Klasifikace signatářů - Wigners classification - Wikipedia

v matematika a teoretická fyzika, Wignerova klasifikaceje klasifikace nezáporné (E ≥ 0) energie neredukovatelné jednotné reprezentace z Poincaré skupina které mají ostré^{[když je definováno jako? ]} Hmotnost vlastní čísla. (Jelikož tato skupina není kompaktní, jsou tyto jednotné reprezentace nekonečně dimenzionální.) Představila ji Eugene Wigner, ke klasifikaci částic a polí ve fyzice - viz článek částicová fyzika a teorie reprezentace. Spoléhá se na stabilizační podskupiny této skupiny, přezdívané Poutejte malé skupiny různých masových stavů.

The Kazimírské invarianty skupiny Poincaré jsou $C 1 = P μ P μ$ , kde $P$ je 4-momentový operátor, a $C 2 = Ž α Ž α$ , kde $Ž$ je Pauli – Lubanski pseudovektor. Vlastní čísla těchto operátorů slouží k označení reprezentací. První je spojen s hromadně na druhou a druhý s helicita nebo roztočit.

Fyzicky relevantní reprezentace lze tedy klasifikovat podle toho, zda $m > 0$ ; $m = 0$ ale $P 0 > 0$ ; a $m = 0$ s $P μ = 0$ . Wigner zjistil, že nehmotné částice se zásadně liší od masivních částic.

U prvního případu si všimněte, že vlastní prostor (vidět zobecněné vlastní prostory neomezených operátorů ) spojený s $P =(m, 0,0,0)$ je zastoupení z SO (3). V paprsková interpretace, lze přejít na Spin (3) namísto. Masivní stavy jsou tedy klasifikovány neredukovatelným otočením (3) jednotkové zastoupení který charakterizuje jejich roztočit a pozitivní hmota, $m$ .
U druhého případu se podívejte na stabilizátor z $P =(k, 0,0, -k)$ . To je dvojitý kryt z SE (2) (vidět reprezentace jednotkového paprsku ). Máme dva případy, jeden kde irreps jsou popsány integrálním násobkem 1/2 nazývaným helicita, a druhý s názvem „kontinuální rotace“.
Poslední případ popisuje vakuum. Jediným konečným trojrozměrným jednotným řešením je triviální zastoupení volal vakuum.

Masivní skalární pole

Jako příklad si představme neredukovatelnou jednotnou reprezentaci pomocí $m > 0$ a $s = 0$ . Odpovídá prostoru masivní skalární pole.

Nechat $M$ být hyperboloidní list definovaný:

{ displaystyle P_ {0} ^ {2} -P_ {1} ^ {2} -P_ {2} ^ {2} -P_ {3} ^ {2} = m ^ {2}}

,

{ displaystyle P_ {0}> 0}

.

Metrika Minkowski omezuje na a Riemannova metrika na $M$ dávat $M$ metrická struktura a hyperbolický prostor, zejména je to hyperboloidní model hyperbolického prostoru, viz geometrie Minkowského prostoru pro důkaz. Skupina Poincare $P$ jedná $M$ protože (zapomínáme na činnost podskupiny překladu $ℝ 4$ s přídavkem uvnitř $P$ ) zachovává Minkowski vnitřní produkt a prvek $X$ překladové podskupiny $ℝ 4$ skupiny Poincare jedná $L 2 (M)$ násobením vhodnými fázovými multiplikátory $exp (- i p \cdot X)$ , kde $p \in M$ . Tyto dvě akce lze chytře kombinovat pomocí indukované reprezentace získat akci $P$ na $L 2 (M)$ který kombinuje pohyby $M$ a fázové násobení.

Tím se získá působení skupiny Poincare na prostor funkcí integrovatelných do čtverce definovaných na hyperploše $M$ v Minkowského prostoru. Lze je považovat za míry definované v Minkowského prostoru, které jsou soustředěny na scéně $M$ definován

{ displaystyle E ^ {2} -P_ {1} ^ {2} -P_ {2} ^ {2} -P_ {3} ^ {2} = m ^ {2}}

,

{ displaystyle E equiv P_ {0}> 0.}

Fourierova transformace (ve všech čtyřech proměnných) těchto opatření přináší pozitivní energii,^{[je zapotřebí objasnění ]} konečná energetická řešení Klein-Gordonova rovnice definované v Minkowského prostoru, a to

{ displaystyle { frac { částečné ^ {2}} { částečné t ^ {2}}} psi - nabla ^ {2} psi + m ^ {2} psi = 0,}

bez fyzických jednotek. Tímto způsobem $m > 0, s = 0$ ireducibilní zastoupení skupiny Poincare je realizováno jejím působením na vhodný prostor řešení lineární vlnové rovnice.

