$ jen když ${displaystyle k> 2}$, a má konečnou rozptyl jen když ${displaystyle k> 3}$; většina identifikovaných mocenských zákonů v přírodě má takové exponenty, že průměr je dobře definovaný, ale rozptyl není, z čehož vyplývá, že jsou schopni Černá labuť chování.^[2] To lze vidět na následujícím myšlenkovém experimentu:^[10] představte si pokoj se svými přáteli a odhadněte průměrný měsíční příjem v místnosti. Nyní si představte nejbohatší člověk na světě vstup do místnosti s měsíčním příjmem asi 1 miliarda AMERICKÉ DOLARY$. Co se stane s průměrným příjmem v místnosti? Příjmy se rozdělují podle mocenského zákona známého jako Paretova distribuce (například čisté jmění Američanů je rozděleno podle mocenského zákona s exponentem 2).

Na jedné straně to znemožňuje použití tradiční statistiky založené na rozptyl a standardní odchylka (jako regresní analýza ).^{[Citace je zapotřebí ]} Na druhou stranu to také umožňuje nákladově efektivní zásahy.^[10] Například vzhledem k tomu, že výfukové plyny automobilů jsou rozděleny podle energetického zákona mezi automobily (velmi málo automobilů přispívá k největšímu znečištění), by bylo dostatečné vyloučit těch velmi málo automobilů ze silnice, aby se celkový výfuk podstatně snížil.^[11]

Medián však existuje: pro mocenský zákon X ^–k, s exponentem ${displaystyle k> 1}$, má hodnotu 2^{1/(k – 1)}X_min, kde X_min je minimální hodnota, pro kterou platí zákon o moci.^[12]

Univerzálnost

Ekvivalence mocenských zákonů s konkrétním exponentem změny měřítka může mít hlubší původ v dynamických procesech, které generují vztah moc-zákon. Například ve fyzice fázové přechody v termodynamických systémech jsou spojeny se vznikem distribuce energie-zákona určitých veličin, jejichž exponenty se označují jako kritické exponenty systému. Různorodé systémy se stejnými kritickými exponenty - to znamená, které při svém přístupu vykazují identické chování při změně měřítka kritičnost —Může být zobrazen prostřednictvím renormalizační skupina teorie, sdílet stejnou základní dynamiku. Například chování vody a CO₂ v bodech varu spadají do stejné třídy univerzality, protože mají shodné kritické exponenty.^{[Citace je zapotřebí ][je zapotřebí objasnění ]} Ve skutečnosti jsou téměř všechny přechody fází materiálu popsány malou sadou tříd univerzálnosti. Podobná pozorování byla učiněna, i když ne tak komplexně, u různých sebekontrolovaný kritický systémy, kde kritickým bodem systému je atraktor. Formálně se toto sdílení dynamiky označuje jako univerzálnost a o systémech s přesně stejnými kritickými exponenty se říká, že patří ke stejným třída univerzality.

Power-law funkce

Vědecký zájem o mocensko-právní vztahy pramení částečně z lehkosti, s jakou je generují určité obecné třídy mechanismů.^[13] Demonstrace mocensko-právního vztahu v některých datech může poukazovat na konkrétní druhy mechanismů, které by mohly být základem daného přírodního jevu, a může naznačovat hlubokou souvislost s jinými, zdánlivě nesouvisejícími systémy;^[14] viz také univerzálnost výše. Všudypřítomnost vztahů mezi mocí a zákony ve fyzice je částečně způsobena rozměrová omezení, zatímco v složité systémy, mocenské zákony jsou často považovány za podpisy hierarchie nebo konkrétních stochastické procesy. Několik pozoruhodných příkladů mocenských zákonů je Paretův zákon rozdělení příjmů, strukturální podobnost fraktály, a zákony o změně měřítka v biologických systémech. Výzkum původu mocensko-právních vztahů a úsilí o jejich sledování a validaci v reálném světě je aktivním tématem výzkumu v mnoha vědních oblastech, včetně fyzika, počítačová věda, lingvistika, geofyzika, neurovědy, sociologie, ekonomika a více.

Velká část nedávného zájmu o mocenské zákony však pochází ze studie rozdělení pravděpodobnosti: Zdá se, že distribuce nejrůznějších veličin sledují formu zákonů moci, alespoň v jejich horním ocasu (velké události). Chování těchto velkých událostí spojuje tyto veličiny se studiem teorie velkých odchylek (také zvaný teorie extrémní hodnoty ), který považuje frekvenci extrémně vzácných událostí za krach burzy a velké přírodní katastrofy. Název „mocenský zákon“ se používá především při studiu statistických distribucí.

