Pomalu se měnící funkce - Slowly varying function

v skutečná analýza, pobočka matematika, a pomalu se měnící funkce je funkce reálné proměnné jehož chování v nekonečno je v určitém smyslu podobné chování funkce konvergující v nekonečnu. Podobně, a pravidelně se měnící funkce je funkce reálné proměnné, jejíž chování v nekonečno je podobné chování a mocenský zákon funkce (jako a polynomiální ) blízko nekonečna. Tyto třídy funkcí byly obě zavedeny Jovan Karamata,^[1][2] a našli několik důležitých aplikací, například v teorie pravděpodobnosti.

Základní definice

Definice 1. Měřitelná funkce L : (0,+∞) → (0,+∞) je nazýván pomalu se měnící (v nekonečnu), pokud pro všechny A > 0,

${ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {L (sekera)} {L (x)}} = 1.}$

Definice 2. Funkce L : (0,+∞) → (0,+∞) pro které je limit

${ displaystyle g (a) = lim _ {x to infty} { frac {L (sekera)} {L (x)}}}$

je konečný, ale nenulový pro každého A > 0, se nazývá a pravidelně se měnící funkce.

Tyto definice jsou způsobeny Jovan Karamata.^[1][2]

Poznámka. V pravidelně se měnícím případě je součet dvou pomalu se měnících funkcí opět pomalu se měnící funkcí.

Základní vlastnosti

Pravidelně se měnící funkce mají některé důležité vlastnosti:^[1] jejich částečný seznam je uveden níže. Podrobnější analýzy vlastností charakterizujících pravidelné variace jsou uvedeny v monografii Bingham, Goldie & Teugels (1987).

Rovnoměrnost omezujícího chování

Věta 1. Limit v definice 1 a 2 je jednotný -li A je omezen na kompaktní interval.

Karamatova věta o charakterizaci

Věta 2. Každá pravidelně se měnící funkce F : (0,+∞) → (0,+∞) je ve formě

${ displaystyle f (x) = x ^ { beta} L (x)}$

kde

• β je reálné číslo, tj. β ∈ R
• L je pomalu se měnící funkce.

Poznámka. To znamená, že funkce G(A) v definice 2 musí mít nutně následující formu

${ displaystyle g (a) = a ^ { rho}}$

kde skutečné číslo ρ se nazývá index pravidelné variace.

Věta o reprezentaci karamaty

Věta 3. Funkce L se pomalu mění, pokud a pouze pokud existuje B > 0 takové, že pro všechny X ≥ B funkci lze zapsat do formuláře

${ displaystyle L (x) = exp left ( eta (x) + int _ {B} ^ {x} { frac { varepsilon (t)} {t}} , dt right)}$

kde

• η(X) je ohraničený měřitelná funkce reálné proměnné konvergující na konečné číslo jako X jde do nekonečna
• ε(X) je ohraničený měřitelná funkce reálné proměnné konvergující k nule jako X jde do nekonečna.

Příklady

• Li L má limit

${ displaystyle lim _ {x až infty} L (x) = b in (0, infty),}$

pak L je pomalu se měnící funkce.

• Pro všechny β ∈ R, funkce L(X) = log^β X se pomalu mění.
• Funkce L(X) = X se pomalu nemění, ani se nemění L(X) = X^β pro všechny skutečné β≠ 0. Tyto funkce se však pravidelně mění.

Viz také

• Teorie analytických čísel
• Hardy – Littlewoodova tauberiánská věta a jeho léčba Karamatou

Poznámky

Reference

• Bingham, N.H. (2001) [1994], "Pomalu se měnící funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Bingham, N. H .; Goldie, C. M .; Teugels, J. L. (1987), Pravidelná variaceEncyklopedie matematiky a její aplikace, 27, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  0-521-30787-2, PAN  0898871, Zbl  0617.26001
• Galambos, J .; Seneta, E. (1973), "Pravidelně se měnící sekvence", Proceedings of the American Mathematical Society, 41 (1): 110–116, doi:10.2307/2038824, ISSN  0002-9939, JSTOR  2038824.