Teorie projektivních reprezentací

Fyzicky se člověk zajímá o neredukovatelné projektivní unitární reprezentace skupiny Poincaré. Koneckonců dva vektory v kvantovém Hilbertově prostoru, které se liší vynásobením konstantou, představují stejný fyzický stav. Dva unitární operátory, které se liší násobkem identity, tedy mají na fyzické stavy stejnou akci. Proto jsou unitární operátory, které představují Poincarého symetrii, definovány pouze do konstanty - a proto zákon o složení skupiny potřebuje pouze konstantní hodnotu.

Podle Bargmannova věta, každá projektivní jednotná reprezentace skupiny Poincaré přichází pro obyčejnou jednotnou reprezentaci jejího univerzálního krytu, což je dvojitý kryt. (Bargmannova věta platí, protože dvojitá obálka Poincaré skupina nepřipouští žádnou netriviální jednorozměrnost centrální rozšíření.)

Přechod na dvojitý obal je důležitý, protože umožňuje případy spinů s polovičním a lichým celkovým počtem čísel. Například v případě kladné hmotnosti je malou skupinou spíše SU (2) než SO (3); reprezentace SU (2) pak zahrnují případy celočíselných i polovičně lichých čísel.

Jelikož obecné kritérium v Bargmannově větě nebylo známo, když Wigner provedl klasifikaci, musel ručně ukázat (část 5 článku), že fáze mohou být v operátorech zvoleny tak, aby odrážely zákon o složení ve skupině, a to až do znaménko, které se pak účtuje přechodem na dvojitou obálku skupiny Poincaré.

Další informace

Z této klasifikace jsou vynechány tachyonic řešení, řešení bez pevné hmotnosti, infraparticles bez pevné hmotnosti atd. Taková řešení mají při zvažování virtuálních stavů fyzický význam. Oslavovaným příkladem je případ hluboký nepružný rozptyl, ve kterém je virtuální prostor podobný foton je vyměněn mezi příchozím lepton a příchozí hadron. To ospravedlňuje zavedení příčně a podélně polarizovaných fotonů a souvisejícího konceptu funkcí příčné a podélné struktury, když tyto virtuální stavy považujeme za účinné sondy vnitřního kvarku a obsahu gluonů hadronů. Z matematického hlediska se místo obvyklého uvažuje skupina SO (2,1) SO (3) skupina, se kterou se setkáváme v obvyklém masivním případě diskutovaném výše. To vysvětluje výskyt dvou příčných polarizačních vektorů ${ displaystyle epsilon _ {T} ^ { lambda = 1,2}}$ a ${ displaystyle epsilon _ {L}}$ které uspokojí ${ displaystyle epsilon _ {T} ^ {2} = - 1}$ a ${ displaystyle epsilon _ {L} ^ {2} = + 1}$ , pro srovnání s obvyklým případem bezplatného ${ displaystyle Z_ {0}}$ boson, který má tři polarizační vektory ${ displaystyle epsilon _ {T} ^ { lambda = 1,2,3}}$ , každý z nich uspokojující ${ displaystyle epsilon _ {T} ^ {2} = - 1}$ .

Viz také

Reference

Bargmann, V.; Wigner, E. P. (1948). „Skupinová teoretická diskuse o relativistických vlnových rovnicích“. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 34 (5): 211–23. Bibcode:1948PNAS ... 34..211B. doi:10.1073 / pnas.34.5.211. PMC 1079095. PMID 16578292.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

Mackey, Georgi (1978). Unitární reprezentace skupin ve fyzice, pravděpodobnosti a teorii čísel. Série přednášek z matematiky. 55. Nakladatelská společnost Benjamin / Cummings. ISBN 978-0805367034.CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Sternberg, Shlomo (1994). Skupinová teorie a fyzika. Cambridge University Press. Oddíl 3.9. (Wignerova klasifikace). ISBN 978-0521248709.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Tung, Wu-Ki (1985). Skupinová teorie ve fyzice. Světová vědecká nakladatelská společnost. Kapitola 10. (Zastoupení skupiny Lorentz a skupiny Poincare; Wignerova klasifikace). ISBN 978-9971966577.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Weinberg, S (2002), Kvantová teorie polí, svazek I, Cambridge University Press, Kapitola 2 (Relativistická kvantová mechanika), ISBN 0-521-55001-7
Wigner, E. P. (1939), „O jednotných reprezentacích nehomogenní Lorentzovy skupiny“, Annals of Mathematics, 40 (1): 149–204, Bibcode:1939AnMat..40..149W, doi:10.2307/1968551, JSTOR 1968551, PAN 1503456