V empirických kontextech aproximace mocenského zákona ${displaystyle o (x ^ {k})}$ často zahrnuje termín odchylky ${displaystyle varepsilon}$, které mohou představovat nejistotu ve sledovaných hodnotách (možná chyby měření nebo vzorkování) nebo poskytnout jednoduchý způsob, jak se pozorování odchýlit od funkce mocninné stochastický důvody):

${displaystyle y = ax ^ {k} + varepsilon.!}$

Matematicky nemůže být přísný zákon o moci distribucí pravděpodobnosti, ale distribucí, která je zkrácena funkce napájení je možné: ${displaystyle p (x) = Cx ^ {- alfa}}$ pro ${displaystyle x> x_ {ext {min}}}$ kde exponent ${displaystyle alpha}$ (Řecké písmeno alfa, nesmí být zaměňována s měřítkem ${displaystyle a}$ použitý výše) je větší než 1 (jinak má ocas nekonečnou plochu), minimální hodnota ${displaystyle x_ {ext {min}}}$ je potřeba, jinak má distribuce nekonečnou plochu jako X blíží se 0 a konstanta C je měřítko, které zajišťuje, že celková plocha je 1, jak to vyžaduje rozdělení pravděpodobnosti. Častěji člověk používá asymptotický zákon moci - takový, který platí pouze v limitu; vidět mocninová rozdělení pravděpodobnosti níže pro podrobnosti. Typicky exponent spadá do rozsahu ${displaystyle 2$, i když ne vždy.^[9]

Příklady

Bylo identifikováno více než sto distribucí zákonů moci ve fyzice (např. Laviny pískovců), biologii (např. Vyhynutí druhů a tělesná hmotnost) a ve společenských vědách (např. Velikosti a příjmy měst).^[15] Mezi ně patří:

Astronomie

• Keplerův třetí zákon
• The funkce počáteční hmotnosti hvězd
• Diferenční energetické spektrum kosmický paprsek jádra
• The Vztah M-sigma

Kriminologie

• počet obvinění na trestného činu^[16]

Fyzika

• The Angstromův exponent v aerosolové optice
• Frekvenční závislost akustický útlum ve složitých médiích
• Stevensův mocenský zákon psychofyziky
• The Stefan – Boltzmannův zákon
• Křivky vstupního napětí - výstupního proudu tranzistory s efektem pole a vakuové trubky přibližný a čtvercový zákon vztah, faktor v "zvuk trubice ".
• Zákon čtvercové kostky (poměr povrchové plochy k objemu)
• Zákon o moci 3/2 lze nalézt v charakteristické křivky desky z triody.
• The zákony inverzního čtverce z Newtonova gravitace a elektrostatika, o čemž svědčí gravitační potenciál a Elektrostatický potenciál, resp.
• Self-organizovaný kritičnost s kritický bod jako atraktor
• Model van der Waalsova síla
• Síla a potenciál v jednoduchý harmonický pohyb
• Gama korekce související intenzita světla s napětím
• Chování poblíž fázových přechodů druhého řádu zahrnující kritické exponenty
• The bezpečný operační prostor týkající se maximálního současného proudu a napětí ve výkonových polovodičích.
• Superkritický stav hmoty a nadkritické tekutiny, například superkritické exponenty tepelná kapacita a viskozita.^[17]
• The Curie-von Schweidler zákon v dielektrických odezvách na krokový stejnosměrný napěťový vstup.
• Vztah tlumicí síly a rychlosti v počtu antiseismických tlumičů

Biologie

• Kleiberův zákon - vztah metabolismu zvířat k velikosti a - alometrické zákony obecně
• Zákon o dvoutřetinové moci, který se týká rychlosti zakřivení u člověka motorový systém ^[18].
• The Taylorův zákon týkající se průměrné velikosti populace a rozptylu velikostí populace v ekologii
• Neuronální laviny^[4]
• Druhová bohatost (počet druhů) v kladech sladkovodních ryb^[19]
• Efekt Harlow Knapp, kde podmnožina kináz nalezených v lidském těle tvoří většinu publikovaného výzkumu^[20]

Meteorologie

• Velikost buněk dešťové sprchy,^[21] rozptyl energie v cyklónech,^[22] a průměry prachoví ďáblové na Zemi a Marsu ^[23]

Obecná věda

• Exponenciální růst a náhodné pozorování (nebo zabíjení)^[24]
• Postupujte skrz exponenciální růst a exponenciální šíření inovací^[25]
• Vysoce optimalizovaná tolerance
• Navrhovaná forma efekty křivky zážitku
• Růžový šum
• Zákon čísel proudů a zákon délek proudů (Horton zákony popisující říční systémy)^[26]
• Populace měst (Gibratův zákon )^{[Citace je zapotřebí ]}
• Bibliogramy a frekvence slov v textu (Zipfův zákon )^[27]
• Princip 90–9–1 na wiki (označovaný také jako 1% pravidlo )^{[Citace je zapotřebí ]}
• Richardsonův zákon pro závažnost násilných konfliktů (války a terorismus)^[28][29]
• Vztah mezi velikostí mezipaměti CPU a počtem zmeškaných mezipamětí sleduje energetický zákon mezipaměti chybí.
• Spektrální hustota hmotnostních matic hlubokých neuronových sítí^[30]

Matematika

• Fraktály
• Paretova distribuce a Paretův princip nazývané také „pravidlo 80–20“
• Zipfův zákon v korpusové analýze a distribuci populace mimo jiné, kde frekvence položky nebo události je nepřímo úměrná jejímu frekvenčnímu pořadí (tj. druhá nejčastější položka / událost se vyskytuje o polovinu častěji než nejběžnější položka, třetí nejčastější položka / událost se vyskytuje jedna třetina tak často jako nejčastější položka atd.).
• Distribuce Zeta (oddělený)
• Distribuce Yule – Simon (oddělený)
• Studentova t-distribuce (kontinuální), z nichž Cauchyovo rozdělení je zvláštní případ
• Lotkův zákon
• The bezškálová síť Modelka

Ekonomika

• Počet obyvatel měst v regionu nebo městské síti, Zipfův zákon.

• Distribuce umělců podle průměrné ceny jejich uměleckých děl.^[31]

• Rozdělení příjmů v tržní ekonomice.

• Rozdělení titulů v bankovních sítích.

Finance

• Průměrná absolutní změna logaritmických středních cen^[32]
• Počet počítání klíšťat v průběhu času
• Velikost pohybu maximální ceny
• Průměrná čekací doba a směrová změna^[33]
• Průměrná čekací doba přestřelení

Varianty

Porušený zákon o moci

Některé modely funkce počáteční hmotnosti používat porušený zákon o moci; zde Kroupa (2001) červeně.

Porušený zákon o moci je a po částech funkce, skládající se ze dvou nebo více zákonů o moci kombinovaných s prahovou hodnotou. Například se dvěma mocenskými zákony:^[34]

${displaystyle f (x) propto x ^ {alpha _ {1}}}$ pro ${displaystyle x$

${displaystyle f (x) propto x_ {ext {th}} ^ {alpha _ {1} -alpha _ {2}} x ^ {alpha _ {2}} {ext {for}} x> x_ {ext {th }}}$.

Zákon síly s exponenciálním omezením

Mocenský zákon s exponenciálním omezením je jednoduše silový zákon vynásobený exponenciální funkcí:^[35]

${displaystyle f (x) propto x ^ {alpha} e ^ {eta x}.}$

Zakřivený zákon o moci

${displaystyle f (x) propto x ^ {alpha + eta x}}$^[36]

Power-law rozdělení pravděpodobnosti

Ve volnějším smyslu mocenský zákon rozdělení pravděpodobnosti je distribuce, jejíž hustotní funkce (nebo hromadná funkce v samostatném případě) má tvar pro velké hodnoty ${displaystyle x}$,^[37]

${displaystyle P (X> x) sim L (x) x ^ {- (alfa -1)}}$

kde ${displaystyle alpha> 1}$, a ${displaystyle L (x)}$ je pomalu se měnící funkce, což je jakákoli funkce, která vyhovuje ${displaystyle lim _ {xightarrow infty} L (r, x) / L (x) = 1}$ pro jakýkoli pozitivní faktor ${displaystyle r}$. Tato vlastnost ${displaystyle L (x)}$ vyplývá přímo z požadavku, že ${displaystyle p (x)}$ být asymptoticky neměnný v měřítku; tedy forma ${displaystyle L (x)}$ ovládá pouze tvar a konečný rozsah spodního ocasu. Například pokud ${displaystyle L (x)}$ je konstantní funkce, pak máme mocenský zákon, který platí pro všechny hodnoty ${displaystyle x}$. V mnoha případech je vhodné předpokládat dolní mez ${displaystyle x_ {mathrm {min}}}$ ze kterého vyplývá zákon. Kombinace těchto dvou případů a kde ${displaystyle x}$ je spojitá proměnná, zákon moci má formu

${displaystyle p (x) = {frac {alpha -1} {x_ {min}}} vlevo ({frac {x} {x_ {min}}} vpravo) ^ {- alfa},}$

kde pre-faktor ${displaystyle {frac {alpha -1} {x_ {min}}}}$ je normalizační konstanta. Nyní můžeme vzít v úvahu několik vlastností této distribuce. Například jeho momenty jsou dány

${displaystyle langle x ^ {m} angle = int _ {x_ {min}} ^ {infty} x ^ {m} p (x), mathrm {d} x = {frac {alpha -1} {alpha -1- m}} x_ {min} ^ {m}}$

který je dobře definován pouze pro ${displaystyle m$. Tedy všechny okamžiky ${displaystyle mgeq alpha -1}$ rozcházejí se: kdy ${displaystyle alpha leq 2}$, průměr a všechny momenty vyššího řádu jsou nekonečné; když ${displaystyle 2$, průměr existuje, ale rozptyl a momenty vyššího řádu jsou nekonečné atd. U vzorků konečné velikosti čerpaných z takového rozdělení toto chování znamená, že centrální moment odhady (jako průměr a rozptyl) pro odlišné momenty se nikdy nespojí - jak se hromadí více dat, budou i nadále růst. Tato mocninová rozdělení pravděpodobnosti se také nazývají Distribuce typu Pareto, distribuce s Paretovými ocasy nebo distribuce s pravidelně se měnícími ocasy.

Modifikace, která nesplňuje obecný tvar výše, s exponenciálním omezením,^[9] je

${displaystyle p (x) propto L (x) x ^ {- alpha} mathrm {e} ^ {- lambda x}.}$

V tomto rozdělení je exponenciální člen rozpadu ${displaystyle mathrm {e} ^ {- lambda x}}$ nakonec přemůže chování zákona o moci při velmi vysokých hodnotách ${displaystyle x}$. Toto rozdělení nemá měřítko, a proto není asymptoticky jako mocenský zákon; nicméně, to dělá přibližně měřítko přes konečnou oblast před cut-off. Čistá forma výše je podmnožinou této rodiny s ${displaystyle lambda = 0}$. Tato distribuce je běžnou alternativou k asymptotické distribuci výkonového zákona, protože přirozeně zachycuje efekty konečné velikosti.

The Tweedie distribuce jsou rodinou statistických modelů charakterizovaných uzavření za aditivní a reprodukční konvoluce i za transformaci v měřítku. V důsledku toho všechny tyto modely vyjadřují vztah moci a zákona mezi rozptylem a průměrem. Tyto modely mají zásadní roli jako matematické ohniska konvergence podobné roli, kterou normální distribuce se zaměřuje na teorém centrálního limitu. Tento konvergenční efekt vysvětluje, proč se zákon o rozptylu k průměru projevuje tak široce v přírodních procesech, jako u Taylorův zákon v ekologii as proměnlivým měřítkem^[38] ve fyzice. Lze také ukázat, že tento zákon odchylky od střední hodnoty, když je prokázán způsob rozšiřování košů, znamená přítomnost 1 /F hluk a to 1 /F v důsledku toho může vzniknout hluk Tweedie konvergenční efekt.^[39]

Grafické metody identifikace

Ačkoli byly navrženy sofistikovanější a robustnější metody, nejčastěji používanými grafickými metodami identifikace distribucí pravděpodobnosti mocniny pomocí náhodných vzorků jsou Paretovy kvantilně-kvantilové grafy (nebo Pareto Grafy Q – Q ),^{[Citace je zapotřebí ]} znamenají spiknutí zbytkového života^[40][41] a log – logovat grafy. Další robustnější grafická metoda využívá svazky reziduálních kvantilových funkcí.^[42] (Mějte prosím na paměti, že distribuce zákonů moci se také nazývají distribuce typu Pareto.) Předpokládá se zde, že náhodný vzorek se získá z rozdělení pravděpodobnosti a že chceme vědět, zda konec distribuce následuje zákon moci (jinými slovy, chceme vědět, jestli má distribuce „Paretův ocas“). Zde se náhodný vzorek nazývá „data“.

Pareto Q – Q grafy porovnávají kvantily log-transformovaných dat na odpovídající kvantily exponenciálního rozdělení s průměrem 1 (nebo na kvantily standardního Paretova rozdělení) vynesením prvního proti druhému. Pokud výsledný bodový graf naznačuje, že vynesené body „asymptoticky konvergují“ k přímé linii, pak by mělo být podezření na rozdělení podle zákonu moci. Omezení grafů Pareto Q – Q spočívá v tom, že se chovají špatně, když je index ocasu ${displaystyle alpha}$ (také nazývaný Paretův index) je blízký 0, protože paretovské Q – Q grafy nejsou určeny k identifikaci distribucí s pomalu se měnícími ocasy.^[42]

Na druhou stranu ve své verzi pro identifikaci distribucí pravděpodobnosti mocninového zákona sestává průměrná hodnota zbytkové životnosti z první logaritmické transformace dat a následného vykreslení průměru těch logaritmicky transformovaných dat, která jsou vyšší než i-statistika řádu v porovnání s i-statistika pořadí, pro i = 1, ..., n, kde n je velikost náhodného vzorku. Pokud výsledný bodový graf naznačuje, že vynesené body mají tendenci se „stabilizovat“ kolem vodorovné přímky, pak by mělo být podezření na rozdělení podle zákonu moci. Protože průměrný graf zbytkového života je velmi citlivý na odlehlé hodnoty (není robustní), obvykle vytváří grafy, které je obtížné interpretovat; z tohoto důvodu se takové zápletky obvykle nazývají Hill hororové zápletky ^[43]

Přímka na grafu log – log je nutná, ale nedostatečné důkazy o zákonech moci, sklon přímky odpovídá exponentu zákonu moci.

Protokol – protokoly protokolu jsou alternativním způsobem grafického zkoumání ocasu distribuce pomocí náhodného vzorku. Je však třeba postupovat opatrně, protože log-log plot je nutný, ale nedostatečný důkaz pro vztah mocninné zákonitosti, protože mnoho distribucí bez mocninného práva se na grafu log-log objeví jako přímé čáry.^[44][45] Tato metoda spočívá ve vykreslení logaritmu odhadu pravděpodobnosti, že dojde k určitému počtu distribuce oproti logaritmu daného čísla. Obvykle je tento odhad poměrem počtu případů, kdy k počtu dojde v datové sadě. Pokud mají body v grafu tendenci „konvergovat“ k přímce pro velká čísla v ose x, pak výzkumník dospěl k závěru, že distribuce má ocas mocninového zákona. Byly zveřejněny příklady použití těchto typů grafů.^[46] Nevýhodou těchto grafů je, že aby mohly poskytovat spolehlivé výsledky, vyžadují obrovské množství dat. Kromě toho jsou vhodné pouze pro diskrétní (nebo seskupená) data.

Byla navržena další grafická metoda pro identifikaci distribucí pravděpodobnosti mocniny pomocí náhodných vzorků.^[42] Tato metodika spočívá ve vykreslení a svazek pro log-transformovaný vzorek. Původně navržený jako nástroj k prozkoumání existence momentů a funkce generování momentů pomocí náhodných vzorků, metodologie svazku je založena na zbytkových kvantilové funkce (RQF), nazývané také reziduální percentilové funkce,^{[47][48][49][50][51][52][53]} které poskytují úplnou charakteristiku chování ocasu mnoha známých rozdělení pravděpodobnosti, včetně rozdělení podle zákona, rozdělení s jinými typy těžkých ocasů a dokonce i rozdělení bez těžkého ocasu. Pozemky svazků nemají nevýhody pozemků Pareto Q – Q, znamenají grafy zbytkového života a grafy log – log uvedené výše (jsou robustní vůči odlehlým hodnotám, umožňují vizuálně identifikovat zákony moci s malými hodnotami ${displaystyle alpha}$a nevyžadují shromažďování velkého množství údajů).^{[Citace je zapotřebí ]} Kromě toho lze jiné typy chování ocasu identifikovat pomocí grafů svazků.

Vykreslování distribucí podle zákona

Obecně platí, že distribuce zákonů moci jsou zakreslena dvojnásobně logaritmické osy, který zdůrazňuje oblast horního ocasu. Nejpohodlnější způsob, jak toho dosáhnout, je prostřednictvím (doplňkového) kumulativní distribuce (ccdf), tj funkce přežití, ${displaystyle P (x) = mathrm {Pr} (X> x)}$,

${displaystyle P (x) = Pr (X> x) = Cint _ {x} ^ {infty} p (X), mathrm {d} X = {frac {alpha -1} {x_ {min} ^ {- alfa +1}}} int _ {x} ^ {infty} X ^ {- alpha}, mathrm {d} X = left ({frac {x} {x_ {min}}} ight) ^ {- alpha +1} .}$

CDF je také funkce zákona o výkonu, ale s menším exponentem měřítka. U dat je ekvivalentní formou CDF přístup založený na pořadí a frekvenci, ve kterém nejprve roztřídíme ${displaystyle n}$ pozorované hodnoty ve vzestupném pořadí a vynesou je proti vektoru ${displaystyle left [1, {frac {n-1} {n}}, {frac {n-2} {n}}, dots, {frac {1} {n}} ight]}$.

I když může být vhodné data binovat nebo jinak přímo vyhlazovat funkci hustoty (hmotnosti) pravděpodobnosti, tyto metody zavádějí implicitní zkreslení v reprezentaci dat, a proto je třeba se jim vyhnout.^[54][55] Funkce přežití je na druhou stranu odolnější vůči (ale ne bez) takovým předsudkům v datech a zachovává lineární podpis na dvojnásobně logaritmických osách. Přestože je zastoupení funkce přežití upřednostňováno před vyjádřením souboru pdf, zatímco se datový zákon přizpůsobuje pravidlu lineární metody nejmenších čtverců, není to bez matematické nepřesnosti. Při odhadu exponentů rozdělení zákonu moci se tedy doporučuje odhad maximální pravděpodobnosti.

Odhad exponentu z empirických dat

Existuje mnoho způsobů, jak odhadnout hodnotu exponenta měřítka pro ocas se zákonem síly, ale ne všechny z nich nezaujaté a konzistentní odpovědi. Některé z nejspolehlivějších technik jsou často založeny na metodě maximální pravděpodobnost. Alternativní metody jsou často založeny na lineární regresi buď na log-log pravděpodobnosti, na log-log kumulativní distribuční funkci, nebo na log-binned datech, ale těmto přístupům je třeba se vyhnout, protože všechny mohou vést k vysoce zaujatým odhadům exponent měřítka.^[9]

Maximální pravděpodobnost

Pro skutečné hodnoty, nezávislé a identicky distribuované data, přizpůsobíme se distribuci formuláře podle zákona

${displaystyle p (x) = {frac {alpha -1} {x_ {min}}} vlevo ({frac {x} {x_ {min}}} vpravo) ^ {- alfa}}$

k datům ${displaystyle xgeq x_ {min}}$, kde koeficient ${displaystyle {frac {alpha -1} {x_ {min}}}}$ je zahrnuto, aby byla zajištěna distribuce normalizováno. Vzhledem k možnosti výběru pro ${displaystyle x_ {min}}$, funkce pravděpodobnosti protokolu se stane:

${displaystyle {mathcal {L}} (alpha) = log prod _ {i = 1} ^ {n} {frac {alpha -1} {x_ {min}}} vlevo ({frac {x_ {i}} {x_ {min}}} ight) ^ {- alfa}}$

Maximum této pravděpodobnosti se zjistí diferenciací s ohledem na parametr ${displaystyle alpha}$, nastavení výsledku rovného nule. Po přeskupení se získá rovnice odhadce:

${displaystyle {hat {alpha}} = 1 + nleft [suma _ {i = 1} ^ {n} ln {frac {x_ {i}} {x_ {min}}} noc] ^ {- 1}}$

kde ${displaystyle {x_ {i}}}$ jsou ${displaystyle n}$ datové body ${displaystyle x_ {i} geq x_ {min}}$.^[2][56] Tento odhad vykazuje malé zkreslení řádu s konečnou velikostí vzorku ${displaystyle O (n ^ {- 1})}$, což je malé, když n > 100. Dále je standardní chyba odhadu ${displaystyle sigma = {frac {{hat {alpha}} - 1} {sqrt {n}}} + O (n ^ {- 1})}$. Tento odhad je ekvivalentní s populárním^{[Citace je zapotřebí ]} Hill odhadce z kvantitativní financování a teorie extrémní hodnoty.^{[Citace je zapotřebí ]}

Pro sadu n celočíselné datové body ${displaystyle {x_ {i}}}$, opět tam, kde každý ${displaystyle x_ {i} geq x_ {min}}$, exponent maximální věrohodnosti je řešením transcendentální rovnice

${displaystyle {frac {zeta '({hat {alpha}}, x_ {min})} {zeta ({hat {alpha}}, x_ {min})}} = - {frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} ln {frac {x_ {i}} {x_ {min}}}}$

kde ${displaystyle zeta (alpha, x_ {mathrm {min}})}$ je neúplná funkce zeta. Nejistota v tomto odhadu se řídí stejným vzorcem jako pro spojitou rovnici. Nicméně, dvě rovnice pro ${displaystyle {hat {alpha}}}$ nejsou ekvivalentní a průběžná verze by se neměla vztahovat na diskrétní data ani naopak.

Oba tyto odhady dále vyžadují volbu ${displaystyle x_ {min}}$. Pro funkce s netriviální ${displaystyle L (x)}$ funkce, výběr ${displaystyle x_ {min}}$ příliš malý produkuje v systému výrazné zkreslení ${displaystyle {hat {alpha}}}$, při výběru příliš velkého zvyšuje nejistotu ${displaystyle {hat {alpha}}}$a snižuje statistická síla našeho modelu. Obecně platí, že nejlepší volba ${displaystyle x_ {min}}$ silně závisí na konkrétní formě dolního ocasu, kterou představuje ${displaystyle L (x)}$ výše.

Více o těchto metodách a podmínkách, za kterých je lze použít, najdete v.^[9] Dále poskytuje tento komplexní přehledový článek použitelný kód (Matlab, Python, R a C ++) pro odhady a testování rutin pro distribuci power-law.

Kolmogorov – Smirnovův odhad

Jiná metoda pro odhad mocninového zákona, která nepředpokládá nezávislé a identicky distribuované (iid) data, využívá minimalizaci Statistika Kolmogorov – Smirnov, ${displaystyle D}$, mezi kumulativní distribuční funkcí dat a zákonem moci:

${displaystyle {hat {alpha}} = {underset {alpha} {operatorname {arg, min}}}, D_ {alpha}}$

s

${displaystyle D_ {alpha} = max _ {x} | P_ {mathrm {emp}} (x) -P_ {alpha} (x) |}$

kde ${displaystyle P_ {mathrm {emp}} (x)}$ a ${displaystyle P_ {alpha} (x)}$ označit cdfs dat a zákon síly s exponentem ${displaystyle alpha}$, resp. Vzhledem k tomu, že tato metoda nepředpokládá iid data, poskytuje alternativní způsob určení exponenta mocninového zákona pro datové sady, ve kterých nelze ignorovat časovou korelaci.^[4]

Metoda dvoubodového lícování

Toto kritérium^{[je zapotřebí objasnění ]} lze použít pro odhad exponentu zákonu moci v případě bezrozměrného rozdělení a poskytuje konvergentnější odhad než metoda maximální věrohodnosti.^{[Citace je zapotřebí ]} To bylo aplikováno na studium rozdělení pravděpodobnosti zlomenin otvorů.^{[Citace je zapotřebí ]} V některých kontextech je popsáno rozdělení pravděpodobnosti, nikoli pomocí kumulativní distribuční funkce tím, že kumulativní frekvence nemovitosti X, definovaný jako počet prvků na metr (nebo plošné jednotky, sekundy atd.), pro které X > X platí, kde X je proměnné reálné číslo. Jako příklad,^{[Citace je zapotřebí ]} kumulativní distribuce otvoru zlomeniny, X, pro vzorek N prvků je definován jako „počet zlomenin na metr s otvorem větším než X . Použití kumulativní frekvence má některé výhody, např. umožňuje člověku použít stejná data diagramu shromážděná ze vzorových linií různých délek v různých měřítcích (např. z výchozu a z mikroskopu).

Ověřování zákonů o moci

Přestože jsou mocensko-právní vztahy atraktivní z mnoha teoretických důvodů, prokázat, že data skutečně sledují mocensko-právní vztah, vyžaduje více než pouhé přizpůsobení konkrétního modelu datům.^[25] To je důležité pro pochopení mechanismu, který vede k distribuci: povrchně podobné distribuce mohou vzniknout z výrazně odlišných důvodů a různé modely přinášejí různé předpovědi, například extrapolaci.

Například, normální distribuce protokolu jsou často mylně považovány za distribuce podle zákona o moci:^[57] soubor dat získaný z lognormálního rozdělení bude přibližně lineární pro velké hodnoty (odpovídá tomu, že horní ocas lognormálu je blízký zákonu moci)^{[je zapotřebí objasnění ]}, ale pro malé hodnoty lognormální významně poklesne (skloní se), což odpovídá tomu, že spodní ocas lognormální je malý (v mocenském zákoně je velmi málo malých hodnot, spíše než mnoho malých hodnot).^{[Citace je zapotřebí ]}

Například, Gibratův zákon Procesy proporcionálního růstu produkují distribuce, které jsou lognormální, ačkoli jejich log-log grafy vypadají lineárně v omezeném rozsahu. Vysvětlení je, že ačkoli logaritmus funkce lognormální hustoty je kvadratický v log (X), čímž se získá „sklonený“ tvar v grafu log – log, pokud je kvadratický člen vzhledem k lineárnímu členu malý, pak se výsledek může jevit téměř lineární a lognormální chování je viditelné pouze tehdy, když dominuje kvadratický člen, což může vyžadovat výrazně více údajů. Proto log-log plot, který je mírně „uklonený“ dolů, může odrážet log-normální rozdělení - ne mocninový zákon.

Obecně se může zdát, že mnoho alternativních funkčních forem do určité míry následuje po mocenskoprávní formě.^[58] Stumpf^[59] navrhl vykreslení empirické kumulativní distribuční funkce v doméně log-log a tvrdil, že kandidátský zákon o moci by měl pokrývat nejméně dva řády. Vědci také obvykle musí čelit problému rozhodování, zda se rozdělení pravděpodobnosti v reálném světě řídí mocenským zákonem či nikoli. Jako řešení tohoto problému, Diaz^[42] navrhl grafickou metodologii založenou na náhodných vzorcích, které umožňují vizuálně rozlišovat mezi různými typy chování ocasu. Tato metodika používá svazky reziduálních kvantilních funkcí, nazývaných také funkce zbytkového života percentilu, které charakterizují mnoho různých typů distribučních ocasů, včetně těžkých i těžkých ocasů. Nicméně, Stumpf^[59] tvrdil, že je zapotřebí jak statistické, tak teoretické pozadí, aby se podpořil zákon o moci v základním mechanismu, který řídí proces generování dat.

Jedna metoda k ověření vztahu moc-zákon testuje mnoho ortogonálních předpovědí konkrétního generativního mechanismu proti datům. Pouhé přizpůsobení vztahu moci a práva určitému druhu dat se nepovažuje za racionální přístup. Jako takové zůstává validace mocenských zákonů velmi aktivní oblastí výzkumu v mnoha oblastech moderní vědy.^[9]

Viz také

Reference

Poznámky

Bibliografie

• Bak, Per (1997) How nature works, Oxford University Press ISBN  0-19-850164-1
• Clauset, A.; Shalizi, C. R.; Newman, M. E. J. (2009). "Power-Law Distributions in Empirical Data". Recenze SIAM. 51 (4): 661–703. arXiv:0706.1062. Bibcode:2009SIAMR..51..661C. doi:10.1137/070710111. S2CID  9155618.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Laherrère, J.; Sornette, D. (1998). "Stretched exponential distributions in nature and economy: "fat tails" with characteristic scales". Evropský fyzický deník B. 2 (4): 525–539. arXiv:cond-mat/9801293. Bibcode:1998EPJB....2..525L. doi:10.1007/s100510050276. S2CID  119467988.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Mitzenmacher, M. (2004). "A Brief History of Generative Models for Power Law and Lognormal Distributions" (PDF). Internetová matematika. 1 (2): 226–251. doi:10.1080/15427951.2004.10129088. S2CID  1671059.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Alexander Saichev, Yannick Malevergne and Didier Sornette (2009) Theory of Zipf's law and beyond, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Volume 632, Springer (November 2009), ISBN  978-3-642-02945-5
• Simon, H. A. (1955). "On a Class of Skew Distribution Functions". Biometrika. 42 (3/4): 425–440. doi:10.2307/2333389. JSTOR  2333389.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Sornette, Didier (2006). Critical Phenomena in Natural Sciences: Chaos, Fractals, Self-organization and Disorder: Concepts and Tools. Springer Series in Synergetics (2nd ed.). Heidelberg: Springer. ISBN  978-3-540-30882-9.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Mark Buchanan (2000) Všudypřítomnost, Weidenfeld & Nicolson ISBN  0-297-64376-2
• Stumpf, M.P.H.; Porter, M.A. (2012). "Critical Truths about Power Laws". Věda. 335 (6069): 665–6. Bibcode:2012Sci...335..665S. doi:10.1126/science.1216142. PMID  22323807. S2CID  206538568.

externí odkazy

• Zipfův zákon
• Zipf, Power-laws, and Pareto – a ranking tutorial
• Stream Morphometry and Horton's Laws
• Clay Shirky na Institutions & Collaboration: Power law in relation to the internet-based social networks
• Clay Shirky na Power Laws, Weblogs, and Inequality
• "How the Finance Gurus Get Risk All Wrong" by Benoit Mandelbrot & Nassim Nicholas Taleb. Štěstí, July 11, 2005.
• "Million-dollar Murray": power-law distributions in homelessness and other social problems; podle Malcolm Gladwell. Newyorčan, February 13, 2006.
• Benoit Mandelbrot & Richard Hudson: The Misbehaviour of Markets (2004)
• Philip Ball: Critical Mass: How one thing leads to another (2005)
• Tyranny of the Power Law z The Econophysics Blog
• So You Think You Have a Power Law – Well Isn't That Special? z Three-Toed Sloth, the blog of Cosma Shalizi, Professor of Statistics at Carnegie-Mellon University.
• Simple MATLAB script which bins data to illustrate power-law distributions (if any) in the data.
• The Erdős Webgraph Server visualizes the distribution of the degrees of the webgraph on the download